管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)電磁傳輸特性理論研究*

吳 昊 蘇新彥 姚金杰 李嘉浩

（中北大學(xué)信息探測與處理山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 太原 030051）

1 引言

電磁場在人類社會(huì)進(jìn)步以及科技發(fā)展中起著至關(guān)重要的推進(jìn)作用，由于電磁波可在傳播過程中完成信息探測和能量傳遞的特點(diǎn)，使電磁波在軍事領(lǐng)域、工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用，如使用雷達(dá)進(jìn)行非接觸式膛內(nèi)彈道信息獲取，通過分析其膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)進(jìn)行火炮性能評估；在進(jìn)行機(jī)械生產(chǎn)時(shí)，某些密閉高壓區(qū)域需要使用電磁設(shè)備進(jìn)行信息獲取，譬如特殊金屬管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)信息檢測等。

針對各類場景的電磁理論也日漸完善，J.Rayleigh［1］和H.Lamb［2］研究了無約束條件下彈性波在各向同性板中的傳播特性，開啟了導(dǎo)波技術(shù)理論研究的序幕。J.Ghosh［3］求解了導(dǎo)波在空心圓柱中的傳播，得到了縱軸對稱模態(tài)的數(shù)值解，但他缺少數(shù)值分析，也沒有驗(yàn)證所得結(jié)論正確性。Jing Mu［4］用半解析有限元（SAFE）方法求解了帶粘彈性涂層的自由空心圓柱中的導(dǎo)波傳播，給出了軸對稱和彎曲模態(tài)的導(dǎo)波頻散曲線和衰減特性。孫繼平［5］用金屬波導(dǎo)法分析了電磁波在隧道中的傳播特性，給出了不同截面形狀隧道衰減的近似計(jì)算公式。劉滿堂［6］分析了短波通信的傳輸特性，并給出了短波信道傳播損耗計(jì)算模型。王玉龍［7］通過分析微波在輸氣管狀結(jié)構(gòu)中的傳輸衰減規(guī)律，計(jì)算出微波在管狀結(jié)構(gòu)中的傳輸距離，實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離微波加熱。由于現(xiàn)有對管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)電磁研究大多集中于隧道、礦井等且沒有準(zhǔn)確數(shù)值，針對雷達(dá)波在特殊管狀結(jié)構(gòu)環(huán)境（火炮、液壓缸等）內(nèi)的傳輸特性研究還未見相關(guān)報(bào)道。

當(dāng)使用雷達(dá)用于管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)的目標(biāo)探測時(shí)，在復(fù)雜工作環(huán)境下，電磁波傳輸收到很大限制，主要影響因素有管狀結(jié)構(gòu)橫截面半徑、管狀結(jié)構(gòu)長度、傳輸介質(zhì)和工作頻率等。本文的研究重點(diǎn)是分析電磁波在金屬管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)的傳輸特性及在環(huán)境中傳輸?shù)乃p特性，為分析管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)情況及設(shè)計(jì)管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)特制雷達(dá)系統(tǒng)提供理論支撐。

2 管狀結(jié)構(gòu)電磁波傳輸建模

2.1 管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)電磁波傳輸基本理論

根據(jù)實(shí)際情況，建立如圖1 所示圓柱坐標(biāo)系，管狀結(jié)構(gòu)半徑為a，選定電磁波沿z軸方向傳播。

圖1 圓柱坐標(biāo)系

假定在圖1 所示均勻圓柱體內(nèi)的電磁場為時(shí)諧場，電磁波沿軸向（z軸方向）傳播時(shí)，其內(nèi)的場分布滿足復(fù)數(shù)形式的亥姆霍茲方程［8］：

其中?2為拉普拉斯算子，k2=ω2με為電磁波波數(shù)，μ為磁導(dǎo)率，ε為介電常數(shù)，另假設(shè)圓柱體內(nèi)場量表達(dá)式：

其中γ為傳播常數(shù)，當(dāng)圓柱體內(nèi)沒有場源分布，不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流，場分布滿足復(fù)數(shù)形式的亥姆霍茲方程，已知圓柱坐標(biāo)系下：

其中t方向與導(dǎo)波傳播方向垂直，將式（1）到式（5）聯(lián)立求解可以得到：

同理可得：

將式（7）、式（8）在圓柱坐標(biāo)系下展開成標(biāo)量形式并整理，得到4 個(gè)橫向量分量Eρ、Eφ、Hρ、Hφ與縱向分量Ez、Hz之間的關(guān)系如下：

把Ez=P(ρ)Q(φ)e-γz帶入式（7）、式（8），通過分離變量法［9］得到

式（13）的解P(ρ)與的取值有關(guān)，其通解如下：

式中，Jm(kc ρ)是以kc ρ為自變量的m 階第一類貝塞爾函數(shù)，Nm(kc ρ)是以kc ρ為自變量的m 階第二類貝塞爾函數(shù)；Im(kc ρ)和Km(kc ρ)則分別是與Jm(kc ρ)和Nm(kc ρ)相對應(yīng)的m 階第一類和第二類修正貝塞爾函數(shù)。上述各類貝塞爾函數(shù)的曲線如圖2所示。

圖2 貝塞爾函數(shù)

從圖2（a）、（b）可以看出第一類、第二類貝塞爾函數(shù)Jm(kc ρ)和Jm(kc ρ)為振蕩型，主要分布于有限半徑區(qū)域。從圖2（c）、（d）可以看出修正貝塞爾函數(shù)Im(kc ρ)和Km(kc ρ)則為非振蕩型，主要分布于無限半徑區(qū)域。

因此，可以得到圓柱坐標(biāo)系中Ez的一般解為

同上，圓柱坐標(biāo)系中Hz的一般解為

式中的A1，A2，B1，B2均為待定系數(shù)。三角函數(shù)sinmφ、cosmφ與激勵(lì)源有關(guān)。待定系數(shù)A1，A2，B1，B2的值與激勵(lì)源強(qiáng)度有關(guān)，貝塞爾函數(shù)的解與截止波數(shù)kc、傳輸結(jié)構(gòu)以及邊界條件［10］有關(guān)。

2.2 傳輸模式與截止頻率

圓柱形管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)電磁波可分為兩種模式，即橫電波（TE 波）與橫磁波（TM 波），且不存在TEM波。

對于TM 波，即不存在縱向磁場分量，即Hz=0，所以Ez滿足的方程和邊界條件如下：

通過分析貝塞爾方程曲線，可以得到縱向梁分量Ez只滿足第一類貝塞爾方程，即：

由邊界條件Ez|ρ=a=0 得到截止波數(shù)kc：

式中，μmn為Jm(kca)=0 的根，表示m階第一類貝塞爾方程的第n 個(gè)零點(diǎn)。m、n 選取整數(shù)值的不同，對應(yīng)的μmn也就不同，一個(gè)μmn的值對應(yīng)一個(gè)TM 模式，記作TMmn，其截止波長的計(jì)算公式為

其中μmn的部分值如表1所示［11］。

表1 TM模的μmn 部分值

對于TE 波，不存在縱向電場分量，即Ez=0，所以Hz滿足的方程和邊界條件如下：

同理得到：

式中一個(gè)的值對應(yīng)一個(gè)TE 模式，記作TEmn。其中的部分值如表2所示［11］。

表2 TE模式的 部分值

表2 TE模式的 部分值

m=0 m=1 m=2 m=3 n=1 3.832 1.841 3.054 4.201 n=2 7.016 5.332 6.705 8.015 n=3 10.174 8.536 9.965 11.344 n=4 13.324 11.706 13.107 14.586

TMmn模式波和TEmn模式波在圓柱體中傳播特性由傳播常數(shù)γ確定。截止頻率fc和截止波長λc計(jì)算公式為

當(dāng)電磁波的工作波長λ小于截止波長時(shí)λc，該截止頻率或截止波長所對應(yīng)模式的電磁波便可在圓柱體內(nèi)傳播。通過對圓柱體內(nèi)不同模式截止波長大小的計(jì)算，可以得到各模式波截止波長分布圖如圖3所示。

圖3 部分模式波截止波長分布圖

TE11作為圓柱體傳播的的主模，是最低截止頻率模式，它的截止波長λc最大，約為3.41a；TM01則為最低型的高次模，約為2.613a；當(dāng)傳輸波長大于3.41a 時(shí)，此時(shí)處于截止?fàn)顟B(tài)，沒有模式可以傳播，當(dāng)傳輸波長在2.613a 與3.41a 之間時(shí)，處于單模工作區(qū)，此時(shí)只能傳播TE11主模，當(dāng)傳輸波長小于2.613a 時(shí)，此時(shí)為多模工作區(qū)，傳輸波長越短，則能傳輸?shù)牟ㄐ卧蕉唷?/p>

3 管狀結(jié)構(gòu)電磁損耗建模

在管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)，當(dāng)電磁波進(jìn)行傳輸時(shí)，主要受管狀結(jié)構(gòu)半徑、傳輸距離、工作頻率，以及管壁粗糙度和多徑效應(yīng)等影響。由于電磁波在管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)內(nèi)傳播時(shí)，電場與磁場均呈指數(shù)倍衰減［12］。結(jié)合實(shí)際情況，構(gòu)建如圖4所示模型結(jié)構(gòu)。

圖4 管狀結(jié)構(gòu)截面圖

在圖4 所示的平面圓形管狀結(jié)構(gòu)中，管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)壁半徑為a1，管狀結(jié)構(gòu)外壁半徑為a2，管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)磁導(dǎo)率為μ1，介電常數(shù)為ε1的傳輸媒介，管狀結(jié)構(gòu)本身是由磁導(dǎo)率為μ2，介電常數(shù)為ε2的有損材質(zhì)構(gòu)成（一般為鋼材），管狀結(jié)構(gòu)長度為d。根據(jù)傳輸損耗的定義，即輸出功率與輸入功率之比值，可以定義損耗公式：

式中L 為傳輸損耗比值，P 為d 點(diǎn)遠(yuǎn)處的接收功率，P0為發(fā)射功率，d 為傳輸距離，α為衰減常數(shù)。衰減常數(shù)α由導(dǎo)體衰減常數(shù)αc和介質(zhì)衰減常數(shù)αm構(gòu)成。當(dāng)管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)電磁波傳輸存在TE 和TM 兩種模式時(shí)，導(dǎo)體衰減常數(shù)表示為［13］

式中：Rs為管壁表面阻抗，a 為管狀結(jié)構(gòu)半徑，μ2為導(dǎo)體磁導(dǎo)率，ε2為導(dǎo)體介電常數(shù)，λ為傳輸波長，μmn和μ'mn分別為第一類貝塞爾函數(shù)與第一類貝塞爾函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解。

針對實(shí)際的工程問題，當(dāng)電磁波在管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)傳播時(shí)，電磁波波長遠(yuǎn)小于管狀結(jié)構(gòu)深度，由于電磁波工作在受限空間內(nèi)，所以會(huì)受到管狀結(jié)構(gòu)壁影響，因此導(dǎo)體衰減常數(shù)會(huì)隨管壁粗糙度相變化，當(dāng)前解決粗糙面散射的方法有基爾霍夫近似法和微擾法等［14～15］，通過文獻(xiàn)［16］，得到受管壁粗糙度影響下的衰減常數(shù)與理想導(dǎo)體下衰減常數(shù)的關(guān)系式：

式中：α'c為考慮管壁粗糙度后管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)電磁波衰減常數(shù)，Δ 為管狀結(jié)構(gòu)管壁內(nèi)表面均方根高度，為趨膚深度，與電磁波頻率f和導(dǎo)體電導(dǎo)率σ2有關(guān)［17～18］。

當(dāng)管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)存在多模傳輸時(shí)，接收到的電磁波將是各種模式波相累積，因此導(dǎo)體衰減常數(shù)αc將由以下公式計(jì)算：

當(dāng)金屬管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)填充有損介質(zhì)時(shí)，不僅存在由金屬管壁引起的導(dǎo)體損耗，同時(shí)還將存在由填充介質(zhì)引起的介質(zhì)損耗，并且，當(dāng)填充介質(zhì)不是弱導(dǎo)電媒質(zhì)時(shí)，由于填充介質(zhì)產(chǎn)生的介質(zhì)損耗將會(huì)遠(yuǎn)大于管壁引起的導(dǎo)體損耗，成為傳輸過程中的主要衰減因素。管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)介質(zhì)的衰減常數(shù)αm可近似為［19］

式中：μ1為媒質(zhì)磁導(dǎo)率，ε1為媒質(zhì)介電常數(shù)，σ1為媒質(zhì)電導(dǎo)率，f為工作頻率，且為損耗角正切。由此我們可以得到計(jì)算傳輸損耗值（單位：dB）的公式為

由于電磁波傳輸是朝四周擴(kuò)散的，所以電磁波在受限空間內(nèi)傳輸時(shí)，還會(huì)產(chǎn)生多徑效應(yīng)，但是由于其不確定性以及復(fù)雜性，這里暫不討論。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 管狀結(jié)構(gòu)電磁分布仿真

通過第一部分理論分析，可以知道電磁波在低損耗媒質(zhì)或無損媒質(zhì)中沿軸向呈正弦型的波動(dòng)變化［20］，如圖5所示。

圖5 電磁波傳輸狀態(tài)

根據(jù)電磁場的基本概念可知，如果空間內(nèi)存在周期性變化的電場，則在其周圍產(chǎn)生周期性變化的磁場。通過Ansys Electronics Suite仿真軟件構(gòu)建半徑為30mm，長度為500mm，材質(zhì)為特制鋼的空心圓柱體，其內(nèi)填充介質(zhì)為空氣時(shí)，得到其電磁場分布如圖6所示。

圖6 電磁場分布圖

通過圖6 可以清晰地觀察到管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)電磁場的分布情況，其中圖6（a）為管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)電場分布圖，可以看到電場大小波動(dòng)呈周期性變化，且符合正弦型變化規(guī)律，同時(shí)通過圖6（b）可以看出管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)磁場隨電場進(jìn)行周期性變化?？傮w而言，與管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)場量分布理論相吻合。

4.2 理論數(shù)值與仿真對比

當(dāng)電磁波通過發(fā)射設(shè)備進(jìn)入管狀結(jié)構(gòu)時(shí)，其衰減損耗主要由入射波在兩種介質(zhì)分界面上產(chǎn)生的損耗和電磁波在介質(zhì)內(nèi)傳輸產(chǎn)生的損耗構(gòu)成，其中在介質(zhì)中傳輸產(chǎn)生的損耗占重要部分，因此分析管狀結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)變量對傳輸造成的影響是更為重要的一環(huán)，其中主要包括管狀結(jié)構(gòu)半徑、傳輸距離以及管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)填充介質(zhì)等在內(nèi)的一系列可變因素。

針對實(shí)際工程需要，電磁一般工作在特種鋼制身管內(nèi)，身管半徑在30mm～100mm 及以上不等，長度一般在500mm 以上，通過電磁仿真軟件進(jìn)行建模并提取仿真數(shù)據(jù)作圖，當(dāng)管狀結(jié)構(gòu)半徑為30mm，傳輸距離為500mm 時(shí)，其工作頻率與傳輸衰減關(guān)系圖如圖7所示。

圖7 頻率與衰減損耗值關(guān)系圖

從圖7 可以看出，當(dāng)工作頻率在1GHz～3GHz區(qū)間時(shí)，由于傳輸波長大于3.41a，其損耗值大于-70dB，此時(shí)幾乎處于截止?fàn)顟B(tài)。因此，后續(xù)仿真所選定電磁波的中心頻率為10GHz。在常規(guī)工作環(huán)境中，特種鋼制管狀結(jié)構(gòu)其電導(dǎo)率σ為1.8×106S/m，磁導(dǎo)率μ為4π×107H/mm ，當(dāng)管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)無任何填充介質(zhì)且為空氣時(shí)，其介電常數(shù)ε為8.85×10-12F/m ，管壁表面阻抗Rs為1.702，當(dāng)管狀結(jié)構(gòu)半徑在30mm～80mm 變化時(shí)，傳輸距離為500mm 時(shí)，傳輸損耗隨半徑變化曲線如圖8（a）所示。當(dāng)傳輸距離在500mm～1000mm 變化時(shí)，管狀結(jié)構(gòu)半徑為30mm 時(shí)，傳輸損耗隨距離變化曲線如圖8（b）所示。圖中由圓形點(diǎn)所連成的曲線是由Ansys Electronics Suite 仿真軟件所得數(shù)據(jù)點(diǎn)，由方形點(diǎn)所連成的曲線是把變量值帶入衰減損耗公式后計(jì)算得到，由星形點(diǎn)構(gòu)成的曲線是仿真數(shù)值與理論數(shù)值的差值，反映出理論計(jì)算與仿真之間的差異值。

圖8 空氣介質(zhì)中傳輸損耗關(guān)系圖

圖8（a）中x 軸為管狀結(jié)構(gòu)半徑，y 軸為傳輸損耗值，可以看出當(dāng)管狀結(jié)構(gòu)半徑增大時(shí)，損耗值呈拋物線式減小，造成這種現(xiàn)象的主要原因是因?yàn)殡S著管狀結(jié)構(gòu)半徑的增大，電磁波收到管狀結(jié)構(gòu)壁的影響越來越小。圖8（b）中x 為傳輸距離，y 軸為傳輸損耗值，隨著傳輸距離的逐漸變遠(yuǎn)，傳輸損耗值按照0.1dB/m 直線式增大。因此，當(dāng)環(huán)境變量為固定不變值時(shí)，管狀結(jié)構(gòu)半徑越大，傳輸損耗越小；傳輸距離越遠(yuǎn)，傳輸損耗越大。

從圖8 中可以看到理論計(jì)算與仿真之間有一定的差異值，且差異值為0.02dB 左右，這是因?yàn)樵谶M(jìn)行理論計(jì)算時(shí)沒有考慮到由于多徑效應(yīng)所產(chǎn)生的影響。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，當(dāng)管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)填充介質(zhì)為工程油液時(shí)，其相對介電常數(shù)ε一般在1 到6 之間（本次取2.1），相對磁導(dǎo)率為1，電導(dǎo)率σ一般為1.0×10-4S/m。當(dāng)管徑在30mm 到100mm 變化時(shí)，傳輸距離為500mm 時(shí)，傳輸損耗隨半徑變化曲線如圖9（a）所示。當(dāng)傳輸距離在500mm 到1000mm 變化時(shí)，管狀結(jié)構(gòu)半徑為30mm 時(shí)，傳輸損耗隨距離變化曲線如圖9（b）所示。

圖9 工程油液介質(zhì)中傳輸損耗關(guān)系圖

通過圖9（a）與圖9（b）可以看出，在工程油液介質(zhì)中電磁傳輸損耗規(guī)律與在空氣介質(zhì)中相同，隨著管徑的增大，電磁波在工程油液中傳輸損耗變小，同樣的，隨著傳輸距離的變遠(yuǎn)，電磁波在工程油液中的傳輸損耗值按照0.2dB/m速度變大。

值得注意的是圖9 與圖8 結(jié)果相對比，當(dāng)研究介質(zhì)由空氣轉(zhuǎn)變?yōu)楣こ逃鸵簳r(shí)，理論計(jì)算值與仿真值之間的差異值在0.1dB 左右，而在空氣介質(zhì)中的差異值為0.02dB，分析其原因，除去多徑效應(yīng)這一個(gè)影響因素外，主要可能是由于工程油液中電磁波傳輸狀況更加復(fù)雜，存在一些考慮不周的情況。

通過之前的對比分析，可以基本判定管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)電磁波傳輸理論推導(dǎo)的正確性，接下來將通過仿真數(shù)據(jù)，對比分析當(dāng)管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)填充空氣時(shí)與填充工程油液時(shí)電磁波傳輸損耗的差異，當(dāng)管狀結(jié)構(gòu)半徑在30mm～80mm 變化時(shí)，傳輸距離為500mm 時(shí)，傳輸損耗隨半徑變化曲線如圖10（a）所示。當(dāng)傳輸距離在500mm～1000mm 變化時(shí)，管狀結(jié)構(gòu)半徑為30mm 時(shí)，傳輸損耗隨距離變化曲線如圖10（b）所示。

圖10 空氣與工程油液損耗對比

從圖10 中可以看出，總體上，相比空氣而言，在工程油液中，電磁波衰減值更大。通過圖10（a）可以看出，隨著管徑的變大，兩種介質(zhì)下的傳輸損耗同時(shí)呈拋物線式變??；，同時(shí)兩者的差值趨向于約0.12dB 的穩(wěn)定值，因此，由于填充介質(zhì)改變而產(chǎn)生的損耗差值不受管徑變化的影響，通過圖10（b）可以看出，隨著傳輸距離的變遠(yuǎn)，兩種介質(zhì)下的損耗同時(shí)變大，但是兩者的差值從0.12dB 開始逐漸變大，說明在工程油液中，電磁衰減幅度更大，衰減更快，因此，當(dāng)傳輸距離改變時(shí)，兩種填充介質(zhì)所造成的影響不同，電磁波受工程油液的影響更大。

5 結(jié)語

本文首先對管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)的電磁環(huán)境、傳輸模式進(jìn)行了理論分析，并總結(jié)出了針對管狀結(jié)構(gòu)環(huán)境下計(jì)算電磁波傳輸損耗值的理論公式，并通過使用Ansys Electronics Suite仿真軟件對其進(jìn)行建模并仿真。重點(diǎn)分析了傳輸損耗值與管狀結(jié)構(gòu)半徑、傳輸距離以及不同傳輸介質(zhì)的關(guān)系，通過對比分析，驗(yàn)證了理論的正確性。研究結(jié)論表明：隨著管狀結(jié)構(gòu)半徑的變大，衰減損耗值在逐漸減??；隨著傳輸距離的變遠(yuǎn)，衰減損耗值在逐漸增大；且對比空氣衰減值，電磁波在工程油液中衰減值更大，管狀結(jié)構(gòu)半徑變化對損耗差值幾乎無影響，傳輸距離對損耗差值影響較大。本文研究方法及結(jié)論對使用雷達(dá)進(jìn)行管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)信息探測和設(shè)計(jì)管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)特制雷達(dá)天線系統(tǒng)具有理論指導(dǎo)意義。