基于序列凸規(guī)劃的攔截彈中制導軌跡優(yōu)化

李炯 張錦林 邵雷 李萬禮 賀楊超

引用格式：李炯，張錦林，邵雷，等.基于序列凸規(guī)劃的攔截彈中制導軌跡優(yōu)化［J］.航空兵器，2023，30（1）：37-43.

LiJiong，ZhangJinlin，ShaoLei，etal.MidcourseGuidanceTrajectoryOptimizationofInterceptorMissileBasedonSequentialConvexProgramming［J］.AeroWeaponry，2023，30（1）：37-43.（inChinese）

摘要：針對強非線性多約束條件下攔截彈中制導軌跡優(yōu)化問題，基于序列凸規(guī)劃方法和捕獲區(qū)域，提出一種針對固定時間約束下的軌跡優(yōu)化算法。序列凸優(yōu)化方法求解復雜多項式具有高效的計算效率，但在軌跡優(yōu)化問題中應(yīng)用序列凸規(guī)劃有控制變量的強非線性和固定時間內(nèi)終端約束難以收斂兩大難點。首先，采用仿射變量將問題轉(zhuǎn)化為仿射系統(tǒng)，并將仿射系統(tǒng)進行凸化與離散化，來解決非線性問題，然后，提出一種終端約束加權(quán)松弛化方法來解決固定時間內(nèi)終端約束難以收斂問題，并將中制導問題轉(zhuǎn)化為序列凸規(guī)劃問題。仿真結(jié)果表明，所提算法能較快地生成符合多約束條件的攔截彈中制導軌跡。

關(guān)鍵詞：序列凸規(guī)劃；中制導；軌跡優(yōu)化；捕獲區(qū)域；多約束;高超聲速;攔截彈

中圖分類號：TJ765

文獻標識碼：A

文章編號：1673-5048（2023）01-0037-07

DOI：10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0115

0引言

目前高超聲速武器由于速度快、射程遠等優(yōu)勢，對空天安全提出巨大的挑戰(zhàn)［1-2］。攔截彈的中制導在攔截此類目標時，可以為具有飛行約束的末制導提供良好的攔截態(tài)勢［3］，具有重要研究意義。

中制導軌跡優(yōu)化是在攔截彈動力學模型基礎(chǔ)上，根據(jù)預測的捕獲區(qū)域，解算滿足過程約束和終端約束的制導指令［4-5］。文獻［6］考慮攔截彈捕獲區(qū)，提出一種基于高斯偽譜法的中制導軌跡優(yōu)化方法，具有很高的精度。文獻［7］提出了一種基于鄰域最優(yōu)控制理論的高超聲速攔截中彈道在線優(yōu)化修正算法。文獻［8］提出一種終端時間固定的廣義擬譜模型預測靜態(tài)規(guī)劃方法，成功用于中制導攔截。文獻［9］在模型預測靜態(tài)規(guī)劃理論的基礎(chǔ)上，提出一種多階段最優(yōu)軌跡規(guī)劃與制導方法。雖然模型預測靜態(tài)規(guī)劃能應(yīng)用于中制導，但攔截彈攔截過程中，可能存在超出過程約束的現(xiàn)象。

近年來，凸優(yōu)化方法因為解的存在性［10］和求解復雜多項式高效的計算效率，在航空航天領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［11］。文獻［12］將強非線性的飛行器再入的最優(yōu)控制問題，轉(zhuǎn)化成凸優(yōu)化問題。文獻［13］結(jié)合基于凸優(yōu)化的算法和偽譜非線性規(guī)劃方法，構(gòu)建了一個兩階段軌跡優(yōu)化框架。文獻［14-15］介紹了一種凸化非凸約束的松弛技術(shù)，采用正則化技術(shù)對松弛程度進行約束。文獻［16］結(jié)合偽譜方法和凸優(yōu)化方法，提出一種新的大氣再入制導阻力能量方案，能夠無損凸化公式。文獻［17］將多約束的再入問題表述成一個容易求解的二階錐規(guī)劃序列。文獻［18］提出一個非常規(guī)的收斂條件，使序列凸規(guī)劃方法以較少的迭代次數(shù)收斂到原問題的可行解。文獻［19］提出一種基于自定義自適應(yīng)網(wǎng)格細化的序列凸規(guī)劃方法，在保證收斂解可行性的同時，可以減少網(wǎng)格點的數(shù)量。文獻［20］提出一種拉格朗日偽譜凸優(yōu)化方法，在考慮過程約束的同時，解決火星大氣進入末端高度最大化問題。以上文獻表明，凸優(yōu)化方法在解決非線性多約束問題上有很多的應(yīng)用與優(yōu)勢。

攔截彈中制導攔截問題是強非線性多約束的軌跡優(yōu)化問題。首先，通過仿射變量將攔截彈的非線性動力學模型，轉(zhuǎn)化為仿射系統(tǒng)動力學模型。其次，以目標的預測點形成的捕獲區(qū)域為終端約束，并提出終端約束加權(quán)松弛化方法解決固定時間中制導終端約束難以收斂問題。然后，以過載、熱流密度、動壓等作為過程約束，將模型與約束依次松弛化、線性化和離散化，將固定時間的中制導攔截問題轉(zhuǎn)化為序列凸規(guī)劃問題。最后，通過多種場景對本文算法的有效性與魯棒性進行了驗證。

1中制導問題的建立

1.1仿射動力學模型和控制約束

攔截彈在中段制導階段采用無動力滑翔，動力學模型建立在地面固定坐標系上［14］，x軸和z軸分別指向東和北，和h軸組成右手系，忽略地球自轉(zhuǎn)影響，攔截彈在平坦的地面上空，動力學模型經(jīng)無量綱化處理后如下：

x·=Vcosθcosψ

z·=Vcosθsinψ

h·=Vsinθ

V·=－D－sinθ/r2

θ·=Lcosσ/V－cosθ/（Vr2）

ψ·=Lsinσ/（Vcosθ）（1）

式中：（x，z，h）為攔截彈的位置坐標；r=1+h為地心到攔截彈的直線距離；V為地球相對速度，以g0re比例縮放，g0為在地球表面re處的重力加速度；θ為彈道傾角；ψ為彈道偏角。

無量綱阻力和升力加速度如下：

L=0.5ρ（Vg0re）2CLS/（mg0）（2）

D=0.5ρ（Vg0re）2CDS/（mg0）（3）

式中：S為攔截彈受力參考面積；CD和CL為攔截彈的阻力系數(shù)和升力系數(shù)，與攻角α和馬赫數(shù)有關(guān)；m為攔截彈的質(zhì)量，大氣密度ρ（h）=ρ0e－h(huán)re/H，ρ0=1.225kg/m3，H=7.11km。

定義控制變量歸一化系數(shù)λ：

λ=CL/CL（4）

CD=CD［1+λ2］/2（5）

式中：C*L和C*D分別為某馬赫數(shù)下最大升阻比對應(yīng)的升力系數(shù)和阻力系統(tǒng)，可通過氣動數(shù)據(jù)表插值得到。

由上式，可將式（2）～（3）轉(zhuǎn)化為

L=L^λ（6）

D=D^［1+λ2］/2（7）

式中：升力加速度L^=qSC*L；阻力加速度D^=qSCD/2。

目前的動力學模型仍不是控制仿射系統(tǒng)，下面構(gòu)建仿射變量：

u1=λcosσu2=λsinσu3=λ2（8）

通過仿射變量可將式（1）轉(zhuǎn)化為

dx/dt=Vcosθcosψdz/dt=Vcosθsinψdh/dt=VsinθdV/dt=－0.5［1+u3］D^－sinθ/r2

dθ/dt=u1L^/V－cosθ/（Vr2）

dψ/dt=u2L^/（Vcosθ）（9）

在仿射系統(tǒng)中，控制量u必須滿足：

u21+u22=u3（10）

本文假設(shè)歸一化系數(shù)λ非負，上限為λ-，則u3的取值范圍為

0≤u3≤u-3（11）

式中：u-3=λ-2。假設(shè)傾側(cè)角σ的取值范圍在區(qū)間（－90°，90°）內(nèi)為［σmin，σmax］，則

u1tan（σmin）≤u2≤u1tan（σmax）（12）

1.2過程約束和邊界約束

攔截彈中制導攔截過程中需要滿足過程約束，否則可能出現(xiàn)攔截彈失控現(xiàn)象。其中，過程約束主要有過載約束、熱流密度約束及動壓約束等：

n=L2+D2=u3L^2+（1+u3）2D^2/4≤nmax（13）

Q·=kQρ0.5（Vg0re）3.15≤Q·max（14）

q=0.5ρ（Vg0re）2≤qmax（15）

過程約束可寫為

L（h，V，u3）≤L-（16）

式中：L-為攔截彈過程約束允許的最大值。

假設(shè)攔截彈中制導的初始狀態(tài)為x0，初始時刻為t0，則初始條件約束為

x（t0）=x0（17）

攔截彈的終端約束由捕獲區(qū)域確定，最佳終端條件為零控攔截狀態(tài)。假設(shè)預測的攔截彈中制導結(jié)束時的零控攔截狀態(tài)是xp=［xp;zp;hp;～;θp;ψp］。上述零控攔截狀態(tài)對攔截彈的速度大小沒有要求，但為了有效摧毀目標，攔截彈速度越大越好，速度約束在目標函數(shù)中加以體現(xiàn)。

攔截彈中制導結(jié)束時刻為tf，則終端約束為

x（tf）=xp（18）

由于攔截彈是在指定時間飛向指定空域，如果終端約束采用式（18）強等式約束，可能會造成可行域內(nèi)無解的情形。本文提出終端約束加權(quán)松弛化方法對強等式約束式（18）進行松弛，以確保問題存在可行解，表達如下：

xf－xp=κ1ω1

zf－zp=κ1ω2

hf－h(huán)p=κ1ω3

θf－θp=ω4

ψf－ψp=ω5（19）

式中：松弛系數(shù)ω=［ω1，ω2，ω3，ω4，ω5］在目標函數(shù)中約束；κ1為權(quán)重系數(shù)，為狀態(tài)量的權(quán)重接近。

1.3目標函數(shù)和中制導問題描述

為了有效摧毀目標，以攔截彈的最大速度為主要目標函數(shù)，加上終端約束松弛系數(shù)，目標函數(shù)為

J0=－c1Vf+c2ωTω（20）

綜上所述，原始的攔截彈中制導攔截問題就轉(zhuǎn)化成終端時間固定的最優(yōu)控制問題P1：

P1：minJ0

s.t.式（9）～（12），（16）～（17），（19）

2凸化與離散化

2.1凸化

問題P1仍是一個非線性強約束問題，需要對仿射變量松弛化和對約束線性化，才能將問題P1轉(zhuǎn)化成凸優(yōu)化問題P2，之后將問題P2進行離散化，轉(zhuǎn)化成序列凸規(guī)劃問題P3，以便于算法求解。

2.1.1仿射變量松弛化

從式（10）～（12）可以看出，仿射變量約束為強等式約束，強約束會造成問題P1的非凸，為將問題P1凸化，將式（10）松弛為

u21+u22≤u3（21）

為保證松弛后的仿射變量的有效性，目標函數(shù)上增加c3∫tft0ψ（t）dt項，來確保仿射變量滿足式（10）約束。

2.1.2約束的線性化

式（9）可以表述為

x·=f（x）+B（x）u（22）

f（x）=VcosθcosψVcosθsinψVsinθ－0.5D^－sinθ/r2cosθ/（Vr2）0（23）

B（x，t）=03×103×103×1

00－0.5D^

L^/V00

0L^/（Vcosθ）0（24）

u=［u1，u2，u3］（25）

利用一階泰勒展開式對式（20）關(guān)于參考軌跡（x*，u*）線性化可得

x·=f（x*）+A（x*）（x－x*）+B（x*）u（26）

式中：A（x*）=f（x）xx=x*。

利用一階泰勒展開式對式（16）關(guān)于參考軌跡的（h*，V*，u*3）線性化可得

L（h*，V*，u*3）+L′·［h-h*，V-V*，u3-u*3］≤L-（27）

式中：L′=Lh，LV，Lu3。

綜上所述，問題P1轉(zhuǎn)化成了凸優(yōu)化問題P2：

P2：minJ=－c1Vf+c2ωTω+c3∫tft0ψ（t）dt

s.t式（11）～（12），（17），（19），（21），

（26）～（27）

2.2離散化

問題P2是一個凸域內(nèi)的無限維連續(xù)參數(shù)優(yōu)化問題，無法直接進行優(yōu)化迭代，所以將問題P2進行離散化，轉(zhuǎn)化成有限維的序列凸規(guī)劃問題P3，以便于計算機運算。

將時間域［t0，tf］分成N份，離散區(qū)間Δt=（t0－tf）/N，離散點序列i=0，1，2，…，N－1，N。

假設(shè)第k－1（k≥1）次迭代生成軌跡為（xk－1，uk－1），在第k次迭代過程中通過梯形法將式（26）離散化可得

xi=xi－1+Δt2［（A（k－1）i－1xi－1+Β（k－1）i－1ui－1+F（k－1）i－1）+（A（k－1）ixi+Β（k－1）iui+F（k－1）i）］（28）

式中：xi=x（ti）；ui=u（ti）；A（k－1）i－1=A（x（k－1）（ti－1））；B（k－1）i－1=B（x（k－1）（ti－1））；F（k－1）i－1=f（k－1）i－1－A（k－1）i－1x（k－1）i－1；f（k－1）i－1=f（x（k－1）（ti－1）。

為了減少問題P2在第k次迭代過程中可行解的尋優(yōu)范圍，采用變信賴域方法對可行解加以約束：

xi-x（k－1）i≤ξεxui-u（k－1）i≤ξεu（29）

式中：信賴域松弛系數(shù)ξ在目標函數(shù)中加以約束；εx與εu為狀態(tài)量的信賴域區(qū)間。

同理可得，在第k次迭代過程中，式（27）可轉(zhuǎn)化為

L′·［h-h（k-1），V-V（k-1），u3-u（k-1）3］+L（h（k-1），V（k-1），u（k-1）3）≤L-（30）

綜上所述，無限維的問題P2轉(zhuǎn)化成了有限維的問題P3，表述如下：

P3：minJ=－c1Vf+c2ωTω+c3∑Ni=0ψiΔt+c4ξ

s.t.式（11）～（12），（17）～（19），（21），

（28）～（30）

3序列凸規(guī)劃算法

3.1算法求解步驟

由于原中制導問題P1具有強非線性，僅采用一次線性化來處理問題P1中的非線性動力學約束與過程約束，所求迭代解對于問題P1一般不可行。本文采用連續(xù)線性化方法，對非線性動力學約束與過程約束進行線性化，從而產(chǎn)生一系列迭代解序列。

序列凸規(guī)劃算法是以相鄰兩次迭代解的最大偏差值作為收斂條件，滿足該條件，則認為算法收斂并結(jié)束，迭代解為滿足問題P1的最優(yōu)可行解。收斂條件如下：

x（k+1）-x（k）≤δx

u（k+1）-u（k）≤δu（31）

求解步驟如下。

步驟1：令k=0，給出初始參考軌跡x0，初始參考控制指令（u01，u02，u03）。

步驟2：基于參考軌跡xk與參考控制指令（uk1，uk2，uk3）計算所需的迭代參數(shù)。

步驟3：求解問題P3，獲得迭代解（xk+1，uk+1）。

步驟4：判斷迭代解是否滿足式（31），滿足該收斂條件，則算法結(jié)束；否則，令k=k+1，進入步驟2。

4數(shù)值仿真

本文數(shù)值仿真過程均在IntelCorei7-105102.30GHz、8GRAM和Windows10操作系統(tǒng)的計算機上進行，并采用嵌入式圓錐求解器ECOS［21］求解問題P3。

攔截彈模型參數(shù)m0=900kg，S=0.4839m2，仿射變量λ的界限為［0，4.4016］，傾側(cè)角σ的界限為［－60°，60°］。過程約束nmax=3.5g0，Q·max=1000kW/m2，qmax=150kPa。目標函數(shù)中的權(quán)重系數(shù)為c1=100，c2=10，c3=0.01，c4=0.01。終端約束權(quán)重系數(shù)κ1=0.001。中制導攔截初始狀態(tài)為（0km，0km，40km，2500m/s，5°，0°）。

初始參考軌跡是攔截彈以最大歸一化系數(shù)λ-飛行，z軸直接從起點指向終點，該軌跡生成方法具有生成速度快的優(yōu)點。

序列凸規(guī)劃算法信賴域約束為

εx=e5re，e4re，e4re，500g0re，10π180，10π180（32）

εu=［η-/2，η-/2，η-2/2］（33）

本文序列凸規(guī)劃算法收斂域約束為

δx=e3re，e2re，e2re，50g0re，π180，π180（34）

δu=［η-/10，η-/10，η-2/10］（35）

4.1算法驗證

以攔截彈狀態(tài)（400km，25km，25km，～，0°，10°）為中制導終端約束，飛行時間為tf=175s，以攔截彈速度最大為主要目標函數(shù)，對本文算法進行驗證。

中制導軌跡每次迭代后位置信息的變化如圖1所示，其軌跡從初始參考軌跡逐漸向最終軌跡收斂，結(jié)果顯示，第5次與第6次的迭代軌跡符合收斂域約束，即第6次迭代軌跡為最終收斂軌跡。

收斂軌跡的速度變化情況如圖2所示，其速度變化符合圖1（a）軌跡運動關(guān)系，中制導結(jié)束時，速度為1859.4m/s。

6次迭代求解的時間如表1所示，初始參考軌跡生成時間約為0.069s，總運算時間為6次軌跡求解時間加初始參考軌跡生成時間，約為1.829s。

收斂軌跡過程約束的變化情況如圖3所示，過載、熱流密度與動壓過程約束均符合約束。其中，在100～150s之間過程約束存在凸起現(xiàn)象，這是因為收斂的軌跡高度呈現(xiàn)凹形曲線，空氣密度曲線呈現(xiàn)凸形，進而導致過程約束呈現(xiàn)凸形曲線。

收斂軌跡的控制量變化信息如圖4所示，其中控制量u1與u2可以用u3和傾側(cè)角σ表示。收斂軌跡的控制量均滿足控制量約束。

由仿真結(jié)果可得，本文算法能解決強非線性多約束問題，得到滿足約束的中制導軌跡。

4.2魯棒性分析

以不同彈道傾角為終端約束變化條件，以驗證本文算法的魯棒性。攔截彈終端約束為（350km，18km，26km，～，～，10°），彈道傾角分別?。?1°，1°，3°，5°，7°），飛行時間為tf=155s，以攔截彈速度最大為主要目標函數(shù)，對本文算法的魯棒性進行分析。

在不同彈道傾角的終端約束下，攔截彈收斂軌跡的剖面圖如圖5所示。由圖可知，在不同的彈道傾角下，攔截彈能在固定飛行時間內(nèi)到達期望位置。

不同彈道傾角下收斂軌跡的求解時間如表2所示。求解過程中，最少迭代4次，最多迭代6次，軌跡收斂。

不同彈道傾角下收斂軌跡的速度變化情況如圖6所示。由圖可知，在上述仿真條件下，攔截彈到達同一期望位置時的彈道傾角越大，其速度越小。結(jié)合圖5（a）可知，在上述高拋彈道中，終端彈道傾角越大，其高拋彈道的最低點越低，攔截彈的速度越小。

不同彈道傾角下收斂軌跡的彈道傾角和彈道偏角的變化情況如圖7所示。最終彈道傾角與彈道偏角能收斂到期望角度。綜上所述，本文優(yōu)化方法能在不同終端狀態(tài)約束條件下生成滿足約束的中制導軌跡。

4.3優(yōu)化方法對比

以攔截彈狀態(tài)（400km，20km，24km，～，0°，10°）為中制導終端約束，飛行時間為tf=175s，以攔截彈速度最大為主要目標函數(shù)，對序列凸規(guī)劃算法（SCP）和高斯偽譜法（GPM）進行對比。

本文算法與高斯偽譜法收斂軌跡的剖面圖如圖8所示。兩者收斂軌跡并不重合，主要是由于兩方法內(nèi)部初始參考軌跡生成方法不同與配點方式不同造成的。本文算法迭代6次，求解的總時間為1.666s，高斯偽譜法的運算時間為6.619s，從時間上對比，本文算法求解中制導問題的速度更快。

兩種優(yōu)化方法終端誤差如表3所示，高斯偽譜法表格顯示誤差由于小于保留位數(shù)，顯示為0。從表3可以看出，高斯偽譜法的求解精度要高于本文優(yōu)化方法。

兩種方法收斂軌跡的終端速度變化如圖9所示，本文算法的終端速度為1943.8m/s，高斯偽譜法的終端速度為1942.3m/s。終端速度相差僅1.5m/s，這與兩者目標函數(shù)相同、終端約束相同有關(guān)。

兩種方法收斂軌跡的過程約束與控制量的變化情況如圖10所示，過程約束與控制量均未超出約束。

綜上所述，兩種方法都能解決強非線性多約束中制導問題，但本文算法比高斯偽譜法的求解速度更快，精度略差。

5結(jié)論

本文提出的針對目標捕獲區(qū)域的中制導軌跡優(yōu)化方法，能快速求解出滿足約束的中制導軌跡。針對優(yōu)化問題固定時間內(nèi)終端約束難以收斂問題，提出一種終端約束加權(quán)松弛化方法，能避免收斂域內(nèi)無解的情況，同時將中制導模型轉(zhuǎn)化為仿射系統(tǒng)，以解決控制變量的強非線性約束。

進一步研究是尋找新的初始參考軌跡生成方法，靠近收斂軌跡的初始參考軌跡能減少收斂次數(shù)與問題求解時間。

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MidcourseGuidanceTrajectoryOptimizationofInterceptor

MissileBasedonSequentialConvexProgramming

LiJiong，ZhangJinlin*，ShaoLei，LiWanli，HeYangchao

（AirandMissileDefenseCollege，AirForceEngineeringUniversity，Xian710051，China）

Abstract：Aimingatthetrajectoryoptimizationproblemofinterceptormidcourseguidanceunderstrongnonlinearmulti-constraintconditions，atrajectoryoptimizationalgorithmforfixedtimeconstraintsisproposedbasedonsequentialconvexprogrammingmethodandcaptureregion.Sequentialconvexoptimizationmethodhashighcomputationalefficiencyforsolvingcomplexpolynomials.However，intrajectoryoptimizationproblems，thestrongnonlinearityofcontrolvariablesandtheconvergencedifficultyoffixedtimeterminalconstraintsaretwomaindifficulties.Firstly，theproblemistransformedintoanaffinesystembyusingaffinevariables，andtheaffinesystemisconvexizedanddiscretizedtosolvethenonlinearity.Then，aimingattheproblemthatterminalconstraintsaredifficulttoconvergeinafixedtime，aweightedrelaxationmethodofterminalconstraintsisproposedtotransformthemidcourseguidanceproblemintoasequenceconvexprogrammingproblem.Thesimulationresultsshowthattheproposedalgorithmcanquicklygeneratethemidcourseguidancetrajectoryofinterceptorthatmeetsmultipleconstraints.

Keywords：sequenceconvexprogramming；midcourseguidance；trajectoryoptimization；captureregion；multipleconstraints;hypersonic;interceptor

收稿日期：2022-05-30

基金項目：國家自然科學基金項目（62173339；61873278；61773398）

作者簡介：李炯（1979-），男，安徽涇縣人，博士，副教授。

*通信作者：張錦林（1997-），男，河南周口人，碩士研究生。