不等式的非負(fù)分拆新探

劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000）

1 引 言

在不等式的證明中，配平方證明是一個(gè)傳統(tǒng)而自然的選擇.當(dāng)配方不容易達(dá)成時(shí)，人們將目光轉(zhuǎn)向了非負(fù)分拆，即當(dāng)把一個(gè)式子分拆成若干非負(fù)項(xiàng)之和后，不等式自然就被證明了.在三角形中，周長(zhǎng)s、外接圓半徑R 和內(nèi)切圓半徑r 是三個(gè)基本量，因而關(guān)于s，R，r 的不等式就是最基本的對(duì)稱(chēng)不等式類(lèi)型.1998 年，褚小光通過(guò)把三角形中s，R，r 的不等式拆成若干非負(fù)項(xiàng)之和的形式證明了一類(lèi)不等式，例如文獻(xiàn)[1-2]中的Shc29，Shc31，Shc46（d）等不等式難題，就是通過(guò)這種方法證明的.文獻(xiàn)[3]陳勝利等利用schur分拆證明了一類(lèi)多項(xiàng)式不等式.文獻(xiàn)[4]對(duì)一類(lèi)四元五次對(duì)稱(chēng)不等式分拆進(jìn)行了探討.文獻(xiàn)[5]借助于隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序?qū)崿F(xiàn)了一類(lèi)不等式的非負(fù)分拆證明.文獻(xiàn)[6]進(jìn)一步研究了三角形幾何不等式的s，R，r 非負(fù)分拆.文獻(xiàn)[7]何燈研究了一類(lèi)三元對(duì)稱(chēng)分式的平方型分拆.本文擬對(duì)不等式的非負(fù)分拆作進(jìn)一步探討.

2 算法

2.1 非負(fù)分拆單元

要把一個(gè)不等式分拆成若干非負(fù)項(xiàng)之和的形式，就需要構(gòu)造一些基本的非負(fù)分拆單元.所謂非負(fù)分拆單元是指由一些著名不等式或已有結(jié)果得到的非負(fù)表達(dá)式.文獻(xiàn)[6]中列出了三角形中一些非負(fù)分拆單元.事實(shí)上，按照不等式證明的多樣性要求，非負(fù)分拆單元是開(kāi)放的，原則上一切證明了的不等式都可作為非負(fù)分拆單元列入.

下面列出三角形中一些基本常用且被人們所熟知的非負(fù)分拆單元：

另外還有非負(fù)分拆單元

v1＝s4－2rs3－2r（8R－r）s2＋6r2（4R＋r）s＋r2（4R＋r）2.

v2＝s4＋（－8R2－4Rr－10r2）s2＋16R4＋16R3r＋44R2r2＋28Rr3＋5r4.

v3＝9s6－r（－r＋180R）s4＋r2（584R2＋55r2＋384Rr）s2－r3（4R＋r）3.

其中v1≥0 可以通過(guò)展開(kāi)

獲得證明.v3≥0 可通過(guò)展開(kāi)

（3a2－（b＋c－a）2）2（b－c）2＋（3b2－（a＋c－b）2）2（c－a）2＋（3c2－（a＋b－c）2）2（a－b）2

得到證明.這三個(gè)非負(fù)分拆單元均有特殊的零點(diǎn).注意在本文后面的例題中要多次用到上述非負(fù)分拆單元.

對(duì)于多項(xiàng)式不等式，schur 型不等式可以作為非負(fù)分拆單元使用.本文所述的算法中多采用的是一些平方和類(lèi)分拆單元，例如對(duì)于3 元對(duì)稱(chēng)式，分拆單元通式一個(gè)可能的形式為

（1）式中sym 表示完全對(duì)稱(chēng)求和.如果欲分拆的不等式是關(guān)于部分變?cè)植繉?duì)稱(chēng)的，則可將（1）式中的求和號(hào)取掉得到局部對(duì)稱(chēng)不等式的非負(fù)分拆單元.對(duì)于4 元，有兩種通式，分別是

對(duì)于（2）式，由于基本對(duì)稱(chēng)項(xiàng)關(guān)于變?cè)獂2，x3，x4對(duì)稱(chēng)，故求和后共有4 項(xiàng)，求和通式是

對(duì)于（3）式，由于基本對(duì)稱(chēng)項(xiàng)關(guān)于變?cè)獂1，x2對(duì)稱(chēng)（或者關(guān)于x3，x4對(duì)稱(chēng)），故求和后共有6 項(xiàng)，由文獻(xiàn)[9]知求和通式是

對(duì)5 元，當(dāng)基本對(duì)稱(chēng)項(xiàng)關(guān)于xi，xj對(duì)稱(chēng)時(shí)，完全對(duì)稱(chēng)求和公式是

由這些求和公式可方便地寫(xiě)出多元時(shí)具體的非負(fù)分拆單元.

2.2 quo-rem 非負(fù)分拆方法

quo 是Maple 語(yǔ)言多項(xiàng)式相除命令，返回值是兩個(gè)多項(xiàng)式相除的商式；而rem 是Maple 語(yǔ)言的另一個(gè)多項(xiàng)式相除命令，返回值是兩個(gè)多項(xiàng)式相除的余式.利用quo 和rem命令，結(jié)合文獻(xiàn)[10]中的隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序就可以得到一個(gè)非負(fù)分拆方法.由于這個(gè)方法和這兩個(gè)Maple 命令有關(guān)，故稱(chēng)這個(gè)方法為quo-rem 非負(fù)分拆方法.下面以三角形中的s，R，r 不等式為例來(lái)說(shuō)明分拆算法.

設(shè)有ΔABC 中的齊次不等式f≡f（s，R，r）≥0，其中s 是ΔABC 的半周，R 是外接圓半徑，r 是內(nèi)切圓半徑.有如下分拆算法QUOREM：

1.將f 按s 的降冪整理（按R 或r 的降冪整理也可）

2.構(gòu)造非負(fù)分拆單元集S.

3.在S 中取一個(gè)非負(fù)分拆單元p1去除f，得商式f1，余式g1，從而得分拆式f＝p1f1＋g1.

4.用隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序檢測(cè)f1和g1是否非負(fù)，如果是則輸出非負(fù)分拆式f＝p1f1＋g1.同時(shí)檢測(cè)S 中的非負(fù)分拆單元是否已經(jīng)取完？如果取完則停機(jī).如果還沒(méi)有取完，則轉(zhuǎn)向3.繼續(xù)分拆.

QUOREM 分拆算法得到的分拆結(jié)果可能不止一個(gè)，也可能一個(gè)也得不到，這主要取決于分拆單元集S 的取法以及不等式f≥0 的強(qiáng)弱，因而QUOREM 分拆算法是試探性的.用QUOREM 分拆算法可以編寫(xiě)分拆程序qure，這個(gè)程序作為不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012 的一個(gè)模塊運(yùn)行.

評(píng)注1 在應(yīng)用qure 分拆程序時(shí)，實(shí)際上是逐次進(jìn)行的，即先求出分拆式中的f1和g1，觀(guān)察非負(fù)特征是否明顯，如果次數(shù)高或非負(fù)性不明顯，則繼續(xù)用qure 命令對(duì)其進(jìn)行分拆，即程序運(yùn)行的方式是人機(jī)互動(dòng)的半自動(dòng)方式進(jìn)行的.

評(píng)注2 在輸出的結(jié)果中，如果g1的形式是若干因式的乘積，這種分拆結(jié)果最為理想，因?yàn)檫@意味著已經(jīng)對(duì)f 降次了.

3 分拆實(shí)例

例1 ΔABC 中，wa，wb，wc是角平分線(xiàn)，證明不等式

其中∑表示循環(huán)和（下同）

證明 在不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012 環(huán)境下，鍵入命令：

＞zzprg（wa/（3*r），tan（（1/2）*A）^2，1）；

則輸出放縮式

不等式（8）容易證明.由（8）式知，要證不等式（7），只需證更強(qiáng)式

下面用qure 命令分拆f.連續(xù)使用qure 命令可得如下非負(fù)分拆式

其中

由于f3＞0 顯然成立，又用Euler 不等式R≥2r 易證gi≥0（i＝1，2，3）成立，因此由（9）式知f≥0 成立，從而不等式（7）獲證.

類(lèi)似可證ΔABC 中的不等式

對(duì)于銳角三角形，分拆命令是qurer j，程序完全一致，只是加入了銳角三角形非負(fù)分拆單元數(shù)據(jù)而已.

例2 在銳角ΔABC 中，證明不等式

證明 由柯西不等式，要證（11）式，只需證更強(qiáng)式

不等式（12）化成用s，R，r 表示的形式為（注意下面的f 表達(dá)式有省略）

f＝r2s8－（16R4＋16Rr3＋16R2r2－4r4）s6…≥0.

鍵入命令：

＞qurerj（f）；

輸出分拆式

3（R－r）4f＝3f1u10＋3r5u1g1.

其中

g1＝－8r8－20Rr7－6R2r6＋73R3r5＋80R4r4－56r3R5－160r2R6＋32rR7＋64R8.

f1＝－r2（R－r）3s6＋（16R5－18r4R＋12R3r2＋5r5－16R4r）（R－r）2s4…

（注意f1表達(dá)式有省略）由于g1有非負(fù)分拆式

g1＝64u18＋1 056ru17＋7 456r2u16＋29 384r3u15＋70 560r4u14＋

105 481r5u13＋95 664r6u12＋48 064r7u1＋10 240r8＞0.

故要證f≥0，只需證f1≥0 即可.為此，鍵入命令：

＞qurer j（f1）；

輸出分拆式

3f1＝3（R－r）（2R＋r＋s）u4f2＋3r2g2.

其中

f2＝－r2（R－r）2s4＋（R－r）（6r5－15r4R＋8R3r2－16R4r＋16R5）s2＋

r（64R7－112R6r＋8r4R3－17r7＋68R4r3－45r5R2＋33r6R）.

g2＝－73R3r6＋192R4r5＋32r9－32r3R6＋8Rr8＋64R9－

104R2r7＋56R5r4－144r2R7.

由于g2有非負(fù)分拆式

g2＝16 200r9＋116 600r4u15＋40 960r3u16＋9 072r2u17＋1 152ru18＋

64u19＋86 140r8u1＋199 010r7u12＋262 007r6u13＋216 560r5u14＞0.

故要證f1≥0，只需證f2≥0 即可.但f2≥0 易證，從而不等式（11）獲證.

對(duì)于代數(shù)不等式，quo-rem 非負(fù)分拆方法仍是適用的.由對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式基本定理知，一個(gè)對(duì)稱(chēng)型總可以用初等對(duì)稱(chēng)式表示出來(lái)，這樣不論是欲證的不等式，還是非負(fù)分拆單元均可用初等對(duì)稱(chēng)式表示，從而形成使用Maple 命令quo 和rem 的條件，用類(lèi)似于s，R，r不等式的方法實(shí)現(xiàn)非負(fù)分拆.

例3 設(shè)x，y，z∈R＋，證明不等式

證明 易證，不等式（13）等價(jià)于如下對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式不等式

f＝125σ2σ14－989σ3σ13－432σ2σ3σ1＋216σ32≥0.

其中σ1＝x＋y＋z，σ2＝xy＋yz＋zx，σ3＝xyz.為證明不等式f≥0，鍵入命令：

＞qureds（f）；

則輸出分拆式：

f＝（125σ2σ1－989σ3）（σ13－4σ2σ1＋9σ3）＋（500σ2σ1－1 013σ3）（σ2σ1－9σ3）.

容易驗(yàn)證各分拆項(xiàng)都是非負(fù)的，例如

σ13－4σ2σ1＋9σ3

＝x（x－y）（x－z）＋y（y－z）（y－x）＋z（z－x）（z－y）≥0

是schur 不等式.而

等，故f≥0 成立，從而不等式（13）獲證.

評(píng)注3 在分拆n 元對(duì)稱(chēng)型時(shí)，在程序qure 設(shè)計(jì)中使用Maple 的quo 和rem 命令時(shí)，要分別按初等對(duì)稱(chēng)式σi（i＝1，2，…，n）整理完成多項(xiàng)式的相除運(yùn)算，從而增加非負(fù)分拆結(jié)果的多樣性.

下面再舉一個(gè)局部對(duì)稱(chēng)不等式的例子.

例4 設(shè)x，y，z∈R＋，證明當(dāng)t＝6 時(shí)不等式

成立.

證明 當(dāng)t＝6 時(shí)不等式（14）等價(jià)于

不等式（15）可變形為（2x－y－z）2f≥0，其中

f＝1 024x10＋（－5 120y－5 120z）x9＋…＋9 054y4z6－

7 800y3z7＋2 047y10－4 082yz9－4 082zy9.

鍵入命令：

＞qureds（f）；

則輸出非負(fù)分拆式式（14）獲證.

f＝（2x－y－z）8（4x2－4xy－4xz＋67y2－130yz＋67z2）＋

132（y－z）4（5y2＋12x2＋2yz－12xz－12xy＋5z2）×

（2x2－2xy－2xz＋y2＋z2）（3y2－10xy＋10x2＋4yz－10xz＋3z2）≥0.

從而不等

例5 設(shè)x1，x2，x3，x4∈R＋，證明不等式

證明不等式（16）去分母后等價(jià)于多項(xiàng)式不等式

f＝2σ14－7σ2σ12＋9σ3σ1＋16σ4≥0.

其中

σ1＝x1＋x2＋x3＋x4，σ2＝x1x2＋x2x3＋x3x4＋x1x4＋x1x3＋x2x4，

σ3＝x3x4x1＋x4x1x2＋x1x2x3＋x2x3x4，σ4＝x1x2x3x4.

下面對(duì)f 逐次進(jìn)行分拆.用qureds 命令對(duì)f 分拆一次，得

其中

對(duì)f1再分拆一次，得

其中

令h（x，y，z）＝x（x－y）（x－z）＋y（y－z）（y－x）＋z（z－x）（z－y），則由schur 不等式知h（x，y，z）≥0，容易驗(yàn)證

故由上述分拆式知，f≥0 成立，從而不等式（16）獲證.

例6 設(shè)x1，x2，x3，x4，x5∈R＋，證明不等式

證明 不等式（17）等價(jià)于f＝σ23－10σ32≥0，在本例中σi（i＝1，2，3，4，5）表示5 元初等對(duì)稱(chēng)式.鍵入命令：

＞qure5yt（2，6，f）；

得分拆式

其中

f1＝3σ22＋10σ4－7σ3σ1.

f2＝49σ23σ12－90σ24－1 000σ42－600σ22σ4.

因?yàn)?/p>

而f1≥0 已證，對(duì)σ3σ1－10σ4進(jìn)行分拆得

其中

2M＝（x1－x2）2x3x4＋（x1－x2）2x3x5＋（x1－x3）2x2x4＋（x1－x3）2x5x2＋

（x1－x4）2x3x5＋（x1－x4）2x5x2＋（x1－x5）2x2x4＋（x1－x5）2x3x2＋

（x2－x3）2x4x1＋（x2－x3）2x4x5＋（x2－x4）2x1x3＋（x2－x4）2x3x5＋

（x2－x5）2x1x3＋（x2－x5）2x4x1＋（x3－x4）2x5x1＋（x3－x4）2x5x2＋

（x3－x5）2x2x4＋（x3－x5）2x4x1＋（x4－x5）2x1x3＋（x4－x5）2x2x1≥0.

4N＝（x1－x2）2x4x5＋（x1－x3）2x5x4＋（x1－x4）2x2x3＋（x1－x5）2x3x4＋

（x2－x3）2x5x1＋（x2－x4）2x1x5＋（x2－x5）2x3x4＋（x3－x4）2x1x2＋

（x3－x5）2x2x1＋（x4－x5）2x2x3≥0.

故成立f2≥0，從而不等式（17）獲證.

評(píng)注4 筆者在分拆σ3σ1－10σ4時(shí)費(fèi)盡周折也拆不盡，最后用配方的辦法得到分拆式（18）.有趣的是，在（18）式中，M 和N 均不是對(duì)稱(chēng)式，且兩者的項(xiàng)數(shù)相差很大，但按（18）式那樣組合后卻成為了對(duì)稱(chēng)式.如何解釋這個(gè)現(xiàn)象？

評(píng)注5 另一個(gè)同樣有趣的例子是：筆者在將多項(xiàng)式不等式

化成等價(jià)的三角形不等式后進(jìn)行分拆，最后得到三角形中的有趣不等式

不等式（20）的一個(gè)特點(diǎn)是：不等式兩邊的量均是符號(hào)不確定的量.這類(lèi)不等式十分罕見(jiàn)，筆者試圖專(zhuān)門(mén)構(gòu)造這類(lèi)不等式卻沒(méi)有成功.

4 一類(lèi)不等式的非負(fù)分拆方法

筆者在研究一個(gè)不等式時(shí)得到不等式

為了得到不等式（21）富有技巧性的證法，2023 年2 月20 日，筆者將不等式（21）發(fā)到“不等式之家”微信群，安徽的翟德玉給出如下解答：

筆者仔細(xì)地琢磨了這個(gè)解法，發(fā)現(xiàn)這個(gè)解法頗具有啟發(fā)性，且有一定的普遍性，它適用于型如

的不等式的證明.為了便于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，下面介紹一下翟德玉對(duì)不等式（21）的證明過(guò)程.

例7 設(shè)x，y，z∈R＋，證明不等式（21）.

證明（翟德玉）

在上述諸項(xiàng)中，一些項(xiàng)含有共同的因子x－y，按這個(gè)思路合并相關(guān)項(xiàng)，得到

從而不等式（21）獲證.

在這個(gè)解法中，最關(guān)鍵的思路是“根據(jù)相同因子找出相關(guān)項(xiàng)進(jìn)行合并”，最后得到配方式，這構(gòu)成本解題方法的算法.事實(shí)上，根據(jù)這個(gè)算法，可以編寫(xiě)出更方便應(yīng)用的程序cdypf，這個(gè)程序可以直接給出型如（22）的不等式配方形式，使用格式是：在agl2012環(huán)境下，鍵入命令：

＞cdypf（f（y，z））；

回車(chē)即得結(jié)果.注意f（y，z）是關(guān)于y，z 對(duì)稱(chēng)的一個(gè)表達(dá)式.

例8 設(shè)x，y，z∈R＋，證明不等式

證明 鍵入命令：

＞cdypf（（x^2＋y^2）*（x^2＋z^2）/（（y＋z）*（y^2＋z^2）））；

立即輸出

故不等式（23）獲證.

上述證明型如不等式（22）的方法對(duì)多元不等式也是有效的，此時(shí)的算法仍是“根據(jù)相同因子找出相關(guān)項(xiàng)進(jìn)行合并”.先看一個(gè)四元的例子.

例9 設(shè)x1，x2，x3，x4∈R＋，證明不等式

證明 不等式（24）等價(jià)于

從而不等式（24）獲證.

例10 設(shè)x1，x2，x3，x4，x5∈R＋，證明不等式

證明鍵入命令：

＞cdypf5y（（x2*x3＋x3*x4＋x2*x4＋x5*x3＋x2*x5＋x4*x5）*x1）；

立即輸出（x1－x2）2（x3x4＋x4x5＋x5x3）≥0，從而不等式（25）獲證.

5 結(jié)語(yǔ)和問(wèn)題

quo-rem 非負(fù)分拆方法僅用了maple 的多項(xiàng)式運(yùn)算命令和隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序，故相對(duì)來(lái)說(shuō)是比較獨(dú)立的.它有如下特點(diǎn)：一是算法是試探性的，分拆是否成功依賴(lài)于非負(fù)分拆單元數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)是否豐富，也與不等式的強(qiáng)度有關(guān)，很強(qiáng)的不等式一般不容易分拆成功.二是運(yùn)算效率比較高，不論是多項(xiàng)式運(yùn)算還是隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證，很快就能出結(jié)果.三是可以處理較高次數(shù)的不等式，這是quo-rem 非負(fù)分拆方法的獨(dú)特優(yōu)勢(shì).四是可以向多元不等式進(jìn)行推廣.由于非負(fù)分拆單元數(shù)據(jù)集是開(kāi)放的，隨時(shí)可以將已知的結(jié)果補(bǔ)充進(jìn)去，這些都增加了quo-rem 非負(fù)分拆方法的實(shí)用性.

文獻(xiàn)[4]指出，“由于分拆，暴露了對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式不等式內(nèi)部的結(jié)構(gòu)或框架，這有可能使我們根據(jù)這些看得見(jiàn)的線(xiàn)索，把一些較深刻的結(jié)果揭示出來(lái).”分拆往往能夠使我們看見(jiàn)一些新的東西，本文評(píng)注4 和評(píng)注5 又提供了兩個(gè)新鮮的例子.

最后再提一個(gè)n 元不等式問(wèn)題：設(shè)n 個(gè)正數(shù)xi（i＝1，…，n，n≥3）分成兩組，第1 組有t 個(gè)數(shù)，且這t 個(gè)數(shù)的積記為M，第2 組數(shù)的和記為S，作商對(duì)求完全對(duì)稱(chēng)和得表達(dá)式又記f（x1，x2，…，xn）＝證明不等式

現(xiàn)列舉幾個(gè)具體的不等式.例如，當(dāng)n＝4 時(shí)，對(duì)應(yīng)于（26）式有不等式

n＝5，t＝3 時(shí)有不等式

n＝6，t＝4 時(shí)有不等式

等等.