基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的磁懸浮軸承控制策略

孫建東，陳雨琴，于大永，王兆杰

（瑞納智能設(shè)備股份有限公司，安徽合肥，230000）

0 引言

磁懸浮軸承是一種通過(guò)電磁力使定轉(zhuǎn)子之間無(wú)機(jī)械接觸的新型軸承，與普通機(jī)械軸承相比，磁懸浮軸承具有無(wú)摩擦、無(wú)油污、噪音小和使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，因此廣泛應(yīng)用于航空航天、真空超凈、高速機(jī)床、儲(chǔ)能飛輪等領(lǐng)域[1-2]。由于PID 控制器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)調(diào)節(jié)相對(duì)簡(jiǎn)單且具有一定的魯棒性等優(yōu)點(diǎn)，因此目前大多數(shù)的軸承控制器還是以PID 作為控制策略[3]。

PID 控制是以經(jīng)典控制理論為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)工程應(yīng)用形成的一種實(shí)用控制方法，其基本原理是依據(jù)誤差反饋策略來(lái)調(diào)節(jié)適當(dāng)?shù)目刂屏?duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制[4]。在工業(yè)應(yīng)用初期可以滿足控制需求，然而隨著科技發(fā)展，工程應(yīng)用對(duì)控制精度和響應(yīng)速度的需求都有了較大的提高，而PID 控制日漸凸顯其局限性：

（1）P 和I 和D 線性組合架構(gòu)下的最優(yōu)有待商榷；

（2）存在快速性與平滑精確性之間的矛盾；

（3）當(dāng)控制對(duì)象變化時(shí)，由于積分作用的存在，導(dǎo)致系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍、易引發(fā)系統(tǒng)超調(diào)，控制精度變差；

（4）一些應(yīng)用場(chǎng)合由于缺少合適的微分器，只能采用P 和I 組合，限制了PID 的控制能力。

韓京清教授針對(duì)PID存在的問(wèn)題提出了自抗擾控制（active disturbance rejection control,ADRC）[5]，ADRC 主要由非線性跟蹤微分器（TD）、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）和非線性狀態(tài)誤差反饋律（NLSEF）組成，在進(jìn)行系統(tǒng)擾動(dòng)補(bǔ)償時(shí)，ESO 將擾動(dòng)擴(kuò)張成一個(gè)全新的狀態(tài)變量，并采用特殊的反饋結(jié)構(gòu)構(gòu)造能夠觀測(cè)被擴(kuò)張的狀態(tài)，即擾動(dòng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，它不依賴確定的擾動(dòng)數(shù)學(xué)模型也不需要直接測(cè)量擾動(dòng)，因此它具有很強(qiáng)實(shí)用性和通用性[6]。

經(jīng)過(guò)多年的研究，國(guó)內(nèi)外在ADRC 的理論研究和應(yīng)用研究上取得了諸多進(jìn)展[7-8]。在電機(jī)控制領(lǐng)域，很多學(xué)者將ADRC 應(yīng)用于永磁同步電機(jī)的擾動(dòng)補(bǔ)償控制中[9]，另外在電力電子變換系統(tǒng)、機(jī)器人控制以及飛行控制器等諸多領(lǐng)域也有很多應(yīng)用研究。由于ADRC 需要調(diào)節(jié)的參數(shù)很多且參數(shù)整定過(guò)程復(fù)雜，給ADRC 的工程應(yīng)用帶來(lái)很多不便，文獻(xiàn)[10-11]提出了線性自控自擾控制(LADRC)，該控制策略將系統(tǒng)內(nèi)外動(dòng)態(tài)特征和外部擾動(dòng)都當(dāng)作系統(tǒng)擾動(dòng)，通過(guò)實(shí)時(shí)估計(jì)擾動(dòng)作用并進(jìn)行補(bǔ)償，將ESO 與狀態(tài)誤差反饋率改為線性形式，將繁瑣的參數(shù)整定問(wèn)題簡(jiǎn)化，便于在實(shí)際工程中大規(guī)模應(yīng)用。本文提出了基于線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的五自由度磁懸浮軸承控制策略，根據(jù)單自由度磁懸浮轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)模型設(shè)計(jì)了線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，并在傳統(tǒng)PID 控制中進(jìn)行擾動(dòng)補(bǔ)償，對(duì)設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明添加擾動(dòng)補(bǔ)償后的磁懸浮軸承控制系統(tǒng)具有抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

1 磁懸浮軸承系統(tǒng)模型

■1.1 磁懸浮軸承基本工作原理

簡(jiǎn)化的單自由度徑向磁懸浮系統(tǒng)如圖1 所示，包括磁懸浮軸承控制器、位移傳感器、功率放大器、磁力線圈以及轉(zhuǎn)子五大部分。磁懸浮系統(tǒng)的工作原理是利用電磁力實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子在平衡位置的懸浮，轉(zhuǎn)子在懸浮過(guò)程中，通過(guò)傳感器實(shí)時(shí)獲取轉(zhuǎn)子的位置信號(hào)，此位置信號(hào)經(jīng)過(guò)傳感器的調(diào)理電路進(jìn)入磁懸浮軸承控制器，作為控制器的輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)控制器計(jì)算出所需要的控制量并送入到下一環(huán)控制環(huán)節(jié)中，在下一環(huán)中控制信號(hào)經(jīng)功率放大器轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂齐娏鬟M(jìn)入相應(yīng)的磁力線圈在轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生電磁力實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)子的實(shí)時(shí)控制，從而使轉(zhuǎn)子懸浮在平衡位置。

圖1 磁懸浮軸承工作原理

■1.2 轉(zhuǎn)子鐵芯力學(xué)關(guān)系

以轉(zhuǎn)子在x 方向運(yùn)動(dòng)為例，分析圖2 中轉(zhuǎn)子鐵心在外力綜合作用下磁懸浮轉(zhuǎn)子力-電流-位移函數(shù)關(guān)系。在分析電磁鐵的磁路時(shí)，通常考慮的是理想情況，即假設(shè)除氣隙外，磁通全部無(wú)漏磁地穿過(guò)鐵心。

圖2 磁懸浮系統(tǒng)磁路示意圖

假設(shè)磁通全部通過(guò)Afe的鐵芯截面，并假設(shè)鐵心截面等于氣隙面積Aair，則磁通Φ 為：

由于Afe=Aair=A，則有：Bfe=Bair=B，其中Bfe為磁芯的磁感應(yīng)強(qiáng)度；Bair為氣隙中的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

根據(jù)“安培環(huán)路定律”可得：

式中，線圈匝數(shù)為N；線圈電流為I；氣隙間距為x；鐵芯回路的平均長(zhǎng)度為lfe；磁芯磁場(chǎng)強(qiáng)度為Hfe；氣隙磁場(chǎng)強(qiáng)度為Hair。忽略鐵芯的磁化作用，則有：

根據(jù)(3)式可得：

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為鐵芯相對(duì)磁導(dǎo)率。由于μr≥ 1，因此式(4)可簡(jiǎn)化為：

根據(jù)麥克斯韋吸引力公式，可求得作用在轉(zhuǎn)子上的吸引力為：

將式(5)代入到式(6)中，得：

由式（7）可知，當(dāng)氣隙面積和線圈匝數(shù)都不變的情況下，電磁吸引力的大小主要由線圈電流和氣隙間距決定，且它們之間為非線性關(guān)系。

根據(jù)牛頓第二定律可知，轉(zhuǎn)子鐵芯的受力關(guān)系為：

式中，p(t) 為在x 方向的外部擾動(dòng)，為時(shí)間的函數(shù)；F為磁力軸承產(chǎn)生的電磁力，它是位移與電流的函數(shù)；mg為轉(zhuǎn)子重力。

將式（7）磁力軸承電磁力公式帶入到式（8）中，整理得：

從式(9)可知，磁力軸承數(shù)學(xué)模型為二次非線性微分方程，無(wú)論從理論還是時(shí)間中，危險(xiǎn)性控制還沒(méi)有得到很好地解決，常用的方法是在一定條件下將非線性模型轉(zhuǎn)換成線性模型。為方便設(shè)計(jì)和分析，有必要對(duì)磁力軸承電磁力公式進(jìn)行線性化。

■1.3 磁力軸承電磁力的線性化

磁力軸承的電磁力是線圈電流與氣隙間距的函數(shù)，因此，可將式(7)寫成如下形式：

為了將上式進(jìn)行線性化，將該式在平衡點(diǎn)y0=f(x0)處進(jìn)行泰勒展開(kāi)：

當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)在平衡點(diǎn)很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，取其線性項(xiàng)所產(chǎn)生的誤差可以忽略不計(jì)，得到：

對(duì)上式求偏導(dǎo)得：

式中，ki為磁力軸承的電流系數(shù)；kx為磁力軸承的位移系數(shù)，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定后，定子線圈的靜態(tài)工作點(diǎn)確定，式中ki和kx為常數(shù)。

將式(13)和式(14)代入到式(10)中，得到：

將式(15)代入到式(9)中，得到：

在設(shè)計(jì)時(shí)如果參數(shù)選取合適，使F(I0,x0)等于轉(zhuǎn)子重力mg，且令Δi=I-I0=i，Δx=x-x0=x，則式（16）可簡(jiǎn)寫成：

2 磁懸浮軸承擾動(dòng)補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

■2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）是一種比較有效地實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)觀測(cè)的觀測(cè)器，能夠?qū)⒈豢貙?duì)象的擾動(dòng)擴(kuò)張成一個(gè)新的狀態(tài)變量，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器有線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器之分，為了便于系統(tǒng)分析，本文應(yīng)用線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（LESO）。

假設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程如下：

式中f(x1,x2,ω,t)為未知量，設(shè)b0 為b的估計(jì)值，令x3=f(x1,x2,ω,t) + (b-b0)u，并令x˙3=ω(t)，那么式(18)可以轉(zhuǎn)換成：

x3為擴(kuò)張的狀態(tài)，其值表示系統(tǒng)的未知擾動(dòng)。對(duì)式(19)建立線性擴(kuò)張狀觀測(cè)器：

式中，z1為狀態(tài)變量x1的估計(jì)值，z2為狀態(tài)變量x2的估計(jì)值，z3為擾動(dòng)變量x3的估計(jì)值， 1β、 2β、 3β為觀測(cè)器系數(shù)，如果選取合適的觀測(cè)器參數(shù)，觀測(cè)器就能很好地估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量及擾動(dòng)。

■2.2 擾動(dòng)補(bǔ)償控制模型

本文基于傳統(tǒng)的PID 控制下的磁懸浮軸承運(yùn)行過(guò)程中存在擾動(dòng)引起的位移波動(dòng)等問(wèn)題，在PID 控制的基礎(chǔ)上，采用線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器用于觀測(cè)系統(tǒng)擾動(dòng)并對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償模型如圖3 所示。

圖3 單自由度磁軸承擾動(dòng)補(bǔ)償控制框圖

圖4 抗擾動(dòng)控制仿真框圖

從圖3 可知，本文提出的擾動(dòng)補(bǔ)償控制策略主要由位移環(huán)、電流環(huán)、擾動(dòng)補(bǔ)償環(huán)三個(gè)環(huán)路組成。其中x*為參考位移，x為實(shí)際位移反饋值，e為實(shí)際位移與參考位移的誤差，i0為位置環(huán)PID 計(jì)算得到的電磁繞組電流環(huán)的控制電流，i*為經(jīng)過(guò)線性擴(kuò)張觀測(cè)器（LESO）補(bǔ)償后的電流給定值，i為實(shí)際輸出電流值，p(t)為外部擾動(dòng)，z3為L(zhǎng)ESO 實(shí)時(shí)觀測(cè)的擾動(dòng)量，b為擾動(dòng)補(bǔ)償系數(shù)。

由式(17)可知單自由度磁力軸承電磁力線性化模型可得到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為：

式中，x1為位移，x2為速度，在式(21)的基礎(chǔ)上擴(kuò)張狀態(tài)變量x3，其中x3=p(t)m，為擾動(dòng)產(chǎn)生的加速度，并令x˙3=ω(t)，可得到擴(kuò)張狀態(tài)之后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為：

設(shè)置線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器如下：

如果采樣周期為T，則上式可離散成如下形式：

式中，β1為位移觀測(cè)系數(shù)，β2為速度觀測(cè)系數(shù)、β3為擾動(dòng)觀測(cè)系數(shù)，y為磁軸承轉(zhuǎn)子位移實(shí)際值，u為磁軸承控制器輸出的控制電壓，kxz1m為磁懸浮軸承系統(tǒng)位移加速度估計(jì)值。由文獻(xiàn)[12]可知，被控對(duì)象的加速度包含四個(gè)部分：控制器施加力產(chǎn)生的加速度、系統(tǒng)固有加速度、系統(tǒng)不確定加速度以及擾動(dòng)產(chǎn)生的加速度。其中kxx1m為系統(tǒng)固有加速度，通過(guò)在系統(tǒng)中修正kxz1m可消除確知加速度的影響，減少z3的負(fù)擔(dān)提高LESO 的估算效率。

將磁懸浮軸承的LESO 模型式(23)與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程式(22)作差，先?。?/p>

則有誤差方程為：

當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，上述誤差均為0，則有：

由上式可得觀測(cè)器誤差為：

由上式可知，當(dāng) 3β遠(yuǎn)大于ω(t) 時(shí)，上述誤差就無(wú)限趨近于0。那么就實(shí)現(xiàn)了線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器中的三個(gè)狀態(tài)變量可以很好地估算出磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的位移、速度以及系統(tǒng)擾動(dòng)祖永亮的加速度。

根據(jù)線性自抗擾理論，其核心LESO 可利用實(shí)時(shí)估計(jì)出系統(tǒng)未知擾動(dòng)，包括磁懸浮建模的不準(zhǔn)確性、參數(shù)攝動(dòng)導(dǎo)致的擾動(dòng)以及系統(tǒng)受到的外界擾動(dòng)作用，并將實(shí)時(shí)估計(jì)得到的磁懸浮軸承系統(tǒng)的總擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償[13]，可得到經(jīng)過(guò)補(bǔ)償后的控制器輸出量為：

將補(bǔ)償后的控制變量帶入到轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程中，則式(21)可化為：

從得到的系統(tǒng)狀態(tài)方程由此可知，控制系統(tǒng)可對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

■2.3 參數(shù)整定分析

由LESO 誤差狀態(tài)方程式(26)可得特征方程為：

針對(duì)ESO 多參數(shù)整定的問(wèn)題，在文獻(xiàn)[14]中基于帶寬的概念提出了LESO 參數(shù)整定的簡(jiǎn)便方法。將線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的三重極點(diǎn)配置-ω0，使得特征方程的形式變?yōu)棣?s) = (s+ω0)3，這種形式的系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程及穩(wěn)定性較好，那么可得到：

這樣，只需要調(diào)節(jié)觀測(cè)器帶寬參數(shù)ω0即可實(shí)現(xiàn)對(duì)觀測(cè)器參數(shù)的配置，大大簡(jiǎn)化了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器參數(shù)調(diào)節(jié)的復(fù)雜性。

3 仿真驗(yàn)證

本文基于MATLAB/Simulink 以磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子徑向x方向?yàn)槔M(jìn)行仿真研究，仿真參數(shù)為：轉(zhuǎn)子質(zhì)量m=0.046lg，電磁鐵線圈電感L=109Hm，電磁鐵線圈電阻R=9.6Ω，線圈匝數(shù)N=2024，轉(zhuǎn)子平衡位置x0=0.25m，轉(zhuǎn)子平衡位置線圈電流I0=0.8053A，電流剛度系數(shù)ki=1.1195N/A，位移剛度系數(shù)kx=-43.9797N/m。取ω0=5000，由式(32)可確定線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器系數(shù)β1，β2，β3的值。

為了驗(yàn)證本文提出的的擾動(dòng)補(bǔ)償控制策略的抗擾能力，本文對(duì)階躍擾動(dòng)、周期性正弦擾動(dòng)進(jìn)行仿真分析。

（1）階躍擾動(dòng)

在實(shí)際磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮時(shí)遇到負(fù)載突變的情況進(jìn)行仿真，即添加階躍擾動(dòng)。在0.2s 時(shí)添加浮軸為0.3N的階躍擾動(dòng)，從圖5 可看出，未添加擾動(dòng)補(bǔ)償時(shí)，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的最大位移波動(dòng)有64μm，添加擾動(dòng)補(bǔ)償后轉(zhuǎn)子位移波動(dòng)約為25μm，位移偏移量比未補(bǔ)償前減小了61%，由此可見(jiàn)，添加擾動(dòng)補(bǔ)償可提升系統(tǒng)的抗干擾能力。

圖5 階躍擾動(dòng)轉(zhuǎn)子位移圖

圖6 正弦擾動(dòng)轉(zhuǎn)子位移圖

（2）周期性正弦擾動(dòng)

磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子在懸浮過(guò)程中也會(huì)受到由于轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中心不重合導(dǎo)致的一定頻率的正弦擾動(dòng)，為了驗(yàn)證擾動(dòng)補(bǔ)償對(duì)正弦擾動(dòng)的抗干擾能力，在仿真時(shí)添加頻率為100Hz，幅值為1N 的正弦擾動(dòng)。

從仿真結(jié)果可知，未添加擾動(dòng)補(bǔ)償時(shí)，轉(zhuǎn)子位移波動(dòng)峰峰值15μm，添加擾動(dòng)補(bǔ)償后，轉(zhuǎn)子位移波動(dòng)為7μm，相比于單PID 控制位移波動(dòng)減小了53%，通過(guò)對(duì)周期性正弦擾動(dòng)的仿真結(jié)果可知，擾動(dòng)補(bǔ)償對(duì)周期性正弦擾動(dòng)也表現(xiàn)出較好的抗干擾能力。

4 結(jié)論

本文基于LESO 提出了應(yīng)用于磁懸浮軸承控制系統(tǒng)的擾動(dòng)補(bǔ)償控制策略，通過(guò)對(duì)單自由度轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)模型的分析，搭建了磁軸承擾動(dòng)觀測(cè)器模型，并基于帶寬的概念對(duì)LESO 的觀測(cè)器增益進(jìn)行整定。通過(guò)MATLAB/Simulink 仿真對(duì)比了添加擾動(dòng)補(bǔ)償前后系統(tǒng)對(duì)節(jié)約擾動(dòng)以及周期性正弦擾動(dòng)的抗擾性仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果驗(yàn)證了LESO 應(yīng)用于磁軸承擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)恼_性與可行性，并對(duì)比單PID 控制位移波動(dòng)顯著減小，可有效地提高磁懸浮軸承的抗擾性。