自組織理論觀照下的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)*
——以“數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用”教學(xué)為例

劉權(quán)華 郭建華

所謂“復(fù)習(xí)”，就是“為鞏固和加深理解，重復(fù)學(xué)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的知識”。高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的關(guān)鍵是幫助學(xué)生進(jìn)行“歸檔”“聯(lián)系”和“建構(gòu)”，讓學(xué)生把高一、高二時所學(xué)的知識進(jìn)行歸檔，建立聯(lián)系，把知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化；同時在對知識融會貫通的過程中，形成知識結(jié)構(gòu)中的方法論系統(tǒng)；并通過以上活動，深化數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到進(jìn)一步培育。在這個過程中，教師要做的不僅是講題，還要“推動”和“點(diǎn)撥”；學(xué)生更不是簡單的“刷題”，而是通過“聯(lián)結(jié)”“遷移”讓學(xué)習(xí)“自組織”起來。

一、自組織理論觀照

德國哲學(xué)家康德最早提出“自組織”這一概念，他認(rèn)為自組織是指事物內(nèi)部的各部分都會為了其他部分和整體而存在，各部分會發(fā)生相關(guān)作用而構(gòu)成一個有機(jī)整體。［1］教學(xué)過程中的自組織指的是不受外力強(qiáng)加，教學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部各要素之間彼此協(xié)同、相互競爭、各盡其責(zé)，逐步由無序向有序，由簡單到復(fù)雜，由量變到質(zhì)變的過程。

自組織理論認(rèn)為，真正意義上的學(xué)習(xí)一定是自我學(xué)習(xí)，自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式是教學(xué)本源的回歸。要想讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識、方法、思想等的“耗散結(jié)構(gòu)”，必須滿足四個條件：教學(xué)系統(tǒng)要具有開放性，即教師、學(xué)生的流動，技術(shù)設(shè)備的迭代，教學(xué)內(nèi)容的重組，資源信息的交換；教學(xué)體系要遠(yuǎn)離均衡態(tài)，即教學(xué)過程中要在預(yù)設(shè)和現(xiàn)實(shí)之間呈現(xiàn)差異，尤其是思想上、認(rèn)知上的差異；教學(xué)體系中要有非線性的作用，即付出與收獲之間不是簡單的線性比例關(guān)系，如教師的投入與學(xué)生的收獲之間要有非線性的比例關(guān)系；系統(tǒng)中要有“漲落”，如教師和學(xué)生的思維火花、優(yōu)秀學(xué)生的榜樣、專業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)進(jìn)步等，這些都會在知識、方法、思想、經(jīng)驗(yàn)、素養(yǎng)等方面引起學(xué)生的思維起伏和思想漲落。［2］

下文以高三復(fù)習(xí)課“數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用”的教學(xué)為例，闡述自組織理論觀照下基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)及思考。

二、自組織理論觀照下高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐

學(xué)生是在外部方式的引領(lǐng)和組織下學(xué)習(xí)成長的，也就是說，學(xué)生的學(xué)習(xí)是需要他組織的，但具體到個體的改變，是由內(nèi)而外按照自我的意愿來進(jìn)行的，是對外部影響的個體塑造。而教師要做的，就是通過教學(xué)材料和教學(xué)活動來實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自適應(yīng)、自設(shè)計(jì)、自改造、自批判、自教育、自創(chuàng)生、自完善。

（一）目標(biāo)呈現(xiàn)，引起“學(xué)習(xí)動機(jī)”

首先在學(xué)案中呈現(xiàn)本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，使學(xué)生知曉本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)，引發(fā)思維沖突和學(xué)習(xí)動機(jī)，如在“數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用”教學(xué)中呈現(xiàn)如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系；掌握利用數(shù)列單調(diào)性求數(shù)列最大最小項(xiàng)的方法。

2.能利用數(shù)列的單調(diào)性求最值、不等式恒成立等問題。

3.通過應(yīng)用數(shù)列單調(diào)性處理問題，體會函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用。

4.培養(yǎng)細(xì)心觀察、嚴(yán)謹(jǐn)論證的思維習(xí)慣，感知從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程。

當(dāng)然，這樣還不夠，因?yàn)閷W(xué)生對這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)時間已久，可能淡忘，所以必須對所要復(fù)習(xí)的知識“溫故”。

（二）學(xué)習(xí)前置，引發(fā)“溫故知新”

教學(xué)過程遠(yuǎn)離平衡態(tài)，才能使學(xué)生原有的認(rèn)知狀態(tài)被遠(yuǎn)離平衡態(tài)的刺激打破，出現(xiàn)“協(xié)同”或更深刻的“競爭”過程，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到充實(shí)或改變，達(dá)到新的層次和平衡。所以，教師在課堂教學(xué)之前應(yīng)該明確以下幾個方面的問題：要教給學(xué)生怎樣的知識體系；學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)是什么；學(xué)生已經(jīng)掌握了什么，還要學(xué)習(xí)什么，學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)的動力是什么；怎樣才能把學(xué)生吸引到課堂教學(xué)體系中。為了實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，教師可以在學(xué)案中設(shè)置一些基礎(chǔ)性的問題，讓學(xué)生提前“自組織”地學(xué)，如在“數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用”教學(xué)中呈現(xiàn)如下課前學(xué)習(xí)任務(wù)單：

1.在等差數(shù)列{an}中，若公差d＞0，則這個數(shù)列是遞增數(shù)列，在等比數(shù)列中，若公比q＞0，則這個數(shù)列是遞增數(shù)列。這樣的說法是否準(zhǔn)確？請說明理由。

2.已知數(shù)列an＝-4n2+44n-105，這個數(shù)列有沒有最大的項(xiàng)和最小的項(xiàng)？若有，請求出是數(shù)列的第幾項(xiàng)。

4.數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝n2+λn，{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，求λ的取值范圍。

（三）整體架構(gòu)，形成“知識網(wǎng)絡(luò)”

要想學(xué)生能將所學(xué)知識納入他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必須對知識進(jìn)行分類；要想學(xué)生能將所學(xué)知識內(nèi)化，必須注重整體建構(gòu)，使知識點(diǎn)“網(wǎng)絡(luò)化”“區(qū)別化”。

1.通過提問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識分類

在本節(jié)課開始前，教師可以設(shè)置一個問題：“《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱‘新課標(biāo)’）將選擇性必修課程分為幾個主題？‘?dāng)?shù)列’這個單元屬于哪個主題？”師生通過交流、研究新課標(biāo)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)開放，以此讓學(xué)生明白，可以把數(shù)列看作是一類特殊的函數(shù)。如此，既達(dá)到了歸類和整體建構(gòu)的目的，又把學(xué)生的思維悄悄地引導(dǎo)至其熟悉的“函數(shù)”地帶。數(shù)列既然是一類特殊的函數(shù)，我們就可以研究它的定義域、單調(diào)性以及特殊之處，“網(wǎng)絡(luò)化”“區(qū)別化”悄然形成。

2.通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識整體架構(gòu)

布魯納認(rèn)為，為了保持學(xué)生的思維處于非平衡態(tài)，教師必須不斷啟發(fā)他們自由靈活地思考問題。因此，在時間不長的課堂教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)三至五個主問題，再在關(guān)鍵問題的關(guān)鍵處，根據(jù)學(xué)生的具體情況設(shè)計(jì)幾個小問題（生成追問），讓不同的學(xué)生能夠?qū)W會、學(xué)好不同的數(shù)學(xué)知識。如針對本節(jié)課可設(shè)計(jì)如下問題。

問題1：數(shù)列這一單元屬于選擇性必修課課程中哪一個主題？

【設(shè)計(jì)意圖】歸類建檔，整體建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)系統(tǒng)開放，引出課題。

問題2：以單調(diào)性為分類標(biāo)準(zhǔn)，可以將數(shù)列分為哪幾類？

根據(jù)需要，追問兩個小問題。

追問1：你能用全稱命題形式給遞增（減）數(shù)列下定義嗎？

追問2：等差數(shù)列、等比數(shù)列的單調(diào)性與其基本量（首項(xiàng)、公差或公比）的關(guān)系是什么？

問題3：已知數(shù)列{an}，an＝n2＋λn＋3（其中λ 為常實(shí)數(shù)），且a3是數(shù)列{an}的最小項(xiàng)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。

【設(shè)計(jì)意圖】問題3 學(xué)生錯誤率較高，是本節(jié)課的難點(diǎn)。教師通過問題設(shè)計(jì)，引出問題，突破難點(diǎn)，也為學(xué)習(xí)單中問題4的解決做好鋪墊。

問題4：（2022 全國甲卷理科17 題）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。已知

（1）證明：{an}是等差數(shù)列；

（2）若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值。

根據(jù)需要和時間追問兩個小問題。

追問1：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的基本方法有哪些?

追問2：教材中是否有本道高考題的“根”？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生知曉這部分知識點(diǎn)高考會怎么考，會考到什么程度，促進(jìn)“漲落”。讓學(xué)生的復(fù)習(xí)回歸課本（本題是對蘇教版選擇性必修一P141第11題“在等差數(shù)列{an}中，已知a1=-3，11a5=5a8，求該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最小值”的改編和加深），意在做到“用教材教”和“使學(xué)生以課本為本”。

問題5：本節(jié)課學(xué)了哪些數(shù)學(xué)知識？體驗(yàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生回答梳理、同學(xué)間交流補(bǔ)充、教師點(diǎn)撥分享，讓學(xué)生理清思路，形成思維體系，將新學(xué)的知識納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)同化或順應(yīng)。值得說明的是，要想取得好的效果，一定要用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表征。形式上可以是學(xué)生板書，也可以是學(xué)生講、教師板書，但板書一定要清晰、規(guī)范。

3.梳理知識網(wǎng)絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識

在一章或一個主題的學(xué)習(xí)前后，教師可以指導(dǎo)學(xué)生制作思維導(dǎo)圖或知識網(wǎng)絡(luò)圖，使學(xué)生對所學(xué)知識、方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分類和識別。如在數(shù)列這章的復(fù)習(xí)中，教師引導(dǎo)學(xué)生自己歸納整理，建構(gòu)如圖1的知識架構(gòu)和方法架構(gòu)。

圖1 數(shù)列知識架構(gòu)和方法架構(gòu)

只有整體的知識，才是真正的知識，才是拿起來就能用的知識。梳理是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識內(nèi)化的過程，讓學(xué)生梳理知識就是創(chuàng)設(shè)條件讓學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行“自組織”。

（四）適時點(diǎn)撥，搭建“思維臺階”

在課堂教學(xué)中，教師要做到心中有數(shù)，明確以下幾個問題：學(xué)生要學(xué)到什么程度；學(xué)過之后到底能做什么；要想讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，需要為學(xué)生提供怎樣的學(xué)習(xí)支架。學(xué)生有時需要教師適時點(diǎn)撥，比如，筆者在檢查課前任務(wù)學(xué)習(xí)單的問題4時，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生呈現(xiàn)出這樣的錯誤答案：把a(bǔ)n=n2+λn看作關(guān)于n的二次函數(shù)，n∈N＋，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以該數(shù)列在［1，+∞）上單調(diào)遞增，則對稱軸n，因此λ≥-2。

錯在哪里？這是本節(jié)課的難點(diǎn)，也是重點(diǎn)。教師不應(yīng)立即給出正確答案，而應(yīng)該先讓學(xué)生們進(jìn)行討論，進(jìn)行信息交流，并且要“舍得”給他們足夠的時間。教師應(yīng)該做的是“點(diǎn)撥”，適時地引入“數(shù)列的單調(diào)遞增和函數(shù)的單調(diào)遞增有什么區(qū)別？”“數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，特殊在什么地方？”“數(shù)列的圖像是連續(xù)的嗎？”等問題。當(dāng)學(xué)生的“憤悱”狀態(tài)出現(xiàn)時，教師可通過幾何畫板（此時信息技術(shù)就是影響最大的“序變量”），進(jìn)行“數(shù)形結(jié)合”，給出如下兩個圖像。（見圖2、圖3）

（圖2）

（圖3）

也許無需比較，學(xué)生一下子就會“茅塞頓開”，實(shí)現(xiàn)數(shù)列單調(diào)性的知識突變。最后讓學(xué)生自己總結(jié)出如下解題過程。

因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，

所以an＋1-an=（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）=2n+1+λ＞0，n∈N＋，

所以λ＞-2n-1，n∈N＋，

所以λ＞-3。

如此，自組織學(xué)習(xí)才能真正發(fā)生。

新課標(biāo)指出，在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正深刻影響著教育；在數(shù)學(xué)教學(xué)中，信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建了平臺，為學(xué)習(xí)和教學(xué)提供了豐富的資源。因此，教師要重視信息技術(shù)的運(yùn)用，優(yōu)化課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的方式，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。

“漲落”帶來有序。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)營造自由、民主的課堂教學(xué)氛圍，鼓勵學(xué)生大膽提出見解，引導(dǎo)學(xué)生深化各種各樣的想法，通過生生之間、師生之間的對話和辯論，在思維的交流與碰撞中閃現(xiàn)出智慧的“火花”。教師在關(guān)鍵時、關(guān)鍵處，適切點(diǎn)撥，讓處于“憤悱”狀態(tài)的學(xué)生頓悟，實(shí)現(xiàn)學(xué)業(yè)水平從量變到質(zhì)變的飛躍。

三、自組織理論觀照下高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)思考

（一）高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)尤其需要“自組織”

高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特性，決定了它的教與學(xué)尤其需要自組織理論的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)是一門特殊的學(xué)科，高中數(shù)學(xué)除了基礎(chǔ)知識、基本技能的教學(xué)外，還有等量代換、數(shù)形結(jié)合、化歸法、換元法等數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，以及更為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)基本思想的教學(xué)，其中抽象、推理和模型是其三大核心要素。只有通過抽象，才能形成數(shù)學(xué)的研究對象；只有通過推理，才能有邏輯地得到研究對象的性質(zhì)以及描述研究對象之間關(guān)系的命題和計(jì)算結(jié)果；只有通過模型，才能用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造的語言、符號和方法描述現(xiàn)實(shí)實(shí)踐中的故事。［3］上述這些思想、方法的掌握需要學(xué)生長期自主的經(jīng)歷、體驗(yàn)和感悟，是“他組織”不能替代的。這些思想、方法是數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)的序參量，最容易使學(xué)習(xí)這個子系統(tǒng)形成非平衡態(tài)，也決定了數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)新的平衡態(tài)的生成，直接影響著教育教學(xué)的效果。所以相對于其他學(xué)科的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)尤其需要由“他組織”走向“自組織”。

（二）高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)如何實(shí)現(xiàn)“自組織”

教師必須清醒地認(rèn)識到，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，領(lǐng)會和感悟知識、訓(xùn)練和提高技能、發(fā)展和提升能力始終都是學(xué)生主動同外部環(huán)境相互作用的過程。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)充分考慮學(xué)習(xí)者的自組織特性，為其自組織提供充分的外部條件，以促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。然而，很多時候我們的常態(tài)課堂教學(xué)完全由教師掌控，學(xué)生學(xué)習(xí)的自我需求得不到滿足，學(xué)習(xí)的積極性和主動性被大大消解，在很大程度上導(dǎo)致了課堂活動無法推動學(xué)生進(jìn)入“自組織”學(xué)習(xí)狀態(tài)。

筆者試圖給出一般的課堂流程圖，通過臺階搭建、情境創(chuàng)設(shè)、網(wǎng)狀建構(gòu)、教材重組、整體架構(gòu)、學(xué)科整合等辦法，來打破舊平衡，尋找序變量，促進(jìn)學(xué)生在知識、方法和思想等方面的漲落，實(shí)現(xiàn)他組織向?qū)W生自組織的轉(zhuǎn)變，最終幫助學(xué)生的思想、認(rèn)知等形成新的平衡，將教的演繹轉(zhuǎn)化為學(xué)的演繹。（見圖4）

圖4 課堂流程圖

（三）高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“自組織”課堂的自覺實(shí)現(xiàn)

復(fù)習(xí)課的要義就是將單元知識進(jìn)行歸類提高，將學(xué)科知識進(jìn)行融會貫通，將學(xué)科思想方法進(jìn)行提煉升華，實(shí)現(xiàn)知識的遷移、方法的活用和數(shù)學(xué)思想的熟練運(yùn)用，最終實(shí)現(xiàn)零散知識的系統(tǒng)化和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。在自組織理論的觀照下，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要想實(shí)現(xiàn)以上要義，必須把握新課標(biāo)，把準(zhǔn)學(xué)情，進(jìn)行教材重組，實(shí)現(xiàn)“用教材教”。在課堂實(shí)施過程中，教師可以通過收集整理、調(diào)控解疑、查漏補(bǔ)缺、點(diǎn)撥提煉和檢測評價等手段，讓學(xué)生進(jìn)行知識梳理、互動交流、獨(dú)立自學(xué)、主體內(nèi)化和綜合運(yùn)用的自組織學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容（包括知識、方法、思想等）的感知、理解、建構(gòu)、遷移和內(nèi)化。其流程大致如圖5所示。

圖5 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)流程圖

五、結(jié)語

新的時代背景下，作為一名教師，應(yīng)實(shí)現(xiàn)從過去單一的“線形結(jié)構(gòu)”教學(xué)向“網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)”教學(xué)的轉(zhuǎn)變，并要進(jìn)一步提煉為自組織教學(xué)法：將“教的推演”（情境刺激、問題導(dǎo)向、臺階構(gòu)建、整體架構(gòu)）服務(wù)于“學(xué)的推演”（學(xué)習(xí)前置、任務(wù)申報、學(xué)生主講、質(zhì)疑補(bǔ)充、引導(dǎo)歸依）實(shí)現(xiàn)教與學(xué)方式的根本轉(zhuǎn)變，具體表現(xiàn)為教師的教從“講深講透”向“畫龍點(diǎn)睛”轉(zhuǎn)變；學(xué)生的學(xué)從教師“講”明白向自己“悟”出來轉(zhuǎn)變，從死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練向親身體驗(yàn)、主動參與轉(zhuǎn)變，從被動接受式學(xué)會向主動獲取式會學(xué)轉(zhuǎn)變。如此，學(xué)習(xí)真正發(fā)生，學(xué)生學(xué)力持續(xù)發(fā)展，學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)，學(xué)生的自我教育得以實(shí)現(xiàn)。