客戶滿意度推薦閾與重購閾的聯(lián)合估計(jì)

金 英，蘇 萌，涂 平

（北京大學(xué) 光華管理學(xué)院，北京100871）

0 引言

具有同樣滿意程度的客戶可能會(huì)有不同的行為意向,滿意度閾的不同可能是造成這種情況的原因之一。以往研究提出，不同的客戶可能有不同的滿意度閾，只有當(dāng)滿意度分?jǐn)?shù)超過某個(gè)閾值時(shí)，客戶才會(huì)體現(xiàn)推薦或出重購行為[1]。滿意度調(diào)查通常只能得到客戶的滿意程度，但是無法了解具體什么程度的滿意度可以導(dǎo)致客戶忠誠。而高滿意度不一定能導(dǎo)致客戶忠誠[2][3]。因此，只測(cè)量客戶滿意度是不夠的。較低的滿意度閾意味著該客戶的滿意水平容忍度和忠誠度較高，而較高的滿意度閾則表示該客戶對(duì)滿意水平的容忍度低，不容易產(chǎn)生重購意愿和行為[1][4]。如果企業(yè)能夠估計(jì)出每個(gè)客戶的滿意度閾，則不僅可以幫助企業(yè)加深了解客戶內(nèi)在的忠誠性，而且可以根據(jù)不同滿意度閾值，設(shè)計(jì)個(gè)性化的客戶忠誠計(jì)劃。

滿意度閾是一個(gè)潛在的變量，如果采用客戶自我報(bào)告的方法來獲得，其客觀性和可靠性會(huì)存在問題。因而滿意度閾更適合采用間接估算的方法。但是，目前有關(guān)這方面的定量研究還非常少，有限的幾個(gè)相關(guān)研究也存在各自的局限性。如Mittal和Kamakura的binary probit模型[1]在估計(jì)個(gè)體層次的重購閾上不夠完善，造成所有具有相同人口統(tǒng)計(jì)變量的客戶有完全相同的閾值；而單變量分層Bayes Probit模型[5]雖然可以估計(jì)出客戶個(gè)體層次的推薦閾和重購閾，但是推薦意愿和重購意愿必須分別考慮。重購意愿和推薦意愿是反映客戶忠誠的兩個(gè)最主要的維度[6][7][8]?？疾炜蛻糁艺\應(yīng)當(dāng)同時(shí)考慮客戶在不同維度上的聯(lián)合表現(xiàn)。因?yàn)槌巳丝诮y(tǒng)計(jì)因素和產(chǎn)品及消費(fèi)經(jīng)歷因素，某些消費(fèi)者的人格特征可能會(huì)共同影響其推薦意愿和重購意愿。如果能在模型中捕捉到這部分因素，對(duì)推薦閾和重購閾進(jìn)行聯(lián)合建模，會(huì)更有利于準(zhǔn)確地估計(jì)。

1 相關(guān)模型

Mittal和Kamakura的研究[1]針對(duì)美國汽車消費(fèi)者，使用Probit模型來考察客戶滿意度對(duì)未來實(shí)際重購行為的影響,他們的模型中包含了重購閾參數(shù)。Mittal和Kamakura假設(shè)消費(fèi)者j有重購行為的概率等于他的真實(shí)的滿意度大于其滿意度閾的概率[1]：

其中，Yj是消費(fèi)者j是否重購的0-1變量，Sj是消費(fèi)者j的真實(shí)滿意度，uj是該消費(fèi)者的滿意度閾。Mittal和Kamakura進(jìn)一步假設(shè)，消費(fèi)者的滿意度閾受他的人口統(tǒng)計(jì)因素的影響，所以他們將滿意度閾表達(dá)為人口統(tǒng)計(jì)變量的回歸：

其中，γ0和γk是參數(shù)，K是人口統(tǒng)計(jì)變量的個(gè)數(shù)，Zjk是人口統(tǒng)計(jì)變量，η是誤差項(xiàng)，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

Mittal和Kamakura認(rèn)為，消費(fèi)者報(bào)告的滿意度分?jǐn)?shù)Oj只是一個(gè)反映消費(fèi)者潛在的真實(shí)滿意度的指標(biāo)，因而他們把真實(shí)的滿意度表示為Oj的回歸：

其中，βj是參數(shù)，ε是誤差項(xiàng)，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

Mittal和Kamakura假設(shè)報(bào)告的滿意度轉(zhuǎn)換為真實(shí)的滿意度的關(guān)系受到消費(fèi)者特征的影響：

其中δ0和δk是參數(shù)。把（3）和（4）式代入（2）式，得到：

從（5）式可以看出，η和ε不能識(shí)別。因此，要計(jì)算客戶個(gè)體層次的重購閾只能使用：

這樣就不能把未測(cè)量的消費(fèi)者特征因素考慮進(jìn)去，結(jié)果造成所有具有相同人口統(tǒng)計(jì)變量的消費(fèi)者將具有完全相同的重購閾的不合理現(xiàn)象。Mittal和Kamakura的模型主要是為了捕捉客戶特征對(duì)滿意度與重購行為之間關(guān)系的調(diào)節(jié)作用，因此對(duì)重購閾的建模不夠完善。因此，該模型不適于估計(jì)個(gè)體層次的重購閾。

單變量分層Bayes Probit模型分別對(duì)客戶推薦閾和重購閾進(jìn)行如下建模[5]：

其中，Yi=1表示客戶i選擇推薦或重購，ri表示客戶i的推薦閾或重購閾，βi是客戶i的線性系數(shù)，Oi是客戶i報(bào)告的滿意度分?jǐn)?shù)，ε是誤差項(xiàng)。

另外一層模型用于控制參數(shù)異質(zhì)性(heterogeneity)，

其中，Zi表示客戶i的特征變量所構(gòu)成的向量；表示系數(shù)向量的轉(zhuǎn)置向量；v是誤差項(xiàng)。單變量分層模型的局限在于沒有考慮客戶的某些內(nèi)在因素可能會(huì)共同影響推薦意愿或重購意愿，因而在一定程度上削弱估計(jì)的準(zhǔn)確性。

2 模型的建立

本研究采用與Mittal和Kamakura[1]類似的假設(shè)：客戶報(bào)告的滿意度分?jǐn)?shù)是客戶真實(shí)的滿意度水平的反映，當(dāng)真實(shí)的滿意度超過其推薦閾時(shí)，客戶就有推薦意愿；反之，則無。也可以說是，客戶有推薦意愿的概率等于他的真實(shí)滿意度大于其推薦閾的概率。用公式可以表示為：

其中，Y1i=1表示客戶i(i=1,…,n)表示愿意推薦，Y1i=0表示不愿意推薦；w1i是潛變量；Xi是客戶i自我報(bào)告的滿意度分?jǐn)?shù)；β1i是系數(shù)，反映了客戶報(bào)告的滿意度對(duì)其推薦閾的影響；r1i表示客戶i的推薦閾；ε1i是誤差項(xiàng)。

用同樣的方法，可以對(duì)重購閾建模：

其中，Y2i=1表示客戶i表示愿意重購，Y2i=0表示不愿意重購，w2i是潛變量，β2i是系數(shù)，r2i表示客戶i的重購閾，ε2i是誤差項(xiàng)。

由于可能有某些共同的潛在因素會(huì)影響到客戶對(duì)是否愿意推薦和重購的判斷，所以（9）和（10）式的誤差項(xiàng)可能具有一定的相關(guān)關(guān)系，因而可以假設(shè)它們共同服從一個(gè)雙變量正態(tài)分布。用公式表達(dá)為：

需要注意的是，對(duì)于Probit模型來說，模型的回歸系數(shù)和協(xié)方差是不能被識(shí)別的[9]。為了處理參數(shù)識(shí)別問題，依據(jù)Chib和Greenberg[9]的方法，這里設(shè)定協(xié)方差矩陣Σ等于它的相關(guān)矩陣ρ是兩個(gè)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)。這樣，由（9）、（10）和（11）式共同構(gòu)成了一個(gè)雙變量Probit模型。

對(duì)于上述雙變量Probit模型，需要估計(jì)的參數(shù)有r1i,β1i,r2i,β2i和Σ。由于本研究的目的是估算出每個(gè)客戶的滿意度閾，所以r1i,β1i,r2i和β2i被定義為客戶個(gè)體層次的參數(shù)，即不同客戶的r1i,β1i,r2i和β2i值是不同的。Rossi，McCulloch和Allenby等人[10]使用的分層Bayes建模方法適用于處理此類異質(zhì)性參數(shù)問題。使用該方法需要進(jìn)一步對(duì)系數(shù)r1i,β1i,r2i和β2i建立線性回歸模型。這種分層建模方法假設(shè)客戶各自不同的系數(shù)是受他自身特征因素影響的，因而這些特征因素可以作為解釋變量對(duì)第一層模型的系數(shù)r1i,β1i,r2i和β2i進(jìn)行回歸，并形成第二層模型。具體可用公式表示為：

其中，Zi表示客戶i的特征變量所構(gòu)成的向量；表示系數(shù)向量的轉(zhuǎn)置向量，分別對(duì)應(yīng)參數(shù)r1i,β1i,r2i和β2i。并且，考慮到可能存在某些不可觀測(cè)的客戶特征因素影響其推薦閾和重購閾，假設(shè)誤差項(xiàng)ηji服從多變量聯(lián)合Normal(0,V)。V是協(xié)方差矩陣。同樣，為了處理參數(shù)不可識(shí)別問題，我們假設(shè)協(xié)方差矩陣等于它的相關(guān)矩陣D：

至此，由（9）～（12）式共同構(gòu)成了一個(gè)分層的雙變量Probit模型。但是該模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)卻難以用傳統(tǒng)方法進(jìn)行估計(jì)。主要是因?yàn)殡p變量的概率形式是非標(biāo)準(zhǔn)的，而且對(duì)參數(shù)求導(dǎo)困難。因此，本文采用Bayes MCMC模擬方法解決模型估計(jì)問題。

3 模型估計(jì)

首先需要對(duì)模型參數(shù)Δ、Σ和D設(shè)定先驗(yàn)概率分布。參照Bayes模型的標(biāo)準(zhǔn)做法，設(shè)定Δ和D的先驗(yàn)概率分布為：

其中，A-1為對(duì)角矩陣，D服從Inverted Wishart分布。

另外，設(shè)定Σ的先驗(yàn)概率分布為InvertedWishart(υ0,Λ0)。

本模型的參數(shù)后驗(yàn)?zāi)M抽樣算法可以由下面的Gibbs抽樣步驟構(gòu)成。

第一步：設(shè)定β1i，r1i，β2i，r2i，Σ和D的初始值；

第二步：給定β1i，r1i，β2i，r2i和Σ，對(duì)潛變量w1i和w2i進(jìn)行抽樣；

第三步：給定D和Σ，對(duì)β1i，r1i，β2i和r2i進(jìn)行抽樣；

第四步：給定β1i，r1i，β2i，r2i，w1i和w2i，對(duì)Σ進(jìn)行抽樣；

第五步：給定β1i，r1i，β2i和r2i，對(duì) Δ 和D進(jìn)行抽樣。返回第二步。

具體來說，在第二步為了實(shí)現(xiàn)對(duì)Σ的抽樣，首先對(duì)潛變量 w1i和w2i進(jìn)行抽樣。假設(shè)給定了β1i，r1i，β2i，r2i和Σ，則w1i和w2i可由二元正態(tài)分布隨機(jī)產(chǎn)生。但是，需要注意的是，w1i和w2i的正負(fù)與Y1i和Y2i取值相對(duì)應(yīng)。Y為0時(shí)，w應(yīng)當(dāng)小于等于0；Y為1時(shí)，w大于0。因此，實(shí)際上這個(gè)隨機(jī)分布應(yīng)當(dāng)是截?cái)嗟亩龖B(tài)分布。在抽取w1i和w2i時(shí)，本研究采用GHK算法來實(shí)現(xiàn)截?cái)喽龖B(tài)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生[11][12]。該算法可以將截?cái)嗟亩龖B(tài)分布轉(zhuǎn)換為兩個(gè)獨(dú)立的截?cái)嘁辉龖B(tài)分布，這樣可以保證一次性產(chǎn)生符合條件的隨機(jī)數(shù)。

根據(jù)給定的D和Σ，對(duì)β1i，r1i，β2i和r2i進(jìn)行抽樣。β1i，r1i，β2i和r2i是個(gè)體層次的參數(shù)，本研究參照分層Logit模型的Gibbs算法中對(duì)個(gè)體層次參數(shù)的處理方法[13]，對(duì)β1i，r1i，β2i和r2i的抽樣使用隨機(jī)游走M(jìn)etropolis-Hastings算法來實(shí)現(xiàn)[14]。具體步驟如下：

（3）令

（4）對(duì) u ～ Uniform[0,1]進(jìn)行隨機(jī)抽樣，如果u≤α(Bi

(k-1);Bi) ，則；否則，

給定β1i，r1i，β2i，r2i，w1i和 w2i，對(duì)Σ進(jìn)行抽樣。只要知道了β1i，r1i，β2i，r2i，w1i，w2i和 Xi，則（9）和（10）式就構(gòu)成兩個(gè)SUR(Seemingly Unrelated Regression)方程[15]。對(duì)于SUR模型，如果假設(shè)Σ的先驗(yàn)概率服從InvertedWishart(υ0, Λ0)分布，那么它的后驗(yàn)概率分布也是Inverted Wishart，即：

Σ|β1i,r1i,β2i,r2i,w1i,w2i,Xi～I(xiàn)nvertedWishart(υ0+n,S+Λ0)

其中，S=E’E，E為誤差，可以根據(jù)β1i,r1i,β2i,r2i,w1i,w2i和Xi計(jì)算出來。這樣就可以根據(jù)它的后驗(yàn)概率分布對(duì)Σ進(jìn)行抽樣了。

給定β1i，r1i，β2i和r2i，可以對(duì) Δ 和D進(jìn)行抽樣，這相當(dāng)于一個(gè)雙變量線性回歸模型。首先，依據(jù)下面的后驗(yàn)條件概率分布對(duì)D進(jìn)行抽樣：

其中，S=E’E

其次，給定D，根據(jù)下面后驗(yàn)條件概率分布對(duì)Δ進(jìn)行抽樣：

上述步驟完成之后，再回到算法的第二步，進(jìn)入下一次迭代。

4 數(shù)據(jù)模擬

本研究以公開發(fā)行的自由軟件R 2.7.0[16]為編程環(huán)境，在 bayesm[17]，MASS[18]，mvtnorm[19]，msm[20]等軟件包的基礎(chǔ)上編程實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)模擬和模型估計(jì)及檢驗(yàn)。

首先，任意設(shè)定參數(shù)取值如下：ρ=-0.1；d12=d13=模擬的樣本大小為n=5000。然后，根據(jù)模型（9）～（12）式生成模擬數(shù)據(jù)。用本研究提出的雙變量分層Bayes Probit模型的MCMC算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。運(yùn)算迭代10000次。為了去除相鄰迭代間可能存在的相關(guān)關(guān)系，每隔5次保留1次抽樣結(jié)果，共獲得2000次抽樣的模擬數(shù)據(jù)。然后再去除其中前1000次數(shù)據(jù)，以消除先驗(yàn)假設(shè)的影響。對(duì)模擬數(shù)據(jù)的運(yùn)算結(jié)果表明（表1），絕大多數(shù)參數(shù)的估計(jì)比較準(zhǔn)確。

表1 參數(shù)估計(jì)

5 實(shí)證應(yīng)用

本研究的實(shí)證數(shù)據(jù)來源于某品牌汽車經(jīng)銷商對(duì)其客戶隨機(jī)抽樣所做的一次滿意度調(diào)查，樣本規(guī)模為1433人。本研究涉及的變量包括四類：（1）客戶對(duì)經(jīng)銷商服務(wù)的總體滿意度；（2）客戶推薦意愿和重購意愿；（3）人口統(tǒng)計(jì)變量；（4）產(chǎn)品和消費(fèi)經(jīng)歷變量。其中，總體滿意度由10分量表測(cè)量，代表5個(gè)滿意度水平。推薦意愿和重購意愿都是0-1變量。樣本的滿意度接近正態(tài)分布，其均值為7.6，標(biāo)準(zhǔn)差為1.4。與該公司進(jìn)行的其它滿意度調(diào)查數(shù)據(jù)相比較，該分布正常。對(duì)樣本特征進(jìn)行的描述性統(tǒng)計(jì)分析顯示，樣本構(gòu)成基本符合該汽車品牌總體客戶的特征，顯示樣本具有代表性。

模型的初始值設(shè)定采用發(fā)散的、無信息的方式。用MCMC模擬抽樣方法，每個(gè)模型都迭代20000次，采用間隔5次取樣的方法，共獲得4000次的抽樣數(shù)據(jù)。最后進(jìn)入計(jì)算的是后2500次較穩(wěn)定的模擬數(shù)據(jù)。

5.1 模型比較

為了檢驗(yàn)本研究所提出的雙變量分層Bayes Probit模型在實(shí)證數(shù)據(jù)分析中的有效性，本文分別進(jìn)行了內(nèi)部效度和外部效度檢驗(yàn)。在內(nèi)部效度上，本研究比較了兩個(gè)Bayes模型的LML(Log Marginal Likelihood)指標(biāo)：雙變量分層Bayes Probit模型(BHP模型)和單變量分層Bayes Probit模型(HP模型)。LML值越大，說明模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合情況越好[13]。表2顯示，本研究模型(BHP模型)的LML值(-266.731)比HP模型的LML的(-324.215)要大，說明本研究模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合情況比單變量分層模型更好。

表2 模型擬合度比較(LML)

在外部效度上，本研究比較了三個(gè)模型的樣本外預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確率。首先將全部數(shù)據(jù)隨機(jī)分為訓(xùn)練數(shù)據(jù)和驗(yàn)證數(shù)據(jù)。針對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，三個(gè)模型分別估計(jì)出參數(shù)，將估計(jì)出的參數(shù)應(yīng)用于驗(yàn)證數(shù)據(jù)，分別預(yù)測(cè)推薦和重購，與真實(shí)情況比較計(jì)算出預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率。表3結(jié)果顯示，本研究模型在推薦意愿和重購意愿上都是預(yù)測(cè)最準(zhǔn)確的。

表3 模型預(yù)測(cè)精確度比較

5.2 推薦閾和重購閾的分布

圖1是推薦閾和重購閾的直方圖。左側(cè)的圖是用雙變量模型估計(jì)出的結(jié)果，右側(cè)的圖是用單變量模型估計(jì)的結(jié)果。因?yàn)殡p變量模型的數(shù)據(jù)擬合度指標(biāo)LML優(yōu)于單變量模型，因而可以認(rèn)為左圖更接近于數(shù)據(jù)的真實(shí)情況。用單變量模型會(huì)低估推薦閾小于1的客戶數(shù)量。這樣會(huì)高估滿意度分?jǐn)?shù)的作用，但是，雙變量模型的結(jié)果顯示，15.6%的人的推薦意愿不會(huì)隨著滿意度分?jǐn)?shù)的提高而變動(dòng)。這一比例要高于單變量模型的估計(jì)結(jié)果。而從圖1可以看出，單變量模型低估了重購閾高于10的那部分人的比例。這也在一定程度上高估了滿意度分?jǐn)?shù)的作用。

6 結(jié)語

圖1 推薦閾和重購閾的后驗(yàn)概率分布直方圖

本研究提出了一種雙變量分層方法聯(lián)合估算個(gè)體層次的推薦閾和重購閾，并采用Bayes MCMC方法對(duì)模型進(jìn)行了估計(jì)。該方法可以比其他方法更有效地估計(jì)客戶個(gè)體層次的推薦閾和重購閾。本研究提出的雙變量分層Bayes Probit模型也為其它關(guān)于二元雙變量的聯(lián)合分析提供了實(shí)用工具。例如，客戶忠誠意愿和忠誠行為的聯(lián)合分析。本研究的主要局限在于，由于數(shù)據(jù)限制只考察了客戶的忠誠意愿而沒有考察忠誠行為。鑒于企業(yè)更加關(guān)心的是客戶的忠誠行為，未來研究應(yīng)當(dāng)聯(lián)合考慮客戶的忠誠意愿和行為。對(duì)此，本研究提出的方法可以很容易地應(yīng)用于客戶行為數(shù)據(jù)。

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