分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程解的存在性與唯一性

羅歡 陳付彬 周旋

摘 要：研究了一類分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程解的存在性與唯一性。 通過運(yùn)用微分方程的半離散化技術(shù)，推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程解的半離散化模型， 利用Minkowski不等式、Hlder不等式和Picard逐步逼近法， 證明了半離散隨機(jī)模型解的存在性與唯一性。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階；Picard迭代；Mittag-Leffler函數(shù)

中圖分類號(hào)：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

近年來，分?jǐn)?shù)階微積分［1］在量子力學(xué)［2］、土木工程［3］和非牛頓流體［4］等理工領(lǐng)域得到了快速的發(fā)展，在信號(hào)處理［5］、生物醫(yī)學(xué)［6］和自動(dòng)控制［7］等其他領(lǐng)域也發(fā)揮了積極推動(dòng)的作用。20世紀(jì)60年代，意大利物理學(xué)家Caputo提出了一種具有弱奇異性質(zhì)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， 使得Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性得到了更為廣泛的研究［8-10］。關(guān)于確定性分?jǐn)?shù)階微分方程的文章較多，但是在某些隨機(jī)環(huán)境中，模型的不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響很大。為了解決這些問題，學(xué)者提出了分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程。

涉及分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程解的離散模型的文章較少，大部分討論的是連續(xù)型解的存在性和唯一性，以及對(duì)穩(wěn)定性的分析。文獻(xiàn)［11］建立了隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。PENG［12］建立了G-期望理論和G-布朗運(yùn)動(dòng)的概念，使G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的研究工作得到了很好的發(fā)展。文獻(xiàn)［13］利用逐次逼近方法將解的局部存在唯一性推廣到全局存在唯一性，建立了分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程兩個(gè)不同解之間漸近距離的下界，推導(dǎo)出有界線性Caputo分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程任意非平凡解的均方Lyapunov指數(shù)總是非負(fù)的。文獻(xiàn)［14］研究了Caputo型分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性，證明了系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性和隨機(jī)漸近穩(wěn)定性，用新建立的It Caputo公式，推導(dǎo)出近似指數(shù)穩(wěn)定性和p階矩的指數(shù)穩(wěn)定性。 文獻(xiàn)［15］提出了關(guān)于整數(shù)階變量上限積分的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的新不等式， 有利于Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造，并基于拓?fù)涠壤碚撟C明了平衡點(diǎn)的存在唯一性，此外，利用Picard逐次逼近技術(shù)，證明了初值解的存在性和唯一性。文獻(xiàn)［16］利用Weissinger不動(dòng)點(diǎn)理論證明了解對(duì)初始條件的連續(xù)依賴性。將Picard逐次逼近方法應(yīng)用于求解含有Ψ-Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非線性柯西問題，并對(duì)誤差進(jìn)行了估計(jì)。文獻(xiàn)［17］利用加權(quán)最大范數(shù)和It的等距法建立了非線性分?jǐn)?shù)階隨機(jī)中立型微分方程系統(tǒng)在有限維隨機(jī)環(huán)境下的Ulam-Hyers意義上的穩(wěn)定性結(jié)果。

上述文獻(xiàn)都得到了很好的結(jié)果，但實(shí)際動(dòng)力系統(tǒng)一般是不連續(xù)的，利用半離散的方法可以得到動(dòng)力系統(tǒng)的離散化模型，更能準(zhǔn)確地分析其動(dòng)力學(xué)行為。在此基礎(chǔ)上，本文利用文獻(xiàn)［18］的整數(shù)階微積分的歐拉法推廣到分?jǐn)?shù)階模型，推導(dǎo)出Caputo分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程解的半離散化模型，最后利用Picard逐次逼近法討論了解的存在性和唯一性。

綜上所述，在初始x（0）=φ（0）條件下，方程在區(qū)間［0，K］上有唯一解x（k）∈L2（Ω0，Rn）。證畢。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過微分方程的半離散化方法，推導(dǎo)出Caputo分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程解的半離散化模型，并利用Picard逐次逼近法討論了解的存在性和唯一性，也為進(jìn)一步的研究提供了方法上的一些啟迪，如：分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微分方程的定性理論，穩(wěn)定性，可控性或中立型方程。

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（責(zé)任編輯：周曉南）

Existence and Uniqueness of Solutions for Fractional

Stochastic Differential Equations

LUO Huan*， CHEN Fubin， ZHOU Xuan

（Kunming University of Science and Technology Oxbridge College， Kunming 650106， China）

Abstract：

In this paper， the existence and uniqueness of solutions for a class of fractional stochastic differential equations are studied. By using the semi-discretization technique of differential equations， the semi-discretization model for solutions of fractional stochastic differential equations is derived and then the existence and uniqueness of solutions of semi-discretization stochastic differential equations are proved by using Minkowski inequality， Hlder inequality and Picard approximation method.

Key words：

fractional order; Picard iteration; Mittag-Leffler function

收稿日期：2022-04-18

基金項(xiàng)目：云南省教育廳科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（2020J1233， 2022J1098）

作者簡(jiǎn)介：羅 歡（1990—），女，講師，碩士，研究方向：分?jǐn)?shù)階微分方程，E-mail：oxbridge_luo@126.com．

通訊作者：羅 歡，E-mail：oxbridge_luo@126.com.