立足認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念

錢(qián)建軍

“線段、直線、射線”這部分知識(shí)在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中的內(nèi)容要求只有一句話：“結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)線段、射線和直線?！边@節(jié)課難點(diǎn)是線的抽象性，特別是射線與直線，很難找到與之完全匹配的生活原型。有些學(xué)生將射線舉例為“射燈”，但燈光終究有盡頭；有些學(xué)生將直線舉例為太陽(yáng)光線，但光線這樣的例子并沒(méi)有增加多少直觀可感性。教育家杜威認(rèn)為：教育是經(jīng)驗(yàn)的不斷改組或改造。認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾也有一句名言：“如果我不得不把全部教育心理學(xué)還原為一條原理的話，我將會(huì)說(shuō)，影響學(xué)習(xí)的唯一的最重要的因素是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么?！边@兩個(gè)教育論斷充分說(shuō)明了認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的重要性。那么在本課中有哪些認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)可供學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知遷移呢？

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》之后，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)將“線段、直線、射線”這部分內(nèi)容放在“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元之后，學(xué)生通過(guò)整個(gè)單元的學(xué)習(xí)活動(dòng)（特別是“億以上數(shù)的認(rèn)識(shí)”），積累了“數(shù)無(wú)限多”的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。因此用“數(shù)無(wú)限多”去對(duì)應(yīng)并理解“線無(wú)限長(zhǎng)”可以成為一種新的教學(xué)構(gòu)想。在此，還要討論一個(gè)問(wèn)題：數(shù)與形哪個(gè)更直觀？一般認(rèn)為形是具體，數(shù)是抽象。但我們對(duì)事物的理解不能絕對(duì)化。在教材編排體系中，學(xué)生對(duì)大數(shù)的學(xué)習(xí)感知在前，對(duì)“三線”的學(xué)習(xí)安排在后。由此抽象的“數(shù)認(rèn)知”、較形象的“線認(rèn)知”反而具備了直觀性或者是可依靠性。

此外，筆者認(rèn)為“方向”也是本課知識(shí)學(xué)習(xí)的一個(gè)遷移點(diǎn)。對(duì)于方向的認(rèn)知，學(xué)生在四年級(jí)之前就有豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)了。“方向”具有一種不可阻擋的穿透性。比如你指向東，不會(huì)因?yàn)闁|面（近處或遠(yuǎn)處）設(shè)置了某種障礙而可以忽略障礙物背后的空間，它會(huì)一直穿透，一直延伸下去。而這正好可以遷移到射線的一個(gè)重要特征。

綜上所述，筆者認(rèn)為，教學(xué)“線段、直線、射線”這節(jié)課不能僅限于到最后整理一張表格讓學(xué)生區(qū)分“三線”的異同，因?yàn)槟菢涌赡軙?huì)淪為一種記憶性學(xué)習(xí)。本課重要的是立足認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，溝通“數(shù)領(lǐng)域”與“形領(lǐng)域”的聯(lián)系，通過(guò)“以數(shù)解形”與“方向遷移”，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

一、直觀表達(dá)，把握線段的本質(zhì)

1.任務(wù)

（1）畫(huà)一條指定長(zhǎng)度的線段，比較不同的畫(huà)法，認(rèn)識(shí)其相同的意義。

（2）在實(shí)物中理解線段的意義。

2.教學(xué)過(guò)程

師：請(qǐng)大家在作業(yè)紙上畫(huà)一條長(zhǎng)度為10厘米的線段。

（學(xué)生操作）

師（收集學(xué)生作品如圖1）：比較一下這兩種畫(huà)法你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：他們畫(huà)得有點(diǎn)不一樣，左邊線段兩頭是用小短豎，右邊線段兩頭用的是小圓點(diǎn)。

師（追問(wèn)）：你們認(rèn)同這是兩種不同的畫(huà)法嗎？

生：這樣畫(huà)都可以的，它們都表示了起點(diǎn)與終點(diǎn)，長(zhǎng)度都是10厘米。

師：是的，這兩種不同的畫(huà)法意義是一樣的，小短豎與小圓點(diǎn)都表示了線段的兩個(gè)端點(diǎn)，這里的10厘米指的是兩端之間的距離。

師（出示新華字典、筆直馬路、一捆牙簽、一口水井4幅實(shí)物圖，如圖2）：在這些圖示中，你們能想到線段嗎？請(qǐng)上來(lái)指一指。

（學(xué)生指新華字典長(zhǎng)的部分、寬的部分與高的部分，課件顯示）

師：哦，你指的實(shí)際上是這本字典的長(zhǎng)、寬、高，是的，它們都可以看成一條線段。

（學(xué)生指馬路中的白實(shí)線，課件顯示）

師：你指的這一條線段可以看成是這條馬路的長(zhǎng)。

（學(xué)生指出牙簽兩頭之間的一段，課件顯示）

師：你指的是一根牙簽的長(zhǎng)，這也是整捆牙簽的長(zhǎng)。

（學(xué)生指出從井口到井底的一條線，課件顯示）

師：這里可以看成是水井的深。

師：從圖示中抽象出線段，如圖3，同桌討論一下，這些線段之間有什么相同的地方與不同的地方？

生：它們都是直直的，都有兩個(gè)端點(diǎn)，都可以測(cè)量長(zhǎng)度。不同的地方是這些線段有長(zhǎng)有短，它們的方向也不一樣，有豎的、橫的、斜的。

師：不論方向如何、長(zhǎng)短如何，只要是直直的，有兩個(gè)端點(diǎn)，這樣的線我們就叫作線段。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生對(duì)線段并不陌生，在二年級(jí)學(xué)厘米的認(rèn)識(shí)時(shí)就表征過(guò)線段。事實(shí)上不管物體長(zhǎng)成何種形狀，當(dāng)考慮物體長(zhǎng)度、寬度、高度或深度時(shí)，我們都將它抽象成一條線段。把線段看成是兩點(diǎn)之間距離的一種直觀表達(dá)，是對(duì)線段長(zhǎng)度屬性的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

二、數(shù)形結(jié)合，理解射線的特征

1.任務(wù)

（1）增加自然數(shù)列，思考對(duì)應(yīng)的圖示方法。（2）畫(huà)不同方向的射線，認(rèn)識(shí)射線與方向之間的關(guān)聯(lián)。

2.教學(xué)過(guò)程

師：課開(kāi)始的時(shí)候，我們用尺子畫(huà)了一條長(zhǎng)10 cm的線段，我們現(xiàn)在再將這些數(shù)與線段對(duì)應(yīng)起來(lái)（如圖4），我們知道10的后面還有哪些數(shù)？

生：11，12，13……

師：如果圖4這條線段要與上面的數(shù)相對(duì)應(yīng)，那么這條線段要怎么處理？

生：向右邊延長(zhǎng)。

（教師課件演示）

師：13后面還有多少自然數(shù)？大家再數(shù)一些出來(lái)。

生：14，15，16，17……后面還有很多很多，數(shù)不完的。

師：請(qǐng)你們想一想，往這個(gè)方向上，這條線段要怎么畫(huà)才能對(duì)應(yīng)上從0開(kāi)始的所有的數(shù)，請(qǐng)你們?cè)囍阉?huà)到作業(yè)紙上。

（作品展示如圖5所示）

師：請(qǐng)大家說(shuō)一說(shuō)為什么這么表示？

生：第1幅圖，因?yàn)榧堉挥羞@么大，所以只能畫(huà)到邊上。

師：你的意思是如果紙有足夠大，你還會(huì)繼續(xù)不斷地畫(huà)下去？

生：是的。

師：我再給你一些紙，請(qǐng)你來(lái)畫(huà)。

（教師貼紙，學(xué)生畫(huà)線，直至貼、畫(huà)到黑板邊上，如圖6）

師：你這樣畫(huà)完了嗎？

生：沒(méi)畫(huà)完，因?yàn)楹竺娴臄?shù)還有很多很多。

師：其他同學(xué)有什么想說(shuō)的？

生：這樣是永遠(yuǎn)畫(huà)不完的，而且不管怎么畫(huà)，實(shí)際上都只畫(huà)了它的一部分。

生：這樣畫(huà)很浪費(fèi)紙。

師：我們請(qǐng)這個(gè)同學(xué)來(lái)說(shuō)一下，你為什么這么畫(huà)？

生：因?yàn)檫@條線很長(zhǎng)很長(zhǎng)，畫(huà)不完的，所以我用省略號(hào)表示它。

師：現(xiàn)在如果我們把前面增加的紙從右往左逐一撤除掉，再把最后一張紙右側(cè)部分向前折一塊（操作），不管畫(huà)得有多長(zhǎng)，還是畫(huà)得再短一些，實(shí)際上都只畫(huà)了它的一部分，既然怎么都畫(huà)不完，所以我們就用它的一部分來(lái)代表這個(gè)整體。像這樣的線在數(shù)學(xué)上叫作射線。

師：生活中有些事物跟我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的射線有點(diǎn)像。

（課件呈現(xiàn)射燈等圖片）

師：現(xiàn)在請(qǐng)你們?cè)谧鳂I(yè)紙上從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)畫(huà)兩條射線。

（學(xué)生操作）

師：這兩條射線有什么異同？

生：它們都是從同一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的。方向不同，一條是向右延伸的，一條是向上方延伸的。

師：如圖7，為了區(qū)分這兩條射線，需要給它們分別起個(gè)名字。起始的點(diǎn)，我們給個(gè)名字，叫作O點(diǎn)，再往一個(gè)方向上取一點(diǎn)，標(biāo)上一個(gè)字母A，向A方向的無(wú)限延伸的射線叫作射線OA；那么從O點(diǎn)出發(fā)，向B方向無(wú)限延伸的射線叫什么名字？

生：射線OB（課件出示）。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生學(xué)過(guò)“萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”與“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”，對(duì)自然數(shù)的無(wú)限多有比較充分的認(rèn)知感受?！皵?shù)的無(wú)限多”與“線的無(wú)限長(zhǎng)”類(lèi)比相通，學(xué)生的想象有了比較可靠的依托。而且在認(rèn)數(shù)的一般過(guò)程中教材也往往結(jié)合著“數(shù)線”讓學(xué)生把握數(shù)的大小，更何況在直尺上表示刻度的數(shù)與尺的邊線的對(duì)應(yīng)本就互為一體。

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，通過(guò)對(duì)不同表示方法的比較，重在感受符號(hào)化思想，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性，它甚至可以把“省略號(hào)”都省略了，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種很好的認(rèn)知體驗(yàn)。線段的屬性是長(zhǎng)度，射線的屬性是方向。給射線取名且將命名的不同與方向?qū)悠饋?lái)（“A方向與B方向”，從O點(diǎn)出發(fā)向A方向無(wú)限延伸，從O點(diǎn)出發(fā)向B方向無(wú)限延伸），一方面體現(xiàn)了這種區(qū)別的實(shí)際意義，另一方面也讓射線真正歸結(jié)為一種“方向”屬性，因?yàn)橹挥蟹较虿啪邆淞瞬豢勺钃醯拇┩感裕M(jìn)而幫助學(xué)生理解射線無(wú)限長(zhǎng)。

三、遷移類(lèi)比，建構(gòu)直線概念

1.任務(wù)

（1）根據(jù)特征描述想象不同的線。（2）對(duì)應(yīng)整數(shù)數(shù)列與直線。

2.教學(xué)過(guò)程

教師出示表1。

師：如果把線段描述為有始有終，那么射線可以對(duì)應(yīng)哪個(gè)詞語(yǔ)？

生：有始無(wú)終。

師：你們知道無(wú)始無(wú)終的線是長(zhǎng)什么樣的嗎？請(qǐng)?jiān)谧鳂I(yè)紙上畫(huà)一畫(huà)。

（教師呈現(xiàn)直線多種方向的變式）

師：如圖8，我們已經(jīng)知道線段AB對(duì)應(yīng)著一組數(shù)，射線AB對(duì)應(yīng)著一列無(wú)限多的數(shù)，那么A的另一邊會(huì)有哪些數(shù)呢？

生：-1，-2，-3……

師：你們是怎么想到這些數(shù)的？

生：我們家電梯里就有負(fù)數(shù)，天氣溫度也有負(fù)數(shù)。

師：那么還有更小的負(fù)數(shù)嗎？

生：-1000，-10000，-999999……

師：這樣“負(fù)”得完嗎？

生：“負(fù)”不完。

師：是的，負(fù)數(shù)也是無(wú)限多的。把線段向兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)得到一條直線，正好與這些負(fù)數(shù)、正數(shù)完整對(duì)應(yīng)起來(lái)。數(shù)的無(wú)限多與直線的無(wú)限長(zhǎng)道理是一樣的。

【設(shè)計(jì)意圖】由線段到射線是一種知識(shí)的生長(zhǎng)。給線段配上一組自然數(shù)，體現(xiàn)的是一一對(duì)應(yīng)；給射線配上數(shù)列，實(shí)現(xiàn)了線段向一個(gè)方向的突破；由射線到直線（由向一個(gè)方向無(wú)限延伸到向兩個(gè)方向無(wú)限延伸）是一種認(rèn)知的遷移。給直線配上整數(shù)序列，利用學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)（如地下層，零下氣溫等）去理解負(fù)數(shù)，用正數(shù)“無(wú)最大”，負(fù)數(shù)“負(fù)不完”解釋直線的無(wú)限性，由此“數(shù)線”模型真正合二為一，數(shù)的無(wú)限多與線的無(wú)限長(zhǎng)又一次相互映襯。

四、延伸拓展，深化知識(shí)體系

1.任務(wù)

判斷兩條直線是否會(huì)相交，并說(shuō)明理由。

2.教學(xué)過(guò)程

師：屏幕上出現(xiàn)了兩條直線（如圖9），這兩條直線會(huì)相交嗎？

生：會(huì)，它們可以延長(zhǎng)。

師（動(dòng)態(tài)演示向上延長(zhǎng)）：沒(méi)有相交啊。

生：向下延長(zhǎng)就會(huì)相交。

師（動(dòng)態(tài)演示向下延長(zhǎng)至屏幕底邊上）：沒(méi)有相交啊。

生：還可以繼續(xù)延長(zhǎng)，再往下它們就相交了。

師：哦，它們?cè)谖覀兡X子里相交了。

【設(shè)計(jì)意圖】以后學(xué)生要學(xué)習(xí)“同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系不相交即平行”，它的數(shù)學(xué)解釋正是直線可以無(wú)限延長(zhǎng)，這種延長(zhǎng)也有方向性。教師利用課件呈現(xiàn)兩條直線逐漸延長(zhǎng)至屏幕底邊而并未相交，引導(dǎo)學(xué)生想象兩條直線相交在屏幕外面，在我們的腦子里相交，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心）