立足認(rèn)知起點(diǎn)?明晰算理算法

王嘉嘉

【摘 要】口算乘法是筆算乘法的基礎(chǔ)，學(xué)好筆算的前提是要打好口算這座“地基”?；诖?，本文將從學(xué)生和教材雙向探析，把握學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)；通過“情境中喚起意義，推理中深化模型，操作中勾聯(lián)算理，對比中抽象算法”四個維度加深學(xué)生對口算乘法中算理算法的理解；最后在回顧反思中促進(jìn)學(xué)生不斷成長。

【關(guān)鍵詞】口算乘法 認(rèn)知起點(diǎn) 算理算法

“多位數(shù)乘一位數(shù)口算乘法”是人教版數(shù)學(xué)三年級上冊第六單元第一課時(shí)的內(nèi)容。學(xué)生在“表內(nèi)乘法”和“100以內(nèi)的加減法”的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)積累了一定的知識、經(jīng)驗(yàn)和能力。這些已有的認(rèn)知對學(xué)生的學(xué)習(xí)起著多大作用？教師又該采取怎樣的教學(xué)方式落實(shí)教學(xué)目標(biāo)？對此，筆者對本課做了如下教學(xué)分析、實(shí)踐與思考。

一、雙向探析，尋根追因知現(xiàn)狀

（一）學(xué)生認(rèn)知背景分析

學(xué)習(xí)“多位數(shù)乘一位數(shù)口算乘法”之前，學(xué)生就具備了一定的邏輯起點(diǎn)：正確口算100以內(nèi)加減法、熟練掌握表內(nèi)乘法計(jì)算。故不能將它們置于零起點(diǎn)教學(xué)。那么，我們該如何根據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)整體把握設(shè)計(jì)教學(xué)？

基于以上思考，筆者對本校三年級169名學(xué)生做了前測，前測題為：請用你喜歡的方式計(jì)算13×2，并寫出你的思考過程。前測結(jié)果見表1：

通過統(tǒng)計(jì)，學(xué)生借助畫圖、連加、分步、列豎式的方法可以得出正確結(jié)果，且正確率高達(dá)90.53%。但學(xué)生中能明晰多位數(shù)乘一位數(shù)算理的卻很少。因此，筆者認(rèn)為在教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的邏輯起點(diǎn)和現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，整體把握合理設(shè)計(jì)教學(xué)。

（二）教材編排分析

“多位數(shù)乘一位數(shù)口算乘法”主要建立在表內(nèi)乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，其后續(xù)教學(xué)內(nèi)容還包括筆算乘法和用乘法解決問題兩部分。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)怎樣才能做到基于教材又高于教材呢？為此，筆者對人教2001年版和2022年版教材進(jìn)行了比對。

以2001年版教材為例（見表2）。教材中例1以游樂園為背景展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用連加、幾個幾的知識推理學(xué)習(xí)整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)。例2的教學(xué)圍繞“帶250元錢夠嗎”這一問題展開，在學(xué)生無法準(zhǔn)確計(jì)算得數(shù)的情況下無形中“逼”著學(xué)生用估一估的方法解決29×8大約等于多少。

以2022年版教材為例（見表3）。教材繼續(xù)沿用了之前的游樂園主題情境，以“3人要多少錢”為問題核心，在情境中引導(dǎo)學(xué)生利用小棒圖，結(jié)合連加和計(jì)數(shù)單位幫助學(xué)生理解20×3、12×3，通過算理算法的遷移完成200×3和12×4的學(xué)習(xí)。

對比新舊教材，筆者認(rèn)為2022年版教材的編排更為合理。究其原因有以下幾點(diǎn)：一是2001年版教材從口算乘法一下跨越到用估算解決問題顯得較為倉促，同時(shí)把估算作為唯一解題策略方法單一，不符合三年級學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；二是筆算要用到整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)和表內(nèi)乘法，所以2022年版教材在一位數(shù)乘整十、整百、整千數(shù)的口算后緊跟兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）的口算，更顯知識的連貫性；三是2022年版教材新增的兩幅小棒圖更具直觀操作、數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，能有效幫助學(xué)生理解算理、算法。

基于以上分析，可知口算是學(xué)好筆算的前提，為了更好實(shí)現(xiàn)本課的教學(xué)目標(biāo)，筆者在教學(xué)中利用小棒圖這一抓手，試圖讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合、對比溝通等方式溝通多元表征背后的運(yùn)算原理，在操作探究、遷移類推中總結(jié)算法，提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

二、四步實(shí)踐，聚焦問題理脈絡(luò)

（一）創(chuàng)設(shè)中喚起意義

情境創(chuàng)設(shè)是利用熟悉的參考物，幫助學(xué)生將要探究的概念與熟悉的經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，引導(dǎo)他們利用經(jīng)驗(yàn)來解釋說明，形成自己的科學(xué)知識。計(jì)算學(xué)習(xí)往往枯燥乏味，機(jī)械、公式化的學(xué)習(xí)更易使學(xué)生產(chǎn)生厭煩心理，進(jìn)而導(dǎo)致對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)漸失興趣。創(chuàng)設(shè)怎樣的情境更入情呢？筆者特意選擇了貼近學(xué)生實(shí)際生活的游樂園情境，試圖以境引情，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【教學(xué)片段一】

教學(xué)出示：游樂園情境圖。教師引導(dǎo)“瞧，秋天是游玩的季節(jié)，這是游樂園項(xiàng)目價(jià)格表，3個小朋友游玩”，讓學(xué)生提出用乘法解決的數(shù)學(xué)問題并列式。

當(dāng)學(xué)生呈現(xiàn)“5×3=15，8×3=24，12×3=36，15×3=45，20×3=60”這幾種方法后，筆者提問為什么都能用乘法來計(jì)算，以此引出乘法的運(yùn)算意義。

培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，理解運(yùn)算意義是前提，而讓學(xué)生在具體情境中體驗(yàn)運(yùn)算的意義可提高學(xué)習(xí)的實(shí)效性。故筆者選擇2022年版教材沿用的、學(xué)生熟悉的“游樂園”主情境，并適當(dāng)修改價(jià)格表為后續(xù)教學(xué)服務(wù)。在學(xué)生得出一位數(shù)、整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)的算式后，以“剛才的問題為什么都能用乘法計(jì)算”來喚起學(xué)生對乘法意義的認(rèn)知，讓學(xué)生在信息解讀、對比聯(lián)系中明白解決實(shí)際問題的依據(jù)是運(yùn)算的意義。

（二）類推中深化模型

新課標(biāo)倡導(dǎo)的新型學(xué)習(xí)方式之一是在推理、探究中學(xué)習(xí)。但由于家庭、條件等環(huán)境因素的影響，學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)存在明顯差異。因此，教師在教學(xué)時(shí)要根據(jù)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)借助教具進(jìn)行直觀教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在推理中展開新知學(xué)習(xí)，通過知識間的遷移類推建立多位數(shù)乘一位數(shù)的口算模型，從形式上降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。

【教學(xué)片段二】

筆者讓學(xué)生嘗試在計(jì)數(shù)器上表示“20×3，200×3”，引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么兩次都撥了3個2？如果再撥3個2，可以怎么撥？用哪個算式表示？”

根據(jù)學(xué)生的回答，筆者呈現(xiàn)板書后組織學(xué)生觀察3道算式的相同之處和不同之處。

在討論中小結(jié)：雖然計(jì)數(shù)單位不同，但都是利用計(jì)數(shù)單位把整十、整百、整千數(shù)轉(zhuǎn)化成表內(nèi)乘法解決。

前測數(shù)據(jù)表明學(xué)生的認(rèn)知程度存在很大差異，所以很難直觀理解口算乘法的算理、算法。故筆者借助計(jì)數(shù)器這一直觀模型讓學(xué)生經(jīng)歷從“20×3”到“200×3”再到“2000×3”的探究過程。同時(shí)讓學(xué)生在“2個十乘3是6個十，就是60”這一已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過看數(shù)位、撥珠子、說意義等活動幫助學(xué)生厘清算理，逐步建立“整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)”的口算模型。

（三）操作中勾聯(lián)算理

鄭毓信教授曾言：數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)求“全”，而應(yīng)求“聯(lián)”，運(yùn)算教學(xué)也當(dāng)如此。運(yùn)算的問題解決通常有多種算法或表示方法，但由于學(xué)生認(rèn)知差異導(dǎo)致的算理含混不清，已是教學(xué)的痛點(diǎn)所在。教學(xué)中，教師往往需要對學(xué)生多樣的表達(dá)方法進(jìn)行勾聯(lián)，打通知識間的共性，化異求同以促進(jìn)學(xué)生算理的結(jié)構(gòu)化理解。

【教學(xué)片段三】

筆者讓學(xué)生嘗試通過畫一畫、寫一寫證明12×3=36。學(xué)生分別以加法算式（見圖1）、畫圖（見圖2）、分步計(jì)算（見圖3）來表述自己的想法。在學(xué)生發(fā)表見解后，筆者讓學(xué)生嘗試在圖中找到10×3（3個10），2×3（3個2）分別在哪一部分。

三年級學(xué)生還處于具象思維階段，對純文字算理的表述和理解存在困難。因此，筆者讓學(xué)生經(jīng)歷“畫一畫、寫一寫、圈一圈”等操作，借助小棒圖幫助其理解多元表征背后的共性，特設(shè)計(jì)了三次勾聯(lián)：一是結(jié)合小棒圖將12+12+12=36和12×3=36進(jìn)行聯(lián)系，回顧乘法是加法的簡便運(yùn)算；二是將分步計(jì)算和小棒圖進(jìn)行溝通，引導(dǎo)學(xué)生圈出小棒圖每一部分對應(yīng)的算式，通過圖式一一對應(yīng)幫助學(xué)生直觀理解算理；三是在理解小棒圖的基礎(chǔ)上，再次對多種方法進(jìn)行勾聯(lián)和歸納。三次橫向勾聯(lián)都是聚焦多元表征背后的算理“把12看成幾個計(jì)數(shù)單位分別乘3”。在操作中建構(gòu)兩位數(shù)乘一位數(shù)的多種算法，使知識形成一個結(jié)構(gòu)化體系，便于學(xué)生對算理的理解。

（四）對比中抽象算法

算法是對計(jì)算過程的抽象和概括，算法和運(yùn)算技能的形成不是一步到位的，教師需要給予學(xué)生充分的比較、思考、交流的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在感受、討論的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算方法的對比溝通，進(jìn)而抽象出算法。

【教學(xué)片段四】

師：觀察算式“20×3，200×3，2000×3”，這3道算式有什么異同點(diǎn)？組內(nèi)討論比較得出整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法。

【教學(xué)片段五】

師：（口述）每人玩一次旋轉(zhuǎn)木馬5元、一次登月火箭8元，兩項(xiàng)共13元，3個人一共要多少錢？每人玩一次旋轉(zhuǎn)木馬5元、一次過山車12元，兩項(xiàng)共17元，3個人一共要多少錢？

讓學(xué)生試著口算13×3、17×3，思考兩位數(shù)乘一位數(shù)要注意什么，123×3該怎么算。對比“13×3，17×3，123×3”3題，小結(jié)多位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法。

低年級學(xué)生不善于用數(shù)學(xué)術(shù)語來表述算法，總結(jié)、概括的能力也較弱。為此，筆者設(shè)計(jì)了三次對比：一是將整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)進(jìn)行縱向?qū)Ρ鹊贸鲇?jì)算方法；二是將兩位數(shù)乘一位數(shù)口算（進(jìn)位和不進(jìn)位）進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，讓學(xué)生在計(jì)算中注意進(jìn)位、積累算法經(jīng)驗(yàn)；三是在“去情境”狀態(tài)下將兩位數(shù)乘一位數(shù)和多位數(shù)乘一位數(shù)進(jìn)行對比，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)術(shù)語抽象運(yùn)算方法，即把多位數(shù)分成幾個百、幾個十和幾個一乘一位數(shù)，再把乘得的結(jié)果相加。三次對比讓學(xué)生經(jīng)歷了從“分”到“合”的計(jì)算過程、從直觀理解到抽象理解的內(nèi)化過程、從已經(jīng)學(xué)的到將要學(xué)的遷移過程，不僅提升了學(xué)生對運(yùn)算結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，還使運(yùn)算知識得以生長和內(nèi)化。

三、回顧進(jìn)程，梳理反思方致遠(yuǎn)

（一）合理選材，促進(jìn)整體建構(gòu)

第一次試教時(shí)，利用2022年版教材中的游樂園情境圖教學(xué)，但5個游樂項(xiàng)目的價(jià)格使學(xué)生回答的算式多而雜，不利于后續(xù)教學(xué)展開。第二次嘗試精簡游樂項(xiàng)目，修改個別數(shù)據(jù)展開教學(xué)，算理、算法的建構(gòu)呈現(xiàn)出比較好的效果。所以，筆者認(rèn)為今后在選取材料時(shí)需要思考以下幾點(diǎn)：一是所選材料是否貼近學(xué)生生活；二是所選材料能否利于后續(xù)教學(xué)；三是所選材料是否有助于知識間的整體建構(gòu)。

（二）注重感知，夯實(shí)算理算法

第一次教學(xué)“20×3，200×3，2000×3”時(shí)，要求學(xué)生觀察3個算式并歸納算理、算法，難度太大以致學(xué)生表達(dá)不到位，甚至含混不清。再次教學(xué)時(shí)，選用計(jì)數(shù)器這一模型讓學(xué)生在觀察操作、聯(lián)系對比中夯實(shí)算理、算法，效果明顯得到改善。因此，筆者認(rèn)為今后在教學(xué)計(jì)算課時(shí)，可以從以下幾個方面著手：一是借助多元表征直觀地感知；二是借助觀察操作有目的地感知；三是借助聯(lián)系對比深入地感知。

綜上所述，算理的理解和算法的形成是一個循序漸進(jìn)的過程。要想讓學(xué)生更好地明晰口算乘法的算理、算法，筆者認(rèn)為教師要立足學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)，以生活情境為背景、活動探究為腳手架，在類推、操作和對比中感知、建立運(yùn)算模型，讓學(xué)生在理解運(yùn)算意義和算理的過程中掌握算法。