一種改進(jìn)非奇異終端的滑?？刂撇呗?

劉陵順 孫美美 李永恒

（1.海軍航空大學(xué)航空基礎(chǔ)學(xué)院 煙臺 264001）（2.92781部隊(duì) 三亞 572029）

1 引言

滑模變結(jié)構(gòu)控制器對系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化和外部擾動不敏感，具有較好的動態(tài)性能和極強(qiáng)的魯棒性［1～5］。對于滑模變結(jié)構(gòu)控制算法來說，選擇合適的滑模面是設(shè)計(jì)控制器至關(guān)重要的一步［6～7］。合適的滑模面能夠改善系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)和穩(wěn)態(tài)精度。線性滑模面是滑模控制系統(tǒng)最早出現(xiàn)的，也是應(yīng)用最廣的。但線性滑模面存在一大缺陷，系統(tǒng)狀態(tài)從到達(dá)滑模面至運(yùn)行到平衡點(diǎn)的過程是以指數(shù)形式收斂的，系統(tǒng)狀態(tài)只能無限趨近于平衡點(diǎn)，無法真正到達(dá)平衡點(diǎn)。文獻(xiàn)［8］以PMSM 電機(jī)轉(zhuǎn)速為狀態(tài)變量，設(shè)計(jì)了一種積分滑模控制器，采用飽和函數(shù)替代符號函數(shù)，進(jìn)一步降低系統(tǒng)抖振。同時(shí)，利用積分滑模面設(shè)計(jì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器，消除負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化對電機(jī)轉(zhuǎn)速的影響。但是負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器設(shè)計(jì)的前提在于，假定負(fù)載轉(zhuǎn)矩求導(dǎo)為零。而實(shí)際電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)逆變器開關(guān)頻率較高，采樣周期非常小，單位時(shí)間內(nèi)負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化量不為零。文獻(xiàn)［9］設(shè)計(jì)一種分?jǐn)?shù)階滑模面，用于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)之間的同步，并給出誤差方程的穩(wěn)定性判據(jù)。通過分?jǐn)?shù)階Chen 系統(tǒng)與新混沌系統(tǒng)之間數(shù)值仿真，證明所設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階控制器的有效性。

相比線性滑模控制方法，終端滑?？刂品椒軌虮ＷC系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間到達(dá)滑模面，繼而在有限時(shí)間收斂到平衡點(diǎn)，適用于非線性滑模系統(tǒng)。文獻(xiàn)［10］針對終端滑?？刂葡到y(tǒng)控制量無限大問題，提出一種非奇異終端滑模面。該滑模面與終端滑模面結(jié)構(gòu)差異不大，能夠解決終端滑模面的奇異性問題。但當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面，遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，收斂速度小于相同參數(shù)的線性滑模面。針對這一不足，文獻(xiàn)［11］提出一種非奇異快速終端滑模面。相比非奇異終端滑模面，擁有較快的收斂速度。文獻(xiàn)［12］結(jié)合非奇異快速終端滑模面的優(yōu)點(diǎn)，提出一種混合非奇異終端滑模面?；旌戏瞧娈惤K端滑模面可根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)大小，選擇不同滑模面參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，控制器在保持收斂速度的同時(shí)，降低了系統(tǒng)抖振。

2 問題提出

考慮二階非線性單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)如下所示：

對于式（1）所示的二階SISO 系統(tǒng)，滑?？刂扑惴ㄒ话氵x用傳統(tǒng)線性滑模面：

式中，e1=x1-xd為跟蹤誤差，xd為控制目標(biāo)，e2=，參數(shù)c＞0。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡到達(dá)滑模面，此時(shí)

從上式可知，系統(tǒng)狀態(tài)從到達(dá)滑模面至運(yùn)行到平衡點(diǎn)的過程是以指數(shù)形式收斂的，這意味著系統(tǒng)狀態(tài)只能無限趨近于平衡點(diǎn)，無法真正到達(dá)平衡點(diǎn)。

終端滑?？刂扑惴軌虮ＷC系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間到達(dá)滑模面，繼而在有限時(shí)間收斂到平衡點(diǎn)，但終端滑?？刂拼嬖谄娈愋詥栴}。為克服終端滑模奇異性問題，F(xiàn)eng Y 等［3］提出一種非奇異終端滑模控制算法（NTSM）。其滑模面s，控制作用u 數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，參數(shù)β、η＞0 ，p、q為奇數(shù)且滿足1 ＜q＜p＜2q。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡到達(dá)滑模面，此時(shí)

從上式可知，指數(shù)項(xiàng)q/p＜1，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面，距離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，收斂速度小于相同參數(shù)的線性滑模面。

為克服以上缺點(diǎn)，Yang L 等［4］提出一種非奇異快速終端滑?？刂品椒ǎ∟FTSM）。其滑模面s，控制作用u數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，g、h、p、q為正奇數(shù)且滿足g/h＞p/q，參數(shù)α＞0。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面，距離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，e1的高次項(xiàng)起主要作用，此時(shí)

收斂速度大于NTSM。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面，距離平衡點(diǎn)較近時(shí)，忽略e1的高次項(xiàng)，此時(shí)收斂速度近似于NTSM。

雖然NFTSM 克服了NTSM 系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，收斂速度不足的缺點(diǎn)，但NFTSM 缺點(diǎn)明顯。對式（7）求導(dǎo)，并將式（1）、（8）代入，求得趨近速度為

根據(jù)上式，在參數(shù)相同情況下，NFTSM 從初始狀態(tài)到達(dá)滑模面的趨近速度與NTSM 趨近速度相同。由于滑模面s 存在e1的高次項(xiàng)，NFTSM 初始狀態(tài)s（0）大于NTSM初始狀態(tài)，導(dǎo)致NFTSM到達(dá)滑模面時(shí)間大于NTSM。尤其對于跟蹤誤差較大的系統(tǒng)，e1的高次項(xiàng)會極大地增加初始狀態(tài)s（0）與滑模面之間的距離。

3 改進(jìn)非奇異終端滑模面

對于NTSM 來說，選擇較大的非線性增益η，可以加快趨近速度，但會影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)收斂精度，造成較大抖振，甚至激發(fā)系統(tǒng)未建模部分，引發(fā)高頻振蕩。同樣，選擇較小的滑模面參數(shù)β可以加快趨近速度，但有兩個(gè)缺點(diǎn)：一是會影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度，二是系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面，距離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，收斂速度較為緩慢。

為提高滑?？刂葡到y(tǒng)的收斂速度，本節(jié)提出一種改進(jìn)NTSM，其滑模面定義為

式中，e1=x1-xd為跟蹤誤差，xd為控制目標(biāo)，e2=，參數(shù)β、r＞0 且0 ＜α＜1，p、q為奇數(shù)且滿足1 ＜q＜p＜2q，x1(0)為系統(tǒng)初始狀態(tài)。

定理1對于系統(tǒng)（1），選擇如式（11）所示的改進(jìn)NTSM，選擇控制律

則系統(tǒng)可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。

證明 選擇Lyapunov函數(shù)

對上式求導(dǎo)，可得

將式（12）代入，得

因?yàn)閨g(x) |＜lg，推導(dǎo)出≤0，系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件，可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。

通過與NTSM 比較，本節(jié)設(shè)計(jì)的改進(jìn)NTSM 相當(dāng)于根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)x1自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)β。根據(jù)式（16），隨著狀態(tài)x1向平衡點(diǎn)靠近，通過調(diào)節(jié)參數(shù)α，使系統(tǒng)維持較快的趨近速度，減小到達(dá)時(shí)間。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)，收斂到平衡點(diǎn)的速度近似于NTSM，且收斂到平衡點(diǎn)的曲線更為光滑。此外，改進(jìn)NTSM 參數(shù)α有兩個(gè)作用：一是防止終端滑模控制出現(xiàn)奇異性問題；二是α的大小決定系統(tǒng)初始狀態(tài)的收斂速度。參數(shù)r有一個(gè)作用：r的大小決定系統(tǒng)具有較快趨近速度的滑模面范圍。

定理2對于系統(tǒng)（1），選擇如式（11）所示的改進(jìn)NTSM，則系統(tǒng)從到達(dá)滑模面的狀態(tài)x1（tr）至收斂到平衡點(diǎn)xd=0的時(shí)間是有限的。

證明當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)，此時(shí)

整理，可得

對兩端求積分，得

因?yàn)橄到y(tǒng)狀態(tài)平衡點(diǎn)xd=0，可得

由此定理得證。

根據(jù)系統(tǒng)（1），系統(tǒng)不確定量及外部擾動g（x）是有界的，即但在實(shí)際生產(chǎn)生活中，g（x）是不斷變化的，很難測量上確界lg，且上確界lg測量的不精準(zhǔn)，會影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)收斂精度，造成較大抖振，甚至激發(fā)系統(tǒng)未建模部分，引發(fā)高頻振蕩。

為了克服不確定量及外部擾動g（x）對控制系統(tǒng)的影響，本節(jié)以系統(tǒng)狀態(tài)和外部擾動g（x）為對象，設(shè)計(jì)一種帶有擾動的滑模觀測器。

定理3對于系統(tǒng)（1），選擇如式（11）所示的改進(jìn)NTSM，設(shè)計(jì)擾動觀測器

式中，l1、l2＞0，為系統(tǒng)狀態(tài)x2、外部擾動g（x）的估計(jì)值，為系統(tǒng)狀態(tài)觀測誤差。選擇控制律

證明定義Lyapunov函數(shù)為

假設(shè)g（x）為慢時(shí)變信號，化簡式（24），并將式（1）、式（21）代入，可得

將式（22）代入，得

定義δ(t)=＞0，則

定理得證。

采用帶有外部擾動的滑模觀測器，克服了外部擾動g（x）難以測量的缺點(diǎn)，增強(qiáng)系統(tǒng)抗干擾能力，減小了抖振。

4 控制性能分析

以二階系統(tǒng)為例，用以說明改進(jìn)NTSM 相比于NTSM的優(yōu)點(diǎn)。二階系統(tǒng)狀態(tài)方程為

參數(shù)p=5，q=3，α=0.1，r=0.05，β=10，η=20，初始狀態(tài)x1（0）=500。滑模面s和系統(tǒng)狀態(tài)x1如圖1、2所示。

圖1 滑模面s

從圖1、圖2 可以看出，改進(jìn)NTSM 擁有更快的趨近速度，到達(dá)滑模面時(shí)的抖振近似于NTSM。改進(jìn)NTSM 從到達(dá)滑模面至平衡點(diǎn)時(shí)間為3.54s，NTSM 為2.75s，前者收斂到平衡點(diǎn)的曲線更為光滑，符合前文理論推導(dǎo)。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)x1

5 結(jié)語

本文針對傳統(tǒng)非奇異終端滑?？刂品椒ㄊ諗克俣嚷热秉c(diǎn)，提出一種基于改進(jìn)非奇異終端滑模的無位置傳感器控制方法。首先闡述了非奇異快速終端滑模面的缺點(diǎn)，分析了改進(jìn)非奇異終端滑模面參數(shù)的意義，理論證明系統(tǒng)狀態(tài)從到達(dá)滑模面至收斂到平衡點(diǎn)的作用時(shí)間是有限的。最后通過仿真驗(yàn)證，對比了非奇異終端滑?？刂品椒ê透倪M(jìn)非奇異終端滑模控制方法，針對同一系統(tǒng)，后者能夠有效提高觀測系統(tǒng)收斂速度，減小抖振。