基于大倍率電流脈沖的動(dòng)力鋰離子電池阻抗模型優(yōu)化

李欣雨，韓雪冰，盧蘭光，李建秋，歐陽(yáng)明高

（清華大學(xué)汽車安全與節(jié)能國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084）

隨著新能源科學(xué)的不斷發(fā)展，以及能源危機(jī)的不斷加劇，全球?qū)Πl(fā)展新型清潔能源的訴求也越來(lái)越強(qiáng)烈[1-3]。鋰離子電池作為新型動(dòng)力單元和儲(chǔ)能單元，具有能量高，體積小，壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)[4]。鋰離子電池將在我國(guó)的“碳達(dá)峰，碳中和”戰(zhàn)略目標(biāo)中扮演重要角色。電動(dòng)汽車，電動(dòng)自行車，儲(chǔ)能電站，移動(dòng)終端等都是鋰離子電池的應(yīng)用場(chǎng)景[1,5-6]。如圖1 所示，預(yù)計(jì)2023 年全球動(dòng)力電池和儲(chǔ)能電池市場(chǎng)規(guī)模將接近600 GWh，2025 年全球鋰離子電池裝機(jī)量將達(dá)到1255 GWh。隨著鋰離子電池成本的不斷下降和電池技術(shù)的不斷進(jìn)步，全球鋰離子電池市場(chǎng)將繼續(xù)保持較快增長(zhǎng)[7]。

圖1 全球動(dòng)力電池及儲(chǔ)能電池市場(chǎng)規(guī)模預(yù)測(cè)Fig.1 Market size forecast of global power battery and energy storage battery

鋰離子電池在使用過(guò)程中會(huì)因材料老化等問(wèn)題而可能出現(xiàn)安全隱患，甚至造成安全事故[8]。電池的不當(dāng)使用，如過(guò)功率使用，會(huì)加速電池的老化[9]。截至目前，全國(guó)各地已經(jīng)發(fā)生了多起電動(dòng)自行車自燃等事故。2015年5月7日，臺(tái)州市黃巖區(qū)發(fā)生一起夜間電動(dòng)自行車充電起火事故，造成1人死亡，2人受傷[10]。2016 年8 月29 日，深圳市寶安區(qū)某小區(qū)1 樓20 多輛電動(dòng)自行車起火，并引發(fā)火災(zāi)，造成7 人遇難，86人受傷[11]。電池管理系統(tǒng)(Battery management system，BMS)能夠?qū)﹄姵氐墓β蔬\(yùn)行狀態(tài)等狀態(tài)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和調(diào)控，從而減緩電池老化[12]。因此，BMS 對(duì)電池可用功率的估計(jì)對(duì)電池的安全運(yùn)行來(lái)說(shuō)具有十分重要的意義。

BMS 主要通過(guò)電池模型對(duì)電池的荷電狀態(tài)(State of charge，SOC)、健康狀態(tài)(State of health，SOH)、功率狀態(tài)(State of power，SOP)、剩余能量狀態(tài)(State of energy，SOE)等狀態(tài)量進(jìn)行估計(jì)[13-17]。由于SOP 需要估計(jì)電池可以放出的功率，需要更加精確的模型，以確定在不同電流下電池端電壓的情況，從而分析計(jì)算電池的許用功率值[14,18]。

電池模型是BMS 算法的核心，其包括機(jī)理模型和等效電路模型[15,19-21]。而由于實(shí)際算力等原因，通常BMS 中采用等效電路模型描述電池特性[21]。等效電路模型(Equivalent circuit model，ECM)中會(huì)包含一個(gè)電壓源和若干個(gè)阻容元件，其阻容元件描述了電池在有電流激勵(lì)情況下的電壓響應(yīng)情況[22]。電池常用的等效電路模型有以下幾種。

Rint 模型：Rint 模型是最簡(jiǎn)單的等效電路模型。其包括一個(gè)理想電壓源和一個(gè)等效內(nèi)阻R0。電池的內(nèi)阻R0和理想開(kāi)路電壓UOC是SOC 和溫度的函數(shù)。并且在同一SOC 下，電池充電時(shí)的內(nèi)阻也會(huì)發(fā)生變化。Rint 模型的輸出電壓UL與輸出電流的關(guān)系如式(1)所示：

Thevenin模型：即一階RC模型，相比Rint模型，該模型增加了對(duì)動(dòng)力電池極化特性研究。其中，RP和CP分別為極化內(nèi)阻和計(jì)劃電容；RP與CP形成的RC并聯(lián)環(huán)節(jié)的電壓降，用于模擬動(dòng)力電池的極化電壓。其電路模型的電路方程如式(2)所示：

DP 模型：DP 模型使用兩個(gè)RC 并聯(lián)環(huán)節(jié)描述動(dòng)力電池極化特性。該電路模型的方程如式(3)所示：

目前，有關(guān)電池內(nèi)阻的研究仍然較少。大部分研究認(rèn)為內(nèi)阻是電池內(nèi)部的一個(gè)參數(shù)，可以通過(guò)最小二乘法(Recursive least square，RLS)、擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended kalman filter，EKF)等方法進(jìn)行在線辨識(shí)[21,23-24]。對(duì)于可用功率估計(jì)而言，往往需要電池模型在高倍率條件下具有非常高的精度，從而確保電池許用功率估計(jì)的精度。而基于此類線性模型所模擬得出的電池特性在高倍率電流的情況下不能很好地符合電池的非線性特征，模型結(jié)果與實(shí)際電池特性誤差較大。Fleischer[25]研究了不同電流下電池內(nèi)阻的情況，并基于此結(jié)果進(jìn)行了建模和電池SOP 算法開(kāi)發(fā)，闡述了電池阻抗與電流之間的關(guān)系。然而電池阻抗與電流之間的關(guān)系尚需更深入的探索……

現(xiàn)有的電池SOP 估計(jì)算法，通常考慮電池的電流、SOC 和端電壓約束條件，從而獲得最大充放電功率，得到電池的SOP[26]。Xiong 等人[27]利用電池一階RC 模型，辨識(shí)得到電池的參數(shù)，進(jìn)而得到電池功率輸出能力SOP。Waag 等[28]也利用電池一階RC 模型，并考慮了不同電流下電池的內(nèi)阻不同，估計(jì)了電池的SOP；并針對(duì)電池組內(nèi)電池不一致性，提出了相應(yīng)的電池組SOP 算法。隨著電池的使用，電池逐漸衰減，電池模型參數(shù)如容量、內(nèi)阻等也會(huì)發(fā)生變化，因此SOP 估計(jì)也應(yīng)當(dāng)考慮電池的SOH，修正所使用電池模型的參數(shù)值。然而，目前的SOP 所采用的模型，無(wú)法準(zhǔn)確反映在不同倍率下，尤其是高倍率條件下的電池阻抗特性。

因此，本文開(kāi)展不同倍率電池脈沖放電實(shí)驗(yàn)，研究電池阻抗特性。基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出了新的電池阻抗模型，從而實(shí)現(xiàn)大倍率條件下電池特性的高精度描述。預(yù)期成果可以用于動(dòng)力電池的SOP 算法開(kāi)發(fā)。本研究成果在設(shè)計(jì)時(shí)考慮到其模型本身的遷移應(yīng)用特點(diǎn)，如儲(chǔ)能電池領(lǐng)域，高比容量電池領(lǐng)域，或其他動(dòng)力電池領(lǐng)域，如電動(dòng)自行車領(lǐng)域。且目前存在電池容量達(dá)到30 Ah的兩輪電動(dòng)自行車型號(hào)，如雅迪YD1200DT-F，其電池容量可達(dá)35 Ah。因此，本研究成果也可以為電池風(fēng)險(xiǎn)感知提供基礎(chǔ)，提高電池使用安全性。

1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

1.1 實(shí)驗(yàn)對(duì)象及設(shè)備

如圖2 所示，本論文實(shí)驗(yàn)對(duì)象為某廠商42 Ah三元鋰離子電池。電池尺寸為14.83×2.8×9.28 cm。電池單體標(biāo)準(zhǔn)電壓為3.7 V，循環(huán)壽命為1500 次以上，電芯內(nèi)阻為0.75 mΩ，工作溫度范圍為-20 ℃～60 ℃。

圖2 三元鋰離子電池單體Fig.2 Ternary lithium ion battery

電池實(shí)驗(yàn)設(shè)備為一個(gè)8 通道的迪卡龍BNT48V電池充放電測(cè)試設(shè)備和電池測(cè)試恒溫恒濕箱。迪卡龍充放電測(cè)試設(shè)備尺寸為1995 mm×800 mm×870 mm，具有單個(gè)500 A，100VDC 充電/放電電路。設(shè)備可由電池管理器或CAN總線控制。

電池測(cè)試恒溫恒濕箱型號(hào)為科明科技KMT-150。其內(nèi)箱單個(gè)槽尺寸為50 cm×60 cm×50 cm。溫度范圍為-20～180 ℃，溫度偏差≤±2.0 ℃，溫度波動(dòng)度為±0.5 ℃，溫度均勻度≤±1.5 ℃。

1.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及流程

實(shí)驗(yàn)對(duì)象三元鋰離子電池的開(kāi)路電壓特性如下圖3(a)所示。為研究電池的內(nèi)阻特性，通過(guò)脈沖法對(duì)電池進(jìn)行內(nèi)阻測(cè)試。在相同SOC(100%)且相同溫度(25 ℃)的條件下，進(jìn)行了不同大小電流的脈沖30 s 放電實(shí)驗(yàn)，放電電流實(shí)驗(yàn)點(diǎn)如下圖3(b)所示。其中，由于測(cè)試臺(tái)架測(cè)量范圍限制，最大放電電流為500 A，約合12 C。

圖3 (a)電池開(kāi)路電壓特性曲線，(b)脈沖法電池試驗(yàn)點(diǎn)Fig.3 (a)Battery open-circuit voltage characteristic curve, (b)Pulse method battery test points

如圖4所示，實(shí)驗(yàn)首先將多塊充滿電的同一型號(hào)電池放在25 ℃的恒溫放電箱中靜置3 h，保證電池的溫度維持在25 ℃。然后按照?qǐng)D3(b)所示的實(shí)驗(yàn)序號(hào)，將電池安放在放電機(jī)上，進(jìn)行不同倍率的30 s脈沖放電實(shí)驗(yàn)。充放電機(jī)的采樣頻率為1 Hz。

圖4 電池測(cè)試流程圖Fig.4 Flow chart of battery test

2 電池建模及修正方法

2.1 電池一階RC等效電路模型

在電池管理系統(tǒng)之中，通常使用如圖5所示的電池等效電路模型，即一階RC 等效電路模型描述電池特性。其中E為開(kāi)路電壓，R代表了電池的歐姆阻抗，R1、C1則代表了電池的極化過(guò)程，包括電荷轉(zhuǎn)移、SEI(Solid electrolyte interphase)阻抗、擴(kuò)散等過(guò)程。通常1個(gè)RC不能精確地描述電池的極化特性，為提高精度可以選擇2個(gè)甚至多個(gè)RC環(huán)節(jié)。

圖5 電池一階RC模型Fig.5 First order RC model of the battery

假設(shè)有n 個(gè)RC 組分，則對(duì)于第i 個(gè)RC 環(huán)節(jié)來(lái)講，有：

其中，τi=RiCi，代表了RC環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。

對(duì)于有n 個(gè)RC 環(huán)節(jié)的等效電路來(lái)講，則可以使用如下的方程進(jìn)行描述。

從BMS實(shí)用的角度出發(fā)，通常一階RC模型足以描述電池的行為，其誤差在可以接受的范圍內(nèi)。如圖5所示的等效電路模型，可以使用如下的方程進(jìn)行描述。

2.2 不同倍率條件下的電池阻抗模型

實(shí)驗(yàn)室中，通過(guò)對(duì)電池施加電流脈沖，測(cè)量電池的電壓響應(yīng)以確定電池的阻抗特性。通常施加給電池的電流脈沖如圖6(a)所示，依據(jù)電池的用途，施加的電流脈沖時(shí)間不同，通常為10 s 或者30 s。相應(yīng)的電池電壓響應(yīng)如圖6(b)所示。根據(jù)電池的電壓響應(yīng)情況，可以計(jì)算電池的內(nèi)阻，通常定義電池的歐姆內(nèi)阻為：

圖6 脈沖實(shí)驗(yàn)曲線示意圖Fig.6 Schematic diagram of pulse experiment curve

電池的30 s內(nèi)阻如式(8)所示：

事實(shí)上，可以推廣定義脈沖測(cè)試情況下，電池不同時(shí)間階段的內(nèi)阻值R(t)如式(9)所示：

理論上講，在不考慮SOC 變化的情況下，依據(jù)如圖5所示的等效電路模型，如式(10)所示：

當(dāng)t充分大的時(shí)候，R(∞)即等于R+R1。

如果考慮SOC變化導(dǎo)致的開(kāi)路電壓變化影響，則可以得到式(11)：

其中，電池的開(kāi)路電壓符合式(12)：

其中f(·)代表了SOC 與開(kāi)路電壓的關(guān)系函數(shù)，z 代表了電池的SOC，z(0)為脈沖前的電池SOC，而z(t)為t時(shí)刻電池SOC，符合：

進(jìn)一步近似認(rèn)為脈沖時(shí)間內(nèi)，電池的開(kāi)路電壓變化符合線性，則可以得到：

其中z為SOC。

如圖7(a)所示，為R(t)示意圖，R(t)即為ΔU/I。隨著時(shí)間增長(zhǎng)，R(t)也逐漸增加。

圖7 (a)脈沖實(shí)驗(yàn)下R(t)變化曲線 (b)等效電路模型假設(shè)下的SOP估計(jì)結(jié)果示意圖Fig.7 (a) R(t) change curves under pulse experiment (b) Schematic diagram of SOP estimation results under the assumption of equivalent circuit model

通常認(rèn)為，電流越大，極化內(nèi)阻越小。這一點(diǎn)主要可能由于以下原因?qū)е拢捍箅娏鲗?dǎo)致電池內(nèi)部顯著的溫度增加，以及活化過(guò)電勢(shì)與電流之間存在的非線性關(guān)系，隨著電流增加，活化過(guò)電勢(shì)增長(zhǎng)速率降低，也就是說(shuō)：

按照Sauer論文的結(jié)果，認(rèn)為R1(I)符合：

具體推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄5.1。在此模型下，基于小電流工況下獲得的電池阻抗比實(shí)際大電流脈沖下的阻抗要大。因此，SOP 估計(jì)結(jié)果如圖7(b)所示，使用小電流測(cè)試得到的電池阻值大于實(shí)際大電流情況下的電池阻值，則根據(jù)此偏大阻值估計(jì)得到的電池許用電流和許用功率會(huì)偏小。也就是說(shuō)，估計(jì)得到的SOP 結(jié)果是比較保守的，應(yīng)用此SOP 結(jié)果，電池應(yīng)該會(huì)更加安全，不會(huì)到達(dá)截止電壓，引起安全性和耐久性問(wèn)題。

2.3 電池阻抗模型修正

然而實(shí)際情況中，在大電流條件下，電池的內(nèi)部阻抗會(huì)出現(xiàn)迅速增大的情況。這與基于上述模型所得的結(jié)論相反，具體結(jié)果詳見(jiàn)3.1 部分。為解決上述過(guò)放電問(wèn)題，需要開(kāi)發(fā)適用于大倍率脈沖工況的電池模型。首先需要分析電池阻抗在不同工況下的特性。

5 s、15 s、30 s內(nèi)阻情況如圖8所示。可以看到在t=5 s 的情況下，電池的內(nèi)阻仍然隨著電流增加而減小，表明電池的阻抗仍然符合公式(16)描述的模型。但是在當(dāng)前的溫度和SOC 情況下，本論文中測(cè)試的電芯在不同倍率下所對(duì)應(yīng)的阻值相差較小，其差距基本只有約3%。因而基本可以忽略電流對(duì)內(nèi)阻值的影響。而在t=15 s 和30 s 的情況下，在大于6 C的情況下，電池表現(xiàn)出來(lái)的內(nèi)阻隨著電流的增長(zhǎng)會(huì)迅速的增加。

圖8 電池內(nèi)阻與倍率的關(guān)系Fig.8 Relationship between battery internal resistance and multiplier

可以看到，當(dāng)電流大于8 C時(shí)，電池的阻抗特性已經(jīng)完全不同，需要基于新的模型進(jìn)行電池特性的分析?；谝酝某晒?，這一現(xiàn)象可以使用電池內(nèi)部固相擴(kuò)散理論進(jìn)行解釋。分析如圖9所示，在大倍率情況下，由于固相擴(kuò)散導(dǎo)致顆粒表面濃度與平均濃度出現(xiàn)較大差異，導(dǎo)致電池電壓迅速下降，體現(xiàn)為阻抗急劇增加。

圖9 電池大倍率沖放電電壓變化分析示意圖Fig.9 Schematic diagram of voltage change analysis of battery high rate charge discharge

具體而言，在大倍率情況下，顆粒表面SOC和平均SOC產(chǎn)生極大的差異，顆粒表面SOC指數(shù)函數(shù)迅速降低，相應(yīng)的電池表面SOC決定的電池開(kāi)路電壓也迅速降低，導(dǎo)致電池端電壓隨著加速下降。也就是說(shuō)在式(11)中電池的開(kāi)路電壓E符合下式(17)：

在電流小于等于6 C，或者電流雖然大于6 C，但是t < tthreshold的情況下，可以忽略表面SOC 和平均SOC的差別，表面SOC即等于其平均SOC，則上述式(17)即可以簡(jiǎn)化為式(12)。而當(dāng)電流大于6 C 的情況下，當(dāng)t > tthreshold的時(shí)候，則表面SOC和平均SOC 之間的差異不可以忽略，必須予以考慮。這里tthreshold應(yīng)當(dāng)為電流的函數(shù)，不過(guò)為了簡(jiǎn)化考慮，可以認(rèn)為其即為一個(gè)常數(shù)，適用于電流為8～12 C的情況。

當(dāng)電流大于8 C，且t > tthreshold時(shí)，電池的表面SOC 與平均SOC 之差會(huì)按照指數(shù)規(guī)律增加，指數(shù)速度與倍率線性相關(guān)，即

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 不同倍率電池脈沖放電實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)際情況下測(cè)試得到100%SOC下電池，在不同脈沖電流下，電池電壓響應(yīng)曲線如下圖10(a)所示?？梢钥吹綄?shí)際測(cè)試的結(jié)果與通常的經(jīng)驗(yàn)情況有較大的差別?？梢岳L制脈沖實(shí)驗(yàn)測(cè)試過(guò)程中不同電流下的ΔU/I，也就是R(t)曲線如下圖10(b)所示。

圖10 (a)不同倍率電池脈沖放電實(shí)驗(yàn)曲線 (b)不同倍率電池脈沖放電電池R(t)變化曲線Fig.10 (a) Experimental curves of battery pulse discharge at different rates (b) R(t) curve of pulse discharge battery with different rates

可以看到，對(duì)于所測(cè)試的電池來(lái)講，在電流小于等于6 C的情況下，電池的內(nèi)阻變化情況基本都遵循相同的規(guī)律，基本符合公式(15)。然而，當(dāng)電流超過(guò)6 C以后，電池的電壓變化以及表現(xiàn)出來(lái)的阻抗變化情況，已經(jīng)無(wú)法使用公式(15)來(lái)描述。在大電流情況下，電池的阻抗迅速增加，遠(yuǎn)大于小電流情況下的阻抗值，導(dǎo)致電池電壓迅速降低。如果依舊遵循公式(15)，利用小電流情況下獲得的電池內(nèi)阻進(jìn)行電池SOP 估計(jì)的時(shí)候，其結(jié)果非但不是偏小的，反而是嚴(yán)重偏大的。這可能會(huì)導(dǎo)致電池迅速達(dá)到甚至超過(guò)截止電壓，導(dǎo)致電池出現(xiàn)安全性和耐久性問(wèn)題。

3.2 基于常用等效電路模型的脈沖放電實(shí)驗(yàn)及仿真結(jié)果分析

按照常用的等效電路模型，依據(jù)小倍率情況下電池電壓的響應(yīng)擬合電池模型，按照式(14)進(jìn)行不同倍率脈沖放電下的電池模型仿真，電壓曲線如圖11 所示。相應(yīng)的在進(jìn)行最大需用電流估計(jì)的時(shí)候，在不考慮電池在大倍率放電情況下的電壓急劇下降現(xiàn)象，根據(jù)公式(14)，電池的30 s最大可用電流符合下式所示：

圖11 實(shí)驗(yàn)曲線與常用等效電路模型對(duì)比圖Fig.11 Comparison of experimental curve and common equivalent circuit model

根據(jù)上式，可以計(jì)算得到，電池的30 s許用電流為708 A。然而，在500 A 的情況下，僅僅經(jīng)過(guò)不足20 s，電池電壓已經(jīng)降低到了放電截止電壓。如果按照708 A去使用電池30 s，肯定會(huì)導(dǎo)致電池過(guò)放電，影響電池壽命安全。

3.3 基于改進(jìn)的阻抗模型的脈沖放電實(shí)驗(yàn)及仿真結(jié)果分析

采用改進(jìn)后的電池阻抗模型，按照式(18)進(jìn)行不同倍率脈沖放電下的電壓曲線仿真。其中，公式(18)中的參數(shù)通過(guò)遺傳算法強(qiáng)行優(yōu)化得出。曲線模擬結(jié)果如下圖12 所示，新模型和原始模型的誤差對(duì)比如下表1所示。

表1 原始等效電路模型和改進(jìn)模型仿真誤差比較Table 1 Comparison of simulation errors between the original equivalent circuit model and the improved model

圖12 實(shí)驗(yàn)曲線與改進(jìn)模型的仿真結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of experimental curves and simulation results of the improved model

可以看到，采用舊模型且大倍率情況下，其誤差較大，可能高達(dá)200 mV以上，相對(duì)誤差為8%；采用新模型，可以有效改善高電壓降情況，模型誤差大幅度降低，相對(duì)誤差可達(dá)1.74%。其中，表中模型誤差由每個(gè)倍率下最后一個(gè)采樣點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)值與模擬值相減計(jì)算得到。

絕對(duì)誤差算法：

相對(duì)誤差算法：

4 總結(jié)與展望

本文研究了42 Ah動(dòng)力電池不同倍率下的阻抗特性，針對(duì)不同電流下電池的內(nèi)阻進(jìn)行了研究與建模分析，研究成果可用于BMS 中的電池模型實(shí)時(shí)仿真計(jì)算，對(duì)電池的SOP估計(jì)具有較大的意義。

首先，針對(duì)某款商用三元鋰離子電池開(kāi)展了不同倍率的脈沖放電實(shí)驗(yàn)，研究電池內(nèi)阻的特性；其次，分析了電池阻抗與電流的關(guān)系，結(jié)果表明在電池超過(guò)一定倍率和脈沖時(shí)間超過(guò)一定長(zhǎng)度后，電池阻抗將體現(xiàn)出與小倍率情況相比截然不同的特性；基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析，提出了新的電池模型，以高精度的描述電池在大倍率情況下的特性。

研究成果相比較傳統(tǒng)的ECM 提高了精度，而相比P2D機(jī)理模型則計(jì)算量非常小，預(yù)期可以用于BMS 中電池模型的在線仿真和計(jì)算，提高電池SOP 估計(jì)精度，防止SOP 估計(jì)結(jié)果過(guò)大，導(dǎo)致動(dòng)力電池在使用過(guò)程中出現(xiàn)過(guò)放等安全問(wèn)題。從而更好地實(shí)現(xiàn)電池的主動(dòng)安全管理及優(yōu)化，確保電池使用安全和提升電池使用壽命。而SOP 算法與傳統(tǒng)SOP算法相同，本文不再贅述。

本文對(duì)高倍率下的電池阻抗模型進(jìn)行了改進(jìn)，其模型可以應(yīng)用于高倍率下的SOP 的估計(jì)。未來(lái)擬進(jìn)一步針對(duì)不同類型的電動(dòng)自行車動(dòng)力電池，對(duì)在不同溫度和不同SOC 情況下的動(dòng)力電池阻抗特性進(jìn)行深入的研究和探索。

5 附 錄

5.1 對(duì)電池電阻R(I)的電流依賴性進(jìn)行建模

阻抗R(I)主要和電荷轉(zhuǎn)移反應(yīng)有關(guān)，用巴特勒-伏爾摩方程可以描述為：

A是電極活性面積；ac和aa是陰極和陽(yáng)極的電荷轉(zhuǎn)移系數(shù)(ac+aa=1)；n 是參與電極反應(yīng)的電子數(shù)；F 是法拉第常數(shù)；Rg是通用氣體常數(shù)；T 是絕對(duì)溫度；VC是活化過(guò)電勢(shì)。

假設(shè)陽(yáng)極和陰極的電荷轉(zhuǎn)移系數(shù)相等(ac=aa)(對(duì)鋰離子電池來(lái)說(shuō)是合理的)，并且用I0=2 ?A ?i0和K =兩個(gè)替換，B-V方程可以表示為：

應(yīng)用雙曲正弦函數(shù)的定義y=sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2 并且使用其反函數(shù)x=sinh-1(y)，其活化過(guò)電勢(shì)可以寫為：

其阻抗R(I)可以定義為：

I = 0時(shí)的奇點(diǎn)可以使用以下公式替換來(lái)解決：