有趣的數(shù)陣圖

朱 文

（江蘇省常州市星辰實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

小朋友，把一些數(shù)按一定的規(guī)則排成各種各樣的圖形，這種圖形就是數(shù)陣圖。填數(shù)陣圖時(shí)，要仔細(xì)觀察數(shù)陣圖的結(jié)構(gòu)，先填寫(xiě)關(guān)鍵位置（不同線的交點(diǎn)、封閉圖形的頂點(diǎn)等）上的數(shù)，再通過(guò)嘗試、調(diào)整，填出其他位置上的數(shù)。

例題1圖1正中心圓圈內(nèi)的數(shù)很特殊，每條線上都有它，我們把它叫作重疊數(shù)。你能將1～7按要求填在圖1的圓圈內(nèi)嗎？

圖1

（1）使每條線上3個(gè)數(shù)的和都是14；

（2）使每條線上3個(gè)數(shù)的和都相等。

（1）從圖1中可以看出，在計(jì)算每條線上3 個(gè)數(shù)的和時(shí)，都要用到重疊數(shù)，確定重疊數(shù)是解題的突破口。

先算出所給7 個(gè)數(shù)的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，再思考重疊數(shù)是幾。因?yàn)槊織l線上3 個(gè)數(shù)的和都是14，所以3 條線上各數(shù)之和是14×3＝42，此時(shí)，重疊數(shù)被多加了2次，可求出重疊數(shù)是（42－28）÷2＝7。

剩下的1，2，3，4，5，6，兩兩之和等于14－7＝7 的有1 和6、2 和5、3 和4。圖2是其中一種填法，通過(guò)調(diào)換數(shù)的位置（重疊數(shù)的位置不變），能得到多種填法。

圖2

（2）確定重疊數(shù)是解題的突破口。根據(jù)題意，在計(jì)算圖1中3條線上的各數(shù)之和時(shí)，重疊數(shù)被多加了2次。若重疊數(shù)是a，要使每條線上各數(shù)的和相等，那么1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋a＋a（即28＋2a）一定是3的倍數(shù)。因?yàn)閍是1～7中的某一個(gè)數(shù)，逐個(gè)嘗試可知，只有1，4，7符合要求。

當(dāng)a＝1時(shí)，每條線上的3個(gè)數(shù)之和是（28＋1×2）÷3＝10；

當(dāng)a＝4時(shí)，每條線上的3個(gè)數(shù)之和是（28＋4×2）÷3＝12；

當(dāng)a＝7時(shí)，每條線上的3個(gè)數(shù)之和是（28＋7×2）÷3＝14。

計(jì)算出了重疊數(shù)及相應(yīng)的各條線上的數(shù)之和，再填數(shù)陣圖就非常容易了，如圖3、圖4、圖5所示，是3 種基本填法，通過(guò)調(diào)換基本填法中數(shù)的位置（重疊數(shù)的位置不變），能得到多種填法。

圖3

圖4

圖5

像圖1這樣，從一個(gè)中心出發(fā)，向外作了一些線，這類(lèi)的數(shù)陣圖是輻射型數(shù)陣圖。解題時(shí)常用的關(guān)系式：已知各數(shù)之和＋重疊數(shù)×（線的條數(shù)－1）＝一條線上各數(shù)之和×線的條數(shù)。

例題2圖6中三角形3 個(gè)頂點(diǎn)處圓圈內(nèi)的數(shù)很特殊，每個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)都在2 條線上，是重疊數(shù)。你能將1～6 按要求填入圖6的圓圈內(nèi)嗎？

圖6

（1）使每條線上3個(gè)數(shù)的和都等于9；

（2）使每條線上3個(gè)數(shù)的和都相等。

（1）從圖6中可以看出，在計(jì)算每條線上3 個(gè)數(shù)的和時(shí)，都要用到重疊數(shù)，確定重疊數(shù)是解題的突破口。

先算出所給6 個(gè)數(shù)的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，再思考3個(gè)重疊數(shù)是幾。因?yàn)槊織l線上3個(gè)數(shù)的和是9，所以3條線上各數(shù)之和是9×3＝27，此時(shí)，3 個(gè)重疊數(shù)都被多加了1 次，可求出3 個(gè)重疊數(shù)的和是27－21＝6。因?yàn)樵?～6內(nèi)，只有1＋2＋3＝6，所以3個(gè)重疊數(shù)是1，2，3，再根據(jù)每條線上數(shù)的和是9，算出其他圓圈內(nèi)的數(shù)，圖7是其中一種填法，通過(guò)調(diào)換數(shù)的位置（3 個(gè)重疊數(shù)只能在3 個(gè)頂點(diǎn)處），能得到多種填法。

圖7

（2）確定重疊數(shù)是解題的突破口。根據(jù)題意，在計(jì)算圖6中3條線上的各數(shù)之和時(shí)，3個(gè)重疊數(shù)都被多加了1次。若3個(gè)重疊數(shù)是a、b、c，要使每條線上各數(shù)的和相等，那么3條線上的數(shù)之和1＋2＋3＋4＋5＋6＋a＋b＋c（即21＋a＋b＋c）一定是3 的倍數(shù)。因?yàn)閍、b、c分別是1～6中的某個(gè)數(shù)，逐個(gè)嘗試可知：

當(dāng)a＋b＋c＝1＋2＋3＝6時(shí)，3條線上各數(shù)的和是（21＋6）÷3＝9；

當(dāng)a＋b＋c＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝2＋3＋4＝9時(shí)，3條線上各數(shù)的和是（21＋9）÷3＝10；

當(dāng)a＋b＋c＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝3＋4＋5＝12時(shí)，3條線上各數(shù)的和是（21＋12）÷3＝11；

當(dāng)a＋b＋c＝4＋5＋6＝15時(shí)，3條線上各數(shù)的和是（21＋15）÷3＝12。

即每條線上3 個(gè)數(shù)的和可以是9，10，11，12，對(duì)應(yīng)的3 個(gè)重疊數(shù)的和分別是6，9，12，15。

經(jīng)過(guò)嘗試，只有當(dāng)3 個(gè)重疊數(shù)分別是1，2，3；1，3，5；2，4，6；4，5，6時(shí)符合要求，這時(shí)每條線上3個(gè)數(shù)的和分別是9，10，11，12。

計(jì)算出了三角形頂點(diǎn)圓圈內(nèi)的數(shù)及相應(yīng)的各條線上的數(shù)之和，再填數(shù)陣圖就非常容易了，如圖8、圖9、圖10、圖11 所示，是4 種基本填法。通過(guò)調(diào)換基本填法中數(shù)的位置（3個(gè)重疊數(shù)只能在3個(gè)頂點(diǎn)處），能得到多種填法。

圖8

圖9

圖10

圖11

像圖6這樣，各邊之間相互連接，形成封閉的圖形，這類(lèi)的數(shù)陣圖是封閉型數(shù)陣圖。解題時(shí)常用的關(guān)系式：已知各數(shù)之和＋重疊數(shù)之和＝每邊各數(shù)之和×邊數(shù)。