淺談高中數(shù)學(xué)課提升反思性思維案例之《數(shù)列》單元教學(xué)設(shè)計

崔麗輝

反思是一項基本的學(xué)習(xí)能力，但經(jīng)常被學(xué)生忽略，他們很多時候都是按照正向的順序?qū)W習(xí)，很少主動“回頭看”，即對學(xué)習(xí)的過程、學(xué)習(xí)的方法以及學(xué)習(xí)的成效進行反思總結(jié)，這不利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升。本文基于高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》單元教學(xué)設(shè)計及實踐案例，以培養(yǎng)學(xué)生的反思性思維為目的，展開現(xiàn)狀調(diào)查研究和反思性教學(xué)實踐方法的探索。

一直以來，學(xué)校都在倡導(dǎo)讓教師及時對教學(xué)過程進行反思，從而發(fā)現(xiàn)問題并及時改正，便于更好地針對問題進一步優(yōu)化教學(xué)方案，為學(xué)生提供更有針對性的服務(wù)。但是忽視了引導(dǎo)學(xué)生進行自我反思，這會減緩學(xué)生的進步速度。為此，對于高中數(shù)學(xué)教師來說，應(yīng)該在自己反思的同時，加強對學(xué)生反思性思維的培養(yǎng)，使其對學(xué)習(xí)行為和學(xué)習(xí)過程進行批判性反思，重新認(rèn)識數(shù)學(xué)，努力改善學(xué)習(xí)效果，從而真正發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)列單元的學(xué)情調(diào)研分析

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要單元，是繼函數(shù)學(xué)習(xí)之后的又一重點內(nèi)容。本單元是湘教版高二數(shù)學(xué)選擇性必修一第一冊第一章的內(nèi)容，主要包括數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列。通過對本校高二年級學(xué)生的調(diào)查，初步掌握了他們在本單元的學(xué)習(xí)情況，梳理了學(xué)習(xí)中存在的一些問題。

筆者主要從如下幾個方面設(shè)計問題，旨在充分了解學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列過程中的學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)方法、反思積極性以及對教師教學(xué)方法的滿意度，從而在實踐環(huán)節(jié)更好地針對問題引導(dǎo)學(xué)生展開反思性學(xué)習(xí)。

第一，數(shù)列的難易程度。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，高二學(xué)生認(rèn)為數(shù)列概念相關(guān)的知識比較簡單，但是與函數(shù)結(jié)合的綜合性題目有不小的難度。

第二，教師講解與數(shù)列有關(guān)的生活問題和數(shù)學(xué)史的頻率情況。超過一半的學(xué)生表示自己希望能夠聽到教師多講些與數(shù)列有關(guān)的生活史，說明他們更渴望了解教材知識以外的東西，數(shù)學(xué)史相關(guān)內(nèi)容的講解更有助于他們理解數(shù)列的相關(guān)概念。學(xué)生普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)節(jié)奏較快，教師所講內(nèi)容基本都是重點或高考的常考點，很少給他們講數(shù)學(xué)故事。

第三，數(shù)列的學(xué)習(xí)方法及學(xué)完后的掌握情況。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，筆者所帶班級有近一半的學(xué)生表示數(shù)列單元知識的學(xué)習(xí)并沒有明顯地提高他們的數(shù)學(xué)思維能力。他們認(rèn)為教師的教學(xué)方法單一、枯燥，數(shù)列的學(xué)習(xí)缺乏趣味，經(jīng)常會忘記公式，或者沒有真正了解等差數(shù)列和等比數(shù)列通項及求和公式的來源，導(dǎo)致在解題時無法正確運用公式，認(rèn)為自己對本單元的學(xué)習(xí)效果不好，不夠深入。他們認(rèn)為，教師所講的內(nèi)容都是課本上有的，自己通過預(yù)習(xí)就會了，但是遇到稍微綜合性的數(shù)列相關(guān)題目，直接套用公式就做不出來，學(xué)習(xí)的方法比較死板，對自己思維能力的提升沒有益處，這從側(cè)面反映出數(shù)學(xué)教師在進行數(shù)列單元教學(xué)設(shè)計的時候沒有充分了解學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律，沒有增強學(xué)生反思學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)過程的意識，導(dǎo)致學(xué)生只會死記硬背數(shù)列公式和埋頭刷題，而不會靈活運用知識，不懂正向遷移。

第四，教師開展自主合作探究性學(xué)習(xí)數(shù)列的頻率。通過調(diào)查了解到，高二的學(xué)生非常喜歡互動式的課堂教學(xué)模式，對小組合作學(xué)習(xí)更感興趣。但是部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在數(shù)列單元的教學(xué)設(shè)計方案中留給學(xué)生自主思考、合作探究的學(xué)習(xí)時間并不多，更多的是教師在“灌輸”式的講題，學(xué)生的主觀能動性得不到充分地發(fā)揮，數(shù)列知識的學(xué)習(xí)也處于被動地位，缺乏對知識的深層次探討和理解。

第五，數(shù)列單元學(xué)習(xí)過程中及學(xué)后的反思情況。學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力較低，這與教師平時不注重反思性教學(xué)有很大關(guān)系。通過對本校學(xué)生的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，他們在數(shù)列單元的學(xué)習(xí)中和學(xué)習(xí)后的環(huán)節(jié)都缺乏反思意識，反思性思維不足。通過與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱的部分學(xué)生面對面交流發(fā)現(xiàn)，他們認(rèn)為自己數(shù)學(xué)理解力差，不管怎么努力就是學(xué)不好，缺乏自信，因而也不會主動反思，將自己不會的題目歸因腦子笨，也不嘗試思考，缺乏解題反思思維，直接放棄了那些自己可能通過進一步反思就能做出來的題目。

二、數(shù)列單元教學(xué)中反思性思維培養(yǎng)的意義

首先，有助于引導(dǎo)學(xué)生矯正錯誤行為。在數(shù)列單元學(xué)習(xí)的過程中，很多學(xué)生記錯公式是常有之事，在做題的時候粗心大意看錯題、概念理解不深入、思考不全面等問題層出不窮，這與學(xué)生的不良心理有關(guān)，在作業(yè)上表現(xiàn)得最為明顯，他們將作業(yè)視為負(fù)擔(dān)，只管做作業(yè)，而不管檢查作業(yè)的對錯，在教師講解后改正完返還給老師，也沒有及時反思自己出錯的原因，這樣只能是治標(biāo)不治本，學(xué)生無法掌握到數(shù)列知識學(xué)習(xí)的本質(zhì)?；诖?，筆者認(rèn)為，在高中數(shù)列單元教學(xué)中要注重對學(xué)生反思性思維的培養(yǎng)，讓他們意識到自己數(shù)列學(xué)習(xí)中的問題，糾正自己錯誤的學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強反思意識。

其次，有助于增強學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。相關(guān)研究調(diào)查表明，高中生在學(xué)習(xí)過程中如果能積極反思、善于總結(jié)經(jīng)驗和不足，他們會比埋頭做題有更大收獲。新時期的高中生要學(xué)會學(xué)習(xí)，而不是按部就班跟著教師的節(jié)奏走，應(yīng)該有自己的學(xué)習(xí)規(guī)劃，通過及時檢查、分析學(xué)習(xí)過程，提升反思意識，從而提高高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

三、基于反思性思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)數(shù)列單元教學(xué)設(shè)計案例

（一）單元目標(biāo)的確定

目標(biāo)是我們無論做任何事都需要的方向和路燈。同樣，高中數(shù)列單元教學(xué)也應(yīng)該先確定單元整體的目標(biāo)?；诜此夹运季S培養(yǎng)的數(shù)列單元教學(xué)目標(biāo)設(shè)置，需要教師統(tǒng)籌規(guī)劃整個單元的知識，關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成。單元目標(biāo)設(shè)置如下：第一，了解數(shù)列的概念和簡單表示方法，知道數(shù)列是一種特殊函數(shù)。第二，通過實例理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式；能在實際問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差或等比關(guān)系，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

（二）課時目標(biāo)的分解

第一，了解數(shù)列的概念和本質(zhì)，掌握數(shù)列的通項公式遞推公式。第二，掌握等差數(shù)列的公式和前n項和公式，理解等差數(shù)列的性質(zhì)。第三，掌握等比數(shù)列的公式和前n項和公式，理解等比數(shù)列的性質(zhì)。

（三）單元任務(wù)的布置

以等差數(shù)列第一課時為例，教學(xué)內(nèi)容主要包括等差數(shù)列的概念及其通項公式。首先，在設(shè)計單元教學(xué)任務(wù)時，教師從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律，推導(dǎo)出等差數(shù)列的公式，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)等差關(guān)系、寫出等差數(shù)列的過程，然后通過總結(jié)歸納出等差數(shù)列的本質(zhì)特征，理解其概念。

其次，教師要求學(xué)生嘗試說出實際生活中的等差數(shù)列，讓他們嘗試數(shù)學(xué)建模，引導(dǎo)學(xué)生以小組合作的形式探究通項公式的推導(dǎo)過程，感受其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，如不完全歸納法、累加法、迭代法等。并結(jié)合應(yīng)用案例，讓學(xué)生嘗試用等差數(shù)列知識解決問題，體會等差數(shù)列在生活中的應(yīng)用。最后，引導(dǎo)學(xué)生嘗試從函數(shù)角度處理等差數(shù)列問題，將數(shù)形結(jié)合的思想滲透到學(xué)生頭腦中。

（四）單元學(xué)習(xí)的評價

教師對學(xué)生的評價是教師自我反思的一種形式，教師要關(guān)注學(xué)生的差異性，采用量性和質(zhì)性評價相結(jié)合的方法對學(xué)生數(shù)列學(xué)習(xí)的效果進行評價，包括學(xué)生課堂上的表現(xiàn)、獨立思考、小組內(nèi)積極討論、清晰表達(dá)自己思路、傾聽他人想法、主動完成作業(yè)等情況。了解這些情況，能夠幫助教師更好地把控今后的課堂，發(fā)現(xiàn)問題，加以改進，促進自身專業(yè)水平不斷提高。

（五）學(xué)后總結(jié)與反思

學(xué)生應(yīng)該在教師的帶領(lǐng)下，全面地總結(jié)自己在本堂課上所學(xué)的知識點，將知識體系通過思維導(dǎo)圖不斷填充分支，完善自己的知識結(jié)構(gòu)；同時，學(xué)生對做過的練習(xí)題也要進行反思，重構(gòu)自己的解題思路，掌握數(shù)列的本質(zhì)，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)；學(xué)生還要針對他人的想法進行反思，觀察其他同學(xué)做題的過程，了解其思路，與自己的思路進行對比，從而發(fā)現(xiàn)自身的不足，拓寬自己的思維寬度。

四、基于反思性思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)數(shù)列單元教學(xué)實踐策略

（一）聚焦數(shù)列考查點，反思教學(xué)固著點

數(shù)列是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，在平時的教學(xué)過程中，教師可以結(jié)合歷年高考真題中考查的知識點進行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生反思自己在本單元學(xué)習(xí)中的缺失，尋找數(shù)學(xué)教與學(xué)的固著點，從而更好地把握未來高考數(shù)列的考試趨勢，增強數(shù)列單元知識學(xué)習(xí)的針對性。

以下面這道真題為例：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1。問題一是證明（an+１/2）是等比數(shù)列，并求通項公式。問題二是證明1/a1+1/a2+…+1/an＜3/2。筆者帶領(lǐng)學(xué)生分析后發(fā)現(xiàn)，該題主要考查學(xué)生通過構(gòu)造新數(shù)列求通項公式的知識點，要求學(xué)生對等比數(shù)列的定義及放縮法證明不等式等知識熟練掌握，提高自身的計算求解能力、推理論證能力，掌握數(shù)學(xué)化歸思想。

在了解題目考查的主要知識點后，筆者先讓學(xué)生自己解答上述兩個問題。筆者在分析學(xué)生的解題思路時，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生犯了一種隱性錯誤，即不驗證首項不為零的情況，這時候教師需要引導(dǎo)學(xué)生反思自己的解題過程，檢查證明過程是否有遺漏，并總結(jié)出通過遞推關(guān)系式求通項的關(guān)鍵是通過變形構(gòu)建新數(shù)列，化歸等比數(shù)列模型，使學(xué)生更牢固地掌握了化歸思想，也提高了數(shù)學(xué)推理能力。這樣，學(xué)生今后再遇到類似的綜合性數(shù)列問題時就能做到沉著應(yīng)對、出其不意，突破解題瓶頸。

（二）全面反思數(shù)列學(xué)習(xí)內(nèi)容

數(shù)列單元學(xué)習(xí)內(nèi)容是函數(shù)內(nèi)容的子集，也是函數(shù)學(xué)習(xí)地再繼續(xù)，又是后續(xù)極限的前提。因此，本單元起著承前啟后的作用，其學(xué)習(xí)的重要性不言而喻。為此，在學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容進行全面的反思，及時彌補自己的不足，為深度學(xué)習(xí)數(shù)列單元知識提供有力支持，并在此基礎(chǔ)上借助數(shù)學(xué)史進一步了解數(shù)列的地位和作用，并充分體會數(shù)列與現(xiàn)實生活的緊密關(guān)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用性與數(shù)學(xué)的真與美。

在反思學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，教師還要引導(dǎo)學(xué)生反思自己的解題方法，整理自己的錯題，總結(jié)歸納試題的變式結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)會從多個角度分析數(shù)列問題，掌握多樣化的解題方法，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，完善他們的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。借助解題反思掌握數(shù)列題型的變式結(jié)構(gòu)，有助于推動學(xué)生深度思考，升華數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)列相關(guān)題型的解題效率。

（三）拓展數(shù)列學(xué)習(xí)反思途徑

反思性思維可以在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中培養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該積極拓展能夠引領(lǐng)學(xué)生愿意反思的可行途徑，使他們及時發(fā)現(xiàn)自己學(xué)習(xí)過程中的不足，并及時糾正，也可以總結(jié)可取之處，在同學(xué)之間交流經(jīng)驗，共同成長。

第一，教師可以在數(shù)列單元的教學(xué)之前進行反思。首先，教師對本單元教學(xué)內(nèi)容進行反思，基于新課標(biāo)準(zhǔn)確把握教學(xué)重難點，并合理分配單元教學(xué)設(shè)計的各項知識點的時間。其次，教師還要反思學(xué)生，了解學(xué)情，掌握學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列前的知識儲備情況，從而更好地在教學(xué)過程中兼顧差異，呈現(xiàn)最佳的教學(xué)效果。最后，教師要對課前的導(dǎo)入設(shè)計進行反思，精準(zhǔn)地找到新舊知識的連接點，通過設(shè)計有價值的問題引發(fā)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的沖突，使其對原有知識經(jīng)驗產(chǎn)生疑問，有疑則思，進而產(chǎn)生強烈的求知欲，激發(fā)其進一步學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

第二，教師重點要在課堂教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生及時反思。在數(shù)列學(xué)習(xí)過程中，教師要及時捕捉教學(xué)靈感，針對學(xué)生提出的問題和發(fā)生的爭議，引導(dǎo)他們展開反思，并收集學(xué)生的反饋信息，從而促使教師反思自己，及時調(diào)整后面的教學(xué)計劃。

第三，教師還可以在教學(xué)后引導(dǎo)學(xué)生進行反思。比如，教師在完成基本的數(shù)列單元的教學(xué)任務(wù)后，根據(jù)學(xué)生思維的實際情況，結(jié)合練習(xí)題設(shè)計辨析活動，讓學(xué)生在辨析的過程進行反思，從而深刻領(lǐng)悟數(shù)列概念，進而養(yǎng)成有效的反思習(xí)慣。

以下面這道習(xí)題為例：已知｛an｝是等比數(shù)列，Sn為前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比數(shù)列。筆者要求學(xué)生開動腦筋，根據(jù)給定條件，反思上述結(jié)論是否成立，并給出論證的理由。學(xué)生們在思考了一段時間后，紛紛表達(dá)自己的意見，他們的答案分成了兩種情況，一種認(rèn)為結(jié)論正確，另一種則認(rèn)為結(jié)論不正確。為了進一步引導(dǎo)學(xué)生自己反思論證的過程，筆者將學(xué)生分成若干小組，通過辨析找出兩種結(jié)論論證過程中存在的不足，從而判斷是否成等比數(shù)列。經(jīng)過一番激烈的討論和分析，學(xué)生們最終得出了一致的結(jié)論：當(dāng)公比不等于-1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列；當(dāng)公比等于-1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數(shù)列。由此，學(xué)生們通過反思，充分考慮公比的兩種情況，意識到自己最初論證思路的缺陷，加深對等比數(shù)列前n項和公式及規(guī)律的認(rèn)識，增強了他們數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

五、結(jié)語

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中離不開反思，反思行為應(yīng)該貫穿到學(xué)生整個數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中。新時期，核心素養(yǎng)目標(biāo)導(dǎo)向下，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在教學(xué)過程中有意識地引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，形成嚴(yán)密的反思性數(shù)學(xué)思維，從而使其克服自身的學(xué)習(xí)缺點，豐富學(xué)習(xí)方式，提升數(shù)列單元的自主學(xué)習(xí)能力，實現(xiàn)從淺層學(xué)習(xí)到深度學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變。

注：本文系甘肅省教育科學(xué)十四五規(guī)劃2021年度一般課題“高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)與高階思維研究——反思性思維為例”（項目編號：GS[2021]GHB1973）的研究成果。