小數(shù)和分數(shù)不可混為一談

唐啟科

【摘 要】“數(shù)的認識”整理與復習，是對小學階段所學“數(shù)的知識”進行整理歸納。對于小數(shù)和分數(shù)，有爭議也有認識誤區(qū)，本文從“分數(shù)的意義是什么？小數(shù)的意義是什么？小數(shù)是分數(shù)的另一種形式嗎？”這三個問題出發(fā)，分析提升，得出：由于小學階段沒有學習除π以外的無理數(shù)，因此，學生認為分數(shù)和小數(shù)是一致的，但實際上學了無理數(shù)后，學生知道有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)能用分數(shù)表示，無限不循環(huán)小數(shù)，如π不能用分數(shù)表示。

【關鍵詞】數(shù)的分類 小數(shù) 分數(shù)

一、緣起

每到六年級第二學期，數(shù)學教師就開始準備進行小學階段總復習的備課了，復習的第一項內(nèi)容就是“數(shù)的認識整理與復習”，這是對小學階段所學“數(shù)的知識”進行系統(tǒng)的歸納整理，對中學學習也有一定的鋪墊作用。通過系統(tǒng)整理復習，教師不僅要引導學生對數(shù)的認識和分類進行回顧，而且要引發(fā)學生新的思考。但每次進行集體備課時，教師們都有很多爭議，也存在認識誤區(qū)。爭議主要集中在以下幾方面：

1.小數(shù)是分數(shù)的另外一種表現(xiàn)形式嗎？

2.數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)兩大類還是整數(shù)和小數(shù)兩大類，或者分為整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)三大類？

3.對于小數(shù)、分數(shù)意義的表述，相比較而言，學生對什么是分數(shù)理解得較好，但在復習階段讓學生說小數(shù)的意義，學生幾乎難以表達清楚。

在復習階段，教師應以什么方式讓學生對數(shù)的意義有系統(tǒng)理解和歸納？很多教師匆忙中直接百度，并未對其中內(nèi)容進行甄別就加以使用。如對數(shù)的分類，有些教師直接使用了思維導圖（見圖1）。

這個思維導圖很容易給學生一種錯覺：數(shù)分為整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)三類。實際上我們提出數(shù)的分類時，很多學生都會脫口而出：數(shù)分為整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)。

二、思考

在六年級畢業(yè)前，學生要對小學階段知識進行整理復習，這是為接下來的中學學習做好知識儲備。因此，在整理復習時，教師既要引導學生對小學階段所學內(nèi)容進行整體的復習，又要引導學生對中學數(shù)學內(nèi)容有一個大致了解。筆者認為，要對小學階段的“數(shù)”進行準確分類并讓學生理解，首先要解決三個問題：

1.分數(shù)的意義是什么？

2.小數(shù)的意義是什么？

3.小數(shù)是分數(shù)的另一種形式嗎？

三、分析

【教學片段1】

師：老師有4個蘋果，平均分給兩個小朋友，每個小朋友可以分多少個蘋果？

生：4÷2=2，每個小朋友2個蘋果。

師：如果老師有2個蘋果，平均分給兩個小朋友，每個小朋友可以分多少個蘋果？

生：2÷2=1，每個小朋友1個蘋果。

師：那如果老師只有1個蘋果，要平均分給兩個小朋友，每個小朋友可以分多少個蘋果？

生：半個蘋果。

師：你們能用喜歡的方式表示半個嗎？

生1：我畫了一個蘋果，把它從中間分開。

師：你畫得可真形象，是個小畫家，這樣表示一半特別直觀。

生2：我就寫了一個字——半。

師：你寫這個“半”字，一豎下來就能體現(xiàn)出從中間分開。

生1：我用1/2表示。

師：同學們可真有辦法，用自己喜歡的方法表示一半，不過，一半更科學的表示方法就是用表示，你們知道這是什么數(shù)嗎？

生：分數(shù)。

分數(shù)的意義是什么？教材中這樣描述：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，叫作分數(shù)。大部分數(shù)學教材在安排分數(shù)的意義教學時，都安排了“分數(shù)的初步認識”“分數(shù)的再認識”兩部分內(nèi)容，學生對“一個物體或者一個圖形的幾分之一、幾分之幾”的意義是理解的，建立了比較準確的表象，但對“一些物體或一些圖形的幾分之一、幾分之幾”的意義理解并不深刻。對于為什么要學習分數(shù)，教材交代得不是很清楚。分數(shù)與除法、比的關系，北師大版數(shù)學教材針對這一內(nèi)容做了幾次修訂。其實學完這些內(nèi)容后，很多學生對于這幾種關系仍然難以理解。張奠宙先生認為：把除法和分數(shù)的模型簡單化，對于解釋數(shù)學教學的本質是有害的，除法有“等分除”和“包含除”之分，分數(shù)有“量的意義”和“率的意義”之分，教師和學生都要明白。的確，分數(shù)的出現(xiàn)是人類文明史上具有里程碑意義的一件事，從多角度來研究分數(shù)的教學也是一個值得研究的課題。也就是說，目前學生對于分數(shù)概念的建構，基本是建立在“分蘋果”等簡單模型上，理解得并不是很深入。

小數(shù)的意義是什么？這個問題如果在六年級的復習課上提出，幾乎沒有學生能回答出來。學生四年級時學習了小數(shù)意義，但對這個概念的理解還是比較淺的。對于小數(shù)的意義，教材是這樣描述的：把單位“1”平均分成10份、100份、1000份……這樣的1份或幾份是十分之幾，百分之幾，千分之幾……像這樣的分數(shù)可以用小數(shù)表示。北師大版數(shù)學教材從人民幣的元、角、分來引進小數(shù)，然后引導學生將抽象的數(shù)“1”進行十等分，主要通過數(shù)的改寫來認識小數(shù)。小數(shù)和整數(shù)在形式上是統(tǒng)一的，小數(shù)的出現(xiàn)也使得十進制計數(shù)法從整數(shù)擴展到分數(shù)，數(shù)的內(nèi)涵更加豐富了。數(shù)的表現(xiàn)形式改變了，但其中不變的是相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率還是10。

小數(shù)是分數(shù)的另一種形式嗎？其實小數(shù)并不是將分數(shù)改寫而成的，而是自然數(shù)的十進位值計數(shù)規(guī)則進行擴展的結果，0.1是1/10的一種新的表述方法，但是為什么要將1/10寫為0.1呢？實際上，這是為了與自然數(shù)的寫法匹配。針對小數(shù)的教學，一些教材是先講一部分分數(shù)內(nèi)容，再講小數(shù)，便于學生更好地理解小數(shù)的意義。北師大版數(shù)學教材先講分數(shù)再講小數(shù)，講小數(shù)時不強求概念的嚴密準確，而是結合學生的生活經(jīng)驗采用描述性定義的方法講小數(shù)，符合小學生的認知規(guī)律。因為在小學階段學生沒有學習無理數(shù)，所以在有理數(shù)的范疇內(nèi)分數(shù)和小數(shù)是一致的，因此教師并不能簡單地告訴學生小數(shù)是分數(shù)的另一種形式。

那么在小學階段，數(shù)應該怎么分類呢？

【教學片段2】

師：在小學階段，我們學過哪些數(shù)？誰來說一說？

生1：我們學過整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、自然數(shù)、負數(shù)。

師：還有嗎？

生2：正數(shù)、0、百分數(shù)、奇數(shù)、合數(shù)。

師：你們能用思維導圖把小學階段學過的數(shù)進行整理嗎？

生3：我們小組通過整理，把數(shù)分為整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)三類。

師：與這一小組同學想法一樣的同學請舉手。（占了班級半數(shù)以上）還有其他想法嗎？

生4：我們小組把數(shù)分為正數(shù)、0、負數(shù)三類。

生5：我們小組把數(shù)分為整數(shù)、分數(shù)……

生6：我們小組把數(shù)分為整數(shù)、小數(shù)……

師：請大家看老師整理的思維導圖（出示教材思維導圖），你們有什么想法？

生7：我發(fā)現(xiàn)，數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)，但是小數(shù)為什么沒有出現(xiàn)？

師：你這個問題提得真好，大家請看，我把小數(shù)添加在分數(shù)里了。在小學階段，因為我們沒有學習除π以外的無理數(shù)，所以我們認為分數(shù)和小數(shù)是一致的，因此在圖中用“分數(shù)（小數(shù)）”表示（見圖2）。

數(shù)學新課標指出，整體把握教學內(nèi)容，在小學階段要重視對數(shù)與運算主題的整體理解，重視數(shù)的抽象性，通過打通不同數(shù)集之間的關聯(lián)，體會計數(shù)的規(guī)律，感受十進制數(shù)的意義，把握整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的一致性。在數(shù)的認識結構上，教師應該整體把握數(shù)集內(nèi)部的一致性和數(shù)集間的一致性，數(shù)內(nèi)部的一致性即數(shù)的意義、表示方式、大小等，其核心是數(shù)的意義。整體把握不僅有助于深刻理解數(shù)的概念的本質，還能遷移到數(shù)的運算過程中。學生在感悟數(shù)的一致性過程中，學會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，培養(yǎng)了科學精神和理性思維。

北師大版數(shù)學教材是按圖2的思維導圖進行整理的，將數(shù)分成整數(shù)和分數(shù)兩個維度，強調(diào)在小學階段因為學生沒有學習除π以外的無理數(shù)，所以在有理數(shù)范疇內(nèi)分數(shù)和小數(shù)是一致的，因此在圖中用“分數(shù)（小數(shù)）”來表示。實際上分數(shù)和小數(shù)是有區(qū)別的，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)能用分數(shù)表示，無限不循環(huán)小數(shù)，如π不能用分數(shù)表示，分數(shù)多是有理數(shù)，而小數(shù)中，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)。那么還可以怎么分類呢？筆者在教學中出示了教材中的思維導圖，并結合接下來七年級學習的實際情況，給學生整理出了思維導圖（見圖3）：

【教學片段3】

師：同學們，你們很快就將步入中學學習，老師根據(jù)中學數(shù)學內(nèi)容，給大家整理出了思維導圖，你們有什么想法？

生1：為什么要將分數(shù)括在有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)后？

生2：不能直接把有限小數(shù)、無限小數(shù)括在一起嗎？

師：為什么要將分數(shù)括在有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)后，而分數(shù)又不包括無限不循環(huán)小數(shù)？這個問題你們到了中學后就能明白了，老師期待到時候同學們能想起老師的這種分法，并進行解釋。

教師應讓學生帶著問題去探究，帶著問題進入下一階段的學習，學會用整體的、發(fā)展的眼光去探究問題，這樣學生才能獲得全面的發(fā)展。