3D打印類巖石材料強度特性與動態(tài)損傷本構(gòu)模型

傅晶晶,王志亮,李松玉,封陳晨

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,合肥 230009)

3D打印是近些年迅速發(fā)展的先進成型技術(shù),不同于傳統(tǒng)制造技術(shù)所采用的“減材加工”等方法,以計算機生成的三維數(shù)字模型為基礎(chǔ),將打印材料進行逐層打印形成實體[1-2]。目前,這項技術(shù)已廣泛應(yīng)用于機械、醫(yī)療、工程等領(lǐng)域,并逐漸延展到巖土工程問題研究中。該技術(shù)結(jié)合CT掃描等細觀結(jié)果,可快捷制備出含預(yù)制缺陷形態(tài)和復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征的巖體模型。由于重復(fù)性好,批次打印的巖樣不但具有完全相同的結(jié)構(gòu),而且其均勻性要優(yōu)于天然巖體,一定程度上解決了巖石力學(xué)試驗重復(fù)性低的問題。

在過去的十年中,有學(xué)者針對這一新的研究方向進行了諸多扎實的基礎(chǔ)工作。Jiang等[3]基于無側(cè)限抗壓強度和直接拉伸實驗結(jié)果,發(fā)現(xiàn)以聚乳酸為打印材料和融合沉積建模的3D打印技術(shù)不適合模擬巖石。田威等[4]對3D打印巖樣進行力學(xué)性能試驗,并從打印巖樣的單軸抗壓強度和破裂狀態(tài)角度分析,發(fā)現(xiàn)3D打印試樣與天然砂巖的物理力學(xué)性質(zhì)較為接近。Sharafisafa等[5]通過對含單、雙裂紋的試樣進行巴西圓盤準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗,揭示了類巖石試樣的預(yù)制裂紋擴展和貫通機制。蔣力帥等[6]基于砂型3D打印試樣,通過開展動靜態(tài)試驗探析了砂型3D打印試樣與天然煤樣力學(xué)特性的相似性。然而,這些研究大多聚焦于靜態(tài)試驗下完整或含預(yù)制裂隙試樣的力學(xué)特性,對含不同打印傾角的類巖石材料動態(tài)力學(xué)特性等方面的研究涉及較少。

迄今,關(guān)于天然巖石類動態(tài)本構(gòu)關(guān)系的研究已經(jīng)取得了矚目成果。郭德勇等[7]根據(jù)不同沖擊速度下煤巖力學(xué)響應(yīng)明顯的分段特征,建立含低-中-高應(yīng)變率響應(yīng)的黏彈性損傷本構(gòu)模型。謝理想等[8]基于軟巖及混凝土材料在動態(tài)壓縮下的力學(xué)特點,發(fā)展了既帶有損傷特性又保留了黏性單元的損傷型本構(gòu)模型。Zhai等[9]為了展現(xiàn)巖石凍融后的動力特性,提出了一種考慮多種形式耗散能的損傷本構(gòu)方程。孫清佩等[10-11]針對不同層理方向的黑色頁巖,采用分離式霍普金森桿(SHPB)開展了3種應(yīng)變率下動態(tài)壓縮試驗,并建立考慮初始損傷與受荷損傷耦合作用的本構(gòu)模型。

綜上,類巖石材料的動損傷特性方面雖然取得不少成果,但在其層狀結(jié)構(gòu)以及本構(gòu)模型中考慮殘余強度方面工作開展較少。為此,借鑒已有的本構(gòu)模型,先采用3D打印技術(shù)重構(gòu)層狀大理巖試樣,對其開展動態(tài)壓縮試驗。依據(jù)力學(xué)元件組合原理,將彈簧元件、Weibull分布損傷體與Maxwell體并聯(lián),同時考慮試樣殘余強度的影響,引入損傷修正系數(shù)并構(gòu)建黏彈性本構(gòu)模型。最后,結(jié)合室內(nèi)試驗結(jié)果和相關(guān)文獻數(shù)據(jù)驗證模型的適用性,力求得出有參考價值的結(jié)論。

1 試樣及試驗儀器

1.1 試樣制備

試樣采用粉末黏結(jié)成型打印技術(shù),設(shè)備是3D System公司生產(chǎn)的Project 860打印機;原材料為VisiJet PXL類石膏粉末,主要成分為CaSO4·0.5H2O,密度為1.4 g/cm3。在制備之前,根據(jù)CT掃描等細觀試驗結(jié)果,確定天然層狀大理巖內(nèi)部晶體結(jié)構(gòu)。隨后,在電腦上建立試樣模型,并以STL格式導(dǎo)出。當(dāng)打印機預(yù)熱后,滾軸將供粉槽內(nèi)存儲的粉末推到成型槽上,每層的鋪粉厚度為1 mm,打印噴頭根據(jù)計算機指令在X軸和Y軸移動并將膠水噴涂至相應(yīng)區(qū)域,即試樣的第一層打印完畢;供粉槽向上抬高一層高度,成型槽往下降落相同的高度,滾軸再次送粉到成型槽(如圖1),重復(fù)以上步驟即可完成試樣制備[12]。打印完畢后為了使試樣充分干燥,需自然晾干14 d[13]。

圖1 3D打印工藝流程示意

上述用于CT掃描的大理巖試樣取自錦屏二級水電站的深埋引水隧洞,其密度為2.81 g/cm3,主要成分有白云石和石英等,外觀上整體呈灰白色。

在3D打印過程中,通過變化打印傾角,可制作出不同層理方向的層狀試樣。共設(shè)置有0°、30°、45°、60°和90°5組打印方向,每組制作不少于3個試樣,尺寸為φ50 mm×25 mm(如圖2所示),兩端面不平行度誤差最大不超過0.05 mm。

圖2 3D打印試樣

1.2 試驗儀器及方法

試樣的沖擊壓縮試驗在SHPB(圖3)上完成,該系統(tǒng)主要由驅(qū)動系統(tǒng)、壓桿系統(tǒng)、信息采集及分析系統(tǒng)及緩沖裝置組成。其中,沖擊子彈的長度為0.4 m,入射桿與透射桿的長度分別為2.4和1.4 m。所有桿件都采用高強度合金鋼,密度為7 900 kg/m3,彈性模量為210 GPa,試驗中子彈速度均控制在7 m/s附近。

圖3 SHPB試驗裝置

按照一維應(yīng)力波理論,采用簡化的“三波法”處理實驗數(shù)據(jù)[14],得到試樣應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變率之間的關(guān)系:

(1)

(2)

(3)

式中:A為壓桿的截面積,AS為試樣的截面積,c為壓桿的波速,lS為試樣長度,E為壓桿的彈性模量,εI(t)、εR(t)、εT(t)分別為入射波、反射波、透射波的應(yīng)變時程。

圖4為典型動態(tài)波形平衡圖(縱軸為電壓),疊加入射波和反射波,發(fā)現(xiàn)其波形與透射波在峰值之前幾乎重合,表明試樣兩端的動應(yīng)力達到了平衡,即試驗滿足一維應(yīng)力均勻性假設(shè)。在本研究中,對所有的試驗結(jié)果進行了嚴(yán)格的應(yīng)力時程檢查,并剔除了少數(shù)不能滿足動應(yīng)力平衡的試驗結(jié)果。

圖4 壓縮試驗中典型的動態(tài)應(yīng)力平衡

圖5顯示的應(yīng)力-應(yīng)變曲線總體上可以分為兩類[15]:第1類為“應(yīng)變軟化”型,即加載后的試樣在比原來更低的應(yīng)力處就能發(fā)生進一步變形,如45°和60°層理傾角時的曲線;第2類為“回彈”型,表現(xiàn)為當(dāng)應(yīng)變達到一個值后又回彈變小,峰后曲線的斜率大于0,見圖5中的0°、30°以及90°傾角的曲線。圖6為試樣峰值強度與應(yīng)變率變化曲線?？梢钥闯?試樣動態(tài)峰值強度隨著傾角的變化呈現(xiàn)先減小后增大的“V”形規(guī)律,而應(yīng)變率的變化規(guī)律則相反。在60°傾角時,應(yīng)變率達到最大而峰值強度最小,此時各向異性顯著。

圖5 層狀類巖石試樣應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖6 峰值強度與應(yīng)變率變化曲線

2 損傷本構(gòu)模型建立

2.1 ZWT本構(gòu)介紹

在動態(tài)沖擊條件下,巖石類材料的力學(xué)特性不僅具有彈性和塑性,還展現(xiàn)出隨時間變化的黏性。朱-王-唐(ZWT)本構(gòu)模型能較好地表征這些特性,該模型是唐志平等在Green等[16]建立的高分子和金屬材料的本構(gòu)基礎(chǔ)上,結(jié)合Coleman-Noll的有限線性黏彈性理論[17],并參照試驗結(jié)論推導(dǎo)得出的。研究發(fā)現(xiàn)其適用于沖擊荷載下高分子復(fù)合材料、混凝土與巖石等脆性介質(zhì)力學(xué)性能的表征。

圖7(a)顯示該模型由兩個分別描述不同應(yīng)變率下黏彈性響應(yīng)特征的Maxwell體和一個理想彈簧元件并聯(lián)組成,低頻和高頻部分的松弛時間φ1、φ2量級范圍一般對應(yīng)為10～102和10-4～10-6s;E1、E2表示不同Maxwell體中彈簧的彈性模量;η1與η2代表不同響應(yīng)下黏壺的黏滯系數(shù)。具體本構(gòu)方程為

圖7 本構(gòu)模型示意

(4)

f(ε)=E0ε+λε2+γε3

(5)

2.2 考慮殘余強度的修正模型

ZWT模型對于類巖石材料的應(yīng)用略顯復(fù)雜,在構(gòu)建3D打印大理巖的本構(gòu)模型時,需綜合考慮初始損傷和應(yīng)變率硬化等效應(yīng)對材料動態(tài)力學(xué)特性的影響,故對模型進行以下改進:

1)式(5)中f(ε)多項式描述材料的彈性性能與應(yīng)變率無關(guān)。此外,f(ε)中后兩項是平衡應(yīng)力泰勒展開式的近似項,由于應(yīng)變的量級很小,可省略后兩項直接簡化成線性彈簧元件。

2)上述1.2節(jié)沖擊試驗結(jié)果表明,當(dāng)應(yīng)變率量級為102,應(yīng)變量級為10-3～10-2,此過程中低頻Maxwell體無足夠的時間進行應(yīng)力松弛,可將其視作一個普通的彈簧元件。

3)ZWT模型雖然能夠反映材料的黏彈性特征以及在沖擊荷載下的力學(xué)響應(yīng),卻忽視了材料的損傷特性,而對于層狀3D打印試樣,損傷是不可忽略的。所以,并聯(lián)一個反映損傷演化特性損傷體D。

改進后的本構(gòu)模型見圖7(b)所示,其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

σ(t)=σ1(t)+σ2(t)+σ3(t)

(6)

其中,彈簧體的本構(gòu)關(guān)系表達如下:

σ1(t)=Eaε

(7)

式中Ea=E0+E1。

對于串聯(lián)彈簧元件和黏滯體得到的Maxwell體,有

σ2(t)=σ21(t)=σ22(t)

(8)

ε2(t)=ε21(t)+ε22(t)

(9)

σ21(t)=E2ε21(t)

(10)

(11)

對式(9)兩邊求導(dǎo),并聯(lián)合式(8)、(10)和(11)得

(12)

對式(12)進行拉普拉斯變化后可得

(13)

(14)

其中S為拉普拉斯復(fù)函數(shù)。

將邊界條件σ(0)=0代入式(14)整理得

(15)

對式(15)進行拉普拉斯逆變換得

(16)

(17)

假設(shè)巖體是由大量微元體構(gòu)成的集合,可以將微元視為一個質(zhì)點。在微元體強度服從Weibull分布前提下,損傷變量D可表達如下[18-19]:

(18)

式中D的取值范圍為0～1.0。

考慮到巖樣的殘余強度特性,引入損傷修正系數(shù)ξ(0<ξ<1)。根據(jù)Lemaitre應(yīng)變等效原理[20],修正后的損傷體表達式為

{σ3}=[C]{ε3}/(1-ξD)

(19)

(20)

式中:σ3為有效應(yīng)力,[C]為材料彈性矩陣,σr為殘余強度,σc為峰值強度。

將式(18)代入式(19)可得

σ3(t)=(1-ξD)E3ε(t)=

(21)

基于損傷修正的動態(tài)本構(gòu)方程表示為

(22)

3 模型驗證

3.1 模型參數(shù)確定及其驗證

該本構(gòu)模型涉及Ea、E2、E3、η2、m和ξ6個參數(shù)。其中,損傷修正系數(shù)ξ可由式(20)計算得出,結(jié)果見表1。黏滯系數(shù)η2在0.1～0.5取值。余下4個模型參數(shù),先利用試樣準(zhǔn)靜態(tài)和準(zhǔn)動態(tài)的壓縮曲線擬合得到Ea、E2,然后擬合高應(yīng)變率沖擊下試樣的力學(xué)關(guān)系曲線,得到E3和η2,各參數(shù)取值見表2。

表1 3D打印巖樣的損傷本構(gòu)參數(shù)

表2 3D打印類巖石材料模型參數(shù)

圖8給出了模型理論擬合曲線與試驗數(shù)據(jù)對比。可以看出,在傾角為45°時,修正后曲線的峰值應(yīng)變較未修正的曲線更接近試驗值;在傾角為60°時,就其峰后階段,修正后的理論曲線吻合度較高,與試驗值相比理論曲線誤差較小;當(dāng)傾角為0°、30°和90°時,擬合曲線在峰前階段與試驗曲線幾乎重合,但由于本構(gòu)模型中應(yīng)力與應(yīng)變一一對應(yīng),難以表征出“回彈型”全應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。整體而言,修正后的本構(gòu)模型可較好地表征基于3D打印的層狀類巖石材料力學(xué)特性。

圖8 理論擬合曲線與試驗數(shù)據(jù)對比

3.2 模型適用性檢驗

為了進一步考察上述本構(gòu)模型的適用性,特引用黑色層狀頁巖單軸沖擊壓縮試驗結(jié)果[10]進行驗證。表3和圖9顯示,當(dāng)應(yīng)變率為102.35 s-1,本文模型比孫清佩等提出的模型[10](以下簡稱“孫模型”)擬合優(yōu)度或可決系數(shù)要高,特別是層理傾角為15°時,可決系數(shù)遠高于孫模型,對可決系數(shù)稍低的90°曲線也能達到0.991。當(dāng)應(yīng)變率為147.27 s-1時,本文模型擬合的峰值強度和峰值應(yīng)變與實測數(shù)據(jù)非常吻合,如圖9(b)、(d)和(f)所示。此外,由于本文模型考慮了峰后階段殘余強度的修正,擬合曲線對黑色層理頁巖峰后階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系也能很好地表征(見圖9(a)、(b)和(f));當(dāng)應(yīng)變率為190.77 s-1時,本文模型不但準(zhǔn)確地描述了峰前階段的應(yīng)力變化規(guī)律(見圖9(d)),而且對曲線峰后階段特征也能準(zhǔn)確地揭示(見圖9(b)、(e)和(f))。

表3 曲線擬合的可決系數(shù)

4 結(jié) 論

結(jié)合基于3D打印的層狀類巖石試樣動態(tài)測試數(shù)據(jù),對傳統(tǒng)的朱-王-唐本構(gòu)模型進行改進,在考慮試樣殘余強度的基礎(chǔ)上引入損傷修正系數(shù),并通過試驗結(jié)果和文獻數(shù)據(jù)對模型進行了驗證,主要結(jié)論如下:

1)基于3D打印的層狀類巖石材料單軸動態(tài)壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線有“回彈”和“應(yīng)變軟化”兩種類型;其動態(tài)抗壓強度隨傾角的變化呈現(xiàn)先減小后增大的“V”形變化趨勢,應(yīng)變率則相反,在60°傾角時試樣各向異性顯著。

2)所發(fā)展的動態(tài)損傷本構(gòu)模型能較好地反映基于3D打印的層狀類巖石試樣動態(tài)壓縮下應(yīng)力-應(yīng)變行為,修正前后的曲線在峰前階段差異不甚明顯,但引入了損傷修正系數(shù)的理論模型曲線能準(zhǔn)確地揭示出試樣峰后階段的變化規(guī)律。

3)所發(fā)展的動態(tài)損傷本構(gòu)模型具有較強的適用性,不但可對3D打印類巖石材料和真實的頁巖適用良好,而且能對低應(yīng)變率下回彈型應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰前階段特性以及中高應(yīng)變率下應(yīng)變軟化行為等均能進行很好的表征。