一道中考數(shù)學(xué)試題的拓展與應(yīng)用

鄭衛(wèi)強(qiáng)

［摘 要］文章以一道中考數(shù)學(xué)試題為例，找到其與教材的對(duì)接點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生體悟典型試題的發(fā)生、發(fā)散與發(fā)展過(guò)程，厘清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，尋找相同問(wèn)題的統(tǒng)一解決方案，以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升學(xué)生的思維水平，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］中考數(shù)學(xué)；試題；拓展；應(yīng)用

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）05-0035-04

中考數(shù)學(xué)試題是數(shù)學(xué)試題中的典型試題，通過(guò)對(duì)中考數(shù)學(xué)試題的分析與解答可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升學(xué)生的思維水平，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)中考數(shù)學(xué)試題的研究與拓展，深挖中考數(shù)學(xué)試題中隱含的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)其中的重要結(jié)論，從而讓學(xué)生能夠“學(xué)一題，通一片”。下面，筆者以一道中考數(shù)學(xué)試題為例進(jìn)行說(shuō)明。

一、試題再現(xiàn)與拓展

試題 如圖1所示，直線[AB]交圓于點(diǎn)[A]、[B]，點(diǎn)[M]在圓上，點(diǎn)[P]在圓外，且點(diǎn)[M]、[P]在[AB]的同側(cè)，[∠AMB=50]°。設(shè)[∠APB=x°]，當(dāng)點(diǎn)[P]移動(dòng)時(shí)，求[x]的變化范圍，并說(shuō)明理由。

分析：設(shè)[PB]與圓交于點(diǎn)[C]，連接[AC]（如圖2），根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得[∠AMB=∠ACB=50°]，根據(jù)三角形一個(gè)外角大于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角，得[∠ACB>∠APB]，因?yàn)閇∠APB=x°]，所以[50°>x°]，因此[x]的變化范圍為[0

拓展 當(dāng)點(diǎn)[P]在圓的內(nèi)部時(shí)，隨著點(diǎn)[P]的移動(dòng)，求[x]的變化范圍，并說(shuō)明理由。

與上述解法類似，構(gòu)造圓周角，利用已知的50°角來(lái)確定[x]的變化范圍。如圖3所示，延長(zhǎng)[AP]交圓于點(diǎn)[N]，連接[NB]，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得[∠AMB=∠ANB=50°]，根據(jù)三角形一個(gè)外角大于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角，得[∠APB>∠ANB]，因?yàn)閇∠APB=x°]，所以[x°>50°]，因此[x]的變化范圍為[50

根據(jù)上述兩個(gè)問(wèn)題的分析，我們可以總結(jié)出兩個(gè)數(shù)學(xué)模型。

模型一 如圖4所示，點(diǎn)[A]、[B]、[C]都在圓[O]上，點(diǎn)[M]在圓[O]外，點(diǎn)[N]在圓[O]內(nèi)，則有結(jié)論：[∠BMC<∠BAC<∠BNC]，如果把頂點(diǎn)在圓內(nèi)，兩邊與圓相交的角叫作圓內(nèi)角，把頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交的角叫作圓外角，那么，上面的不等式可用文字語(yǔ)言表達(dá)為：圓外角<圓周角<圓內(nèi)角。

模型二 如圖5所示，如果有一條固定長(zhǎng)度的線段[AB]，且所對(duì)的[∠C]的大小固定，根據(jù)圓周角定理，知圓周角等于同弧所對(duì)的圓心角的一半，點(diǎn)[C]的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段圓弧，如圖5中的[ACB]，這就是定弦定角有隱圓。

二、數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用拓展

應(yīng)用1 已知在相對(duì)燈塔[A]、[B]的張角為56°的弓形海域內(nèi)有一暗礁群，如圖6所示，某海監(jiān)執(zhí)法大隊(duì)正在對(duì)燈塔[A]、[B]的張角為55°的[C]處巡航維權(quán)，試問(wèn)是否會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)。

分析：[BC]與[⊙O]相交于[E]，連接[AE]，如圖7所示，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得[∠AEB=∠ADB=56°]，因?yàn)閇∠ACB=55°]，所以[∠ACB<∠AEB]，根據(jù)模型一“圓外角<圓周角<圓內(nèi)角”可得點(diǎn)[C]在弓形海域外，所以沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)。

應(yīng)用2 利用所給圖形探究：（1）如圖8所示，圓的兩弦[AB]、[CD]交于圓內(nèi)一點(diǎn)[P]，若[AC=120°]，[BD=30°]，求[∠APC]的度數(shù)；如圖9所示，圓的兩弦[AB]、[CD]交于圓外一點(diǎn)[P]，其他條件不變，求[∠APC]的度數(shù)。（2）在（1）中，我們把圖8和圖9中直線[AB]、[CD]的夾角分別叫作圓內(nèi)角和圓外角。若[AC=m°]，[BD=n°]，請(qǐng)推導(dǎo)出圓內(nèi)角和圓外角的計(jì)算公式。（3）圖8中，若[∠DPB=70°]，[AC-DB=20°]，請(qǐng)利用（2）中公式求[AC]和[DB]的度數(shù)，并寫(xiě)出求解過(guò)程。

此題主要考查圓周角定理、弧長(zhǎng)公式、三角形內(nèi)心的定義、等腰直角三角形的性質(zhì)，其中重點(diǎn)考查“定弦定角有隱圓”，因?yàn)楸绢}的定角是135°，所以定角頂點(diǎn)與隱圓的圓心在定弦的兩旁，通過(guò)構(gòu)造等腰直角三角形可獲得隱圓圓心。本題的另一個(gè)特殊之處是同一個(gè)角扮演了雙重角色，如[∠ADB]既是圓[D]的圓心角，又是圓[O]的圓周角，[∠GDF]既是圓[D]的圓心角，又是圓[O]的圓周角，應(yīng)注意角色的轉(zhuǎn)換。

應(yīng)用6 【發(fā)現(xiàn)】如圖16所示，[AB]為[⊙O]的一條弦，點(diǎn)[C]在弦[AB]所對(duì)的優(yōu)弧上，[∠ACB]的度數(shù)變還是不變？其理由是什么？反過(guò)來(lái)，如果平面內(nèi)線段[AB]的長(zhǎng)度固定不變，[∠ACB]的大小確定不變，那么點(diǎn)[C]的運(yùn)動(dòng)軌跡是不是一個(gè)圓的圓??？

【研究】我們先從一個(gè)特殊的例子開(kāi)始。如圖17所示，設(shè)[AB=22]，直線[AB]上方一點(diǎn)[C]滿足[∠ACB=45°]，為了畫(huà)出點(diǎn)[C]所在的圓，必須確定點(diǎn)[C]所在圓的圓心，根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系，我們應(yīng)以[AB]為底邊構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形[AOB]，再以[O]為圓心，[OA]為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)[C]在[⊙O]上。請(qǐng)根據(jù)思路在圖17中完成作圖。通過(guò)作圖與推理，我們可以得出一個(gè)一般性的結(jié)論，即若線段[AB]的長(zhǎng)度已知，[∠ACB]的大小確定，則點(diǎn)[C]一定在某一個(gè)確定的圓上，這條弦所對(duì)圓心角的度數(shù)是定角的度數(shù)的2倍，這就是“定弦定角”模型。

【應(yīng)用】（1）如圖18所示，[AB=23]，平面內(nèi)一點(diǎn)[C]滿足[∠ACB=60°]，求[△ABC]的最大面積。（2）如圖19所示，已知正方形[ABCD]，以[AB]為腰向正方形內(nèi)部作等腰[△BAE]，其中[BE=BA]，過(guò)點(diǎn)[E]作[EF⊥AB]于點(diǎn)[F]，點(diǎn)[P]是[△BEF]的內(nèi)心。連接[CP]，若正方形[ABCD]的邊長(zhǎng)為2，求線段[CP]的最小值。

從上面的問(wèn)題可以看出，當(dāng)定弦所對(duì)的角是銳角時(shí)，隱圓圓心與定角頂點(diǎn)在定弦同旁；當(dāng)定弦所對(duì)的角是鈍角時(shí)，隱圓圓心與定角頂點(diǎn)在定弦兩旁。特別是當(dāng)定角是鈍角時(shí)，不容易找到圓心，此時(shí)先找定角的補(bǔ)角，這個(gè)補(bǔ)角是一個(gè)銳角，這個(gè)銳角的2倍就是圓心角的度數(shù)。

三、思考與收獲

數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題。在解題中，要做好解后反思，反思解題思路，反思其中的數(shù)學(xué)模型，反思結(jié)論的拓展，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)尤為重要。中考數(shù)學(xué)試題是數(shù)學(xué)試題中的典型試題，教師應(yīng)充分利用中考數(shù)學(xué)試題這個(gè)巨大的資源，做好試題研究與拓展，找到其與教材的對(duì)接點(diǎn)，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生體悟典型試題的發(fā)生、發(fā)散與發(fā)展過(guò)程，厘清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，尋找相同問(wèn)題的統(tǒng)一解決方案，做好結(jié)論的推廣，從而讓學(xué)生能夠“學(xué)一題，通一片”。

（責(zé)任編輯 黃春香）