從點陣看算式

賈陸宇 郜舒竹

【摘 要】點陣是人們理解“數(shù)與運算”的重要工具。作為一種直觀模型，點陣能夠?qū)⒊橄笏闶叫蜗蠡?，其動態(tài)變換可以呈現(xiàn)不同算式間的等價關(guān)系。從點陣視角看算式，能夠幫助學(xué)生建立算理與算法間的聯(lián)系，提升對算式間關(guān)系的感悟，更好地把握數(shù)學(xué)運算的整體性與一致性。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重視點陣的應(yīng)用，充分發(fā)揮其課程價值。

【關(guān)鍵詞】點陣；算式；運算；運算感

點陣是表征數(shù)字符號的直觀模型，常作為數(shù)形結(jié)合的載體，出現(xiàn)于教科書中數(shù)的認識、表內(nèi)乘法、倍數(shù)與因數(shù)等內(nèi)容中，用以幫助學(xué)生建立具體與抽象間的聯(lián)系。長期以來，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)于“數(shù)與運算”主題的課程設(shè)計與課堂教學(xué)，更重視計算的速度與準確性，相對忽視運用數(shù)形結(jié)合的方式“發(fā)現(xiàn)”算式間關(guān)系的過程。

學(xué)生對點陣的觀察及其動態(tài)變換的操作，能夠幫助他們進一步理解算理、明晰算法，提升對算式間等價關(guān)系的認知。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)重視對此類直觀模型的運用，通過呈現(xiàn)直觀圖式輔助教學(xué)，將抽象的“關(guān)系”形象化。

一、歷史溯源

點陣是人們認識并理解“數(shù)與運算”的重要工具。它的歷史源遠流長，可追溯至古希臘時期。當(dāng)時，畢達哥拉斯（Pythagoras）將對世界的科學(xué)觀察與數(shù)聯(lián)系起來，發(fā)現(xiàn)數(shù)與已經(jīng)存在或即將形成的事物間存在“結(jié)構(gòu)上的相似性”。按照畢達哥拉斯、亞里士多德（畢達哥拉斯學(xué)派的追隨者）的觀點，結(jié)構(gòu)上的相似性體現(xiàn)為“數(shù)”幾乎是所有事物的組成元素，世間萬物都可以用“數(shù)”來表達，如固定的琴弦長度比能產(chǎn)生和諧的音調(diào)、天體與地球的距離適宜使得宇宙間球體轉(zhuǎn)動的聲音變得和諧等。［1］

基于數(shù)與世間萬物在結(jié)構(gòu)上的相似性，畢達哥拉斯相信紛繁雜亂的世界蘊含著亙古不變的“數(shù)學(xué)規(guī)律”，即“數(shù)（Number）”，并認為數(shù)是永恒的，獨立于感性世界而存在，人們理解世間萬物的關(guān)鍵在于數(shù)，即萬物皆數(shù)［2］；相信一切形體均由數(shù)衍生而來，因而常常通過擺放沙灘上的卵石來表示數(shù)［3］，適當(dāng)擺放一定數(shù)量的卵石能夠形成規(guī)則幾何圖形。由此，畢達哥拉斯學(xué)派按照幾何圖形的形狀對“數(shù)”進行了分類，衍生出“形數(shù)（Figurate Numbers）”的概念，如三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)等。［4］比如從視覺上來看，因為3塊卵石能夠以正三角形的形式進行排列，所以“3”就被認為是一個三角形數(shù)（如圖1）。

“形數(shù)”的出現(xiàn)使得形與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系得以凸顯。通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，抽象的事物能夠直觀化，復(fù)雜的事物能夠簡單化。因此，后人繼承并發(fā)揚了畢氏學(xué)派“以形表數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形結(jié)合”的思想，用具有均勻間隔的“點（Dots）”代替卵石，通過構(gòu)造點的規(guī)則幾何排列來表示數(shù)，進而形成“點陣（Arrays）”的概念。

從“形數(shù)”到“點陣”的演進過程，充分體現(xiàn)出直觀圖式對理解抽象概念的重要性，也揭示了同一集合對象間或不同集合對象間的關(guān)聯(lián)性。［5］同一集合內(nèi)，對象間“存在聯(lián)系”是因為它們具有“相似之處”。比如，若將“形數(shù)”視為集合，三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)等對象均因“能夠形成規(guī)則幾何圖形”而具有了共性。正是這樣的共性為抽象算式之間的聯(lián)系的形象化提供了可能。

二、算式的形象化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》中指出，學(xué)生要在具體情境中了解四則運算的意義，感悟運算之間的關(guān)系。［6］若想感悟運算間的關(guān)系，就要找到算式與算式間的異同，其中最直觀的方式就是“看到”變與不變，為此就需要“以形表數(shù)”，將算式中蘊含的思維過程可視化［7］。

點陣可以提供有關(guān)加減法、乘除法等運算的具體模型，具有將抽象算式、算法可視化的功能。［8］在點陣中，當(dāng)一組對象可以按照某種標準模式排列而沒有剩余對象時，便能夠?qū)⒛硞€數(shù)字或運算與一組對象關(guān)聯(lián)起來。［9］比如，當(dāng)以“點”為單位時，圖2所示的點陣便與數(shù)“4”存在關(guān)系。

在此基礎(chǔ)上，同一個點陣通過不同的劃分方式，還能夠與算式相聯(lián)系，并使得算式間的等價關(guān)系可視化。如圖3所示，對于同一點陣，兩種不同的劃分方式從左到右分別聯(lián)系著算式“1+3=4”與“1+2+1=4”。

在點陣中，除了以點為單位，還能以點集為單位，將點陣與乘除法相聯(lián)系。從以點為單位發(fā)展到排列和構(gòu)造相等的數(shù)組，并以此作為集合計數(shù)的順序，也更符合學(xué)生先學(xué)習(xí)加減法、后接觸乘除法的思維過渡順序。［10］

綜上所述，點陣與運算緊密關(guān)聯(lián)，運算賦予點陣以“數(shù)”的意義，點陣又將運算以“形”的形式進行展現(xiàn)。同時，點陣在直觀與抽象之間搭建起一座橋梁，將數(shù)與算式變?yōu)椤熬唧w”的事物，使抽象的數(shù)學(xué)對象變得可視化，因“形”的關(guān)系變得直觀。

三、算式間的關(guān)系

美國華盛頓州立大學(xué)的David Slavit認為，“運算”在數(shù)學(xué)課程體系中具有十分重要的意義，運算與運算間的關(guān)系應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容，并據(jù)此提出“運算感（Operation Sense）”這一概念，用于描述學(xué)生在學(xué)習(xí)運算時能夠獲得的一些能力。同時，不同類別的兩個運算間還可以用其他方式進行聯(lián)系，如乘法為重復(fù)的加法，除法為重復(fù)的減法。［11］上述認知便屬于“運算感”中“算式與其他算式之間關(guān)系的認識”這一能力層級。這里的“關(guān)系”實質(zhì)是指算式間的等價關(guān)系，體現(xiàn)為不同的算式可以得到相同的結(jié)果、不同的算式可用于描述同樣的數(shù)量關(guān)系兩個方面。［12］

運算關(guān)系的感悟，需要通過探尋運算間的“共性”來實現(xiàn)。而“運算”較為抽象，不易發(fā)現(xiàn)共同之處，所以需要先對同種運算中算式間的關(guān)系進行歸納總結(jié)，再由運算內(nèi)部關(guān)系推及運算間的共性。

（一） 同種運算間的算式關(guān)系

在加（減）法運算中，存在諸多“和”（“被減數(shù)”）相同的算式。從圖3可知，和相同的算式可以用相同點數(shù)的點陣來表示，算式間存在著“關(guān)系”。但這樣的結(jié)論并未觸及問題的本質(zhì)，為此需進一步思考：對于同種運算中具有相同結(jié)果的不同算式，是什么將“它們”關(guān)聯(lián)起來的？

這里基于點陣的視角，通過“1+2+3=6”和“3+3=6”兩個加法算式進行探究。若將點陣中每一行所代表的數(shù)看作加法算式中的一個“加數(shù)”，這兩個算式就可以分別用圖4、圖5所示的點陣來表示。

圖4與圖5所示點陣中均包含“6”個點，這便是“共性”。此時，若按照圖6所示變換方法對圖4中的點陣進行動態(tài)變換，便可以得到一個每行均由三個點排列而成的點陣（如圖5）。

可見，在加法算式中，“和”為同一個數(shù)的算式均可以用總點數(shù)相同的點陣來表示，而加數(shù)的個數(shù)及每個加數(shù)的大小取決于點的排列方式。此外，從點陣的“表象”來看，進行位置變換的點始終是“一個一個”進行運動的。

同理，減法算式與減法算式之間的關(guān)系也可以用點陣的動態(tài)變換來說明。為避免歧義，將點陣中最下面一行所具有的點數(shù)視為“差”，而其余一行或多行中，每行所具有的點數(shù)均視為“減數(shù)”，點陣總點數(shù)則視為“被減數(shù)”。

因此在減法運算中，“被減數(shù)”為同一個數(shù)的減法算式，可以通過對點陣的點“一個一個”地進行位置變換，改變算式中“差”的大小，或?qū)p數(shù)的大小及個數(shù)進行調(diào)整，使得它們變?yōu)橥环N形式。

觀察點陣中的加法運算與減法運算可知，點“一個一個”地進行位置變換，既是加法運算中所有算式的共性，也是減法運算中所有算式的共性。位置變換方式（“一個”）則是運算算法中“單位”的幾何體現(xiàn)。因此可以說，在加法運算與減法運算中，是“相同的單位”將算式與算式聯(lián)系起來的。

在整數(shù)乘法運算（因數(shù)×因數(shù)=積）中，因數(shù)常表達著不同的內(nèi)涵：第一個因數(shù)表達的是具體“對象（Object）”的屬性，也就是多少個“1”；第二個因數(shù)則不同，表達的是包含這種具體對象的“集合（Set）”。如乘法算式“4×5=20”，它的第一個因數(shù)“4”表示4個1；第二個因數(shù)將“4個1”視為單位“1”，表示包含5個單位“1”的集合。［13］

基于上述認知，這里將點陣中一行所具有的點數(shù)視為“具體對象”，點陣的總行數(shù)視為“集合中包含具體對象的個數(shù)”，點陣所具有的總點數(shù)視為“積”。那么，乘法算式“4×5=20”就可以用圖7所示點陣來表示。

若以“具體對象”為單位對點陣進行劃分，可以得到多種拆分方式。圖8可理解為“4×2”和“4×3”這兩個小部分構(gòu)成了“4×5”這一整體，即“4×5=4×2+4×3”。

以同樣方式進行思考，圖9可理解為“4×1”和“4×4”這兩個小部分構(gòu)成了“4×5”這一整體，即“4×5=4×1+4×4”。

從上述兩種劃分方式可以看出，算式與算式之間具有“關(guān)系”（4×1、4×2、4×3、4×4與4×5可以共存于一個算式之中）的原因是存在共性，即它們的具體對象均為4個1，且均將“4個1”視為新的單位。

在乘法運算中，一般是通過“具體對象×集合中具體對象的個數(shù)”得到“積”。作為乘法的逆運算，除法則是計算“積”（除法運算中的被除數(shù)）中包含了多少個具體對象（除法運算中的除數(shù)），即“集合中具體對象的個數(shù)”（除法運算中的商）是多少。若從點陣視角進行解讀，點陣中每一行具有的點數(shù)應(yīng)視為“除數(shù)”，點陣所具有的總行數(shù)為“商”，點陣所具有的總點數(shù)為“被除數(shù)”。由此可知，除法運算是基于單位對總點數(shù)相同的點陣進行分解的過程，除法算式間也因有相同的“單位”而存在“關(guān)系”。

要注意的是，在除法運算中，不能通過改變單位的大小來牽強地認定兩個算式是相同的。舉個例子，雖然算式“6÷3=2”和“12÷6=2”的計算結(jié)果相同，但兩者并不能視為同一算式的不同形式。究其原因，“6÷3=2”中的單位為“3”（如圖10），而“12÷6=2”中的單位為“6”（如圖11）。

所謂計算結(jié)果“2”相同，實際上指的是“集合中包含具體對象的個數(shù)”相同，因此兩個算式間的聯(lián)系也只能定義為商相同的兩個除法算式。

從點陣中可以看到，在乘法運算與除法運算中，算式間的聯(lián)系在于它們均是基于“單位”所進行的組合與分解。

（二） 運算間的關(guān)系

通過對“不同的算式可以得到相同的結(jié)果”原因的分析，以及對算式間關(guān)系的探索，可知加減乘除四種運算都是基于“單位”展開的，這便是四種運算之間的共性。［14］提煉出運算間的“共性”后，便可以開始在點陣的直觀圖中探尋運算間的關(guān)系。

對于一個包含16個點的點陣，可以通過動態(tài)變換排列為多種形式，如圖12、圖13、圖14。圖12的點陣可以用來表示4+4+4+4=16、16-4-4-4=4、4×4=16、16÷4=4四個算式。

若將點陣動態(tài)變換為圖13的排列方式，則可以表示8+8=16、16-8=8、8×2=16、16÷8=2四個算式。

再看圖14，該點陣可以表示2+3+4+7=16、16-2-3-4=7這兩個算式。如果將點陣再次進行動態(tài)變換，這個包含“16”個點的點陣還能用來表示更多的算式。

在上述三種排列方式中，通過對點陣進行不同解讀，可以表達出十個不同的算式，涵蓋加、減、乘、除四種運算。雖然運算方法不同，但它們都是基于“單位”進行的運算，也正由于這一共性的存在，才建立起了以單位為統(tǒng)領(lǐng)的四則運算的整體結(jié)構(gòu)。［15］用點陣直觀感知算式間的關(guān)系，看似孤立的四種運算在點陣的動態(tài)變換下，從表象中剝離出了其所具有的共同內(nèi)在本質(zhì)，并融合成了一個密不可分的整體。

綜上所述，點陣是實現(xiàn)數(shù)形互化的有力工具，蘊含著豐富的課程價值：首先，點陣為抽象知識提供視覺圖形，幫助學(xué)生在頭腦中形成實體表象，實現(xiàn)由具體到抽象的思維過渡；第二，點陣提供可操作的活動空間，使得學(xué)生伴隨多樣的動態(tài)變換、圈畫等具身活動，實現(xiàn)思維與操作的相互作用、協(xié)調(diào)，逐步內(nèi)化并建構(gòu)整體性認知結(jié)構(gòu)；第三，點陣具有美育價值，充分展現(xiàn)出數(shù)與形的和諧美及不同知識間的統(tǒng)一美，進一步激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的探索欲望。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)對點陣的課程價值予以高度重視，使其成為學(xué)習(xí)活動設(shè)計的課程資源，充分發(fā)揮其課程價值。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）