基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)初探

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［摘? 要］ 概念是數(shù)學(xué)的核心. 概念教學(xué)是滲透數(shù)學(xué)思想，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵. 重視概念教學(xué)，不僅能培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展的眼光看待世界，還能讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言和思維表達(dá)和思考生活. 文章以概念形成的一般過程為出發(fā)點(diǎn)，從問題驅(qū)動(dòng)，孕育新知；歸納類比，形成概念；挖掘內(nèi)涵，深化概念三方面具體談?wù)劵诤诵乃仞B(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的措施.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；概念教學(xué)；問題驅(qū)動(dòng)

概念是數(shù)學(xué)中最基本的抽象，是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)、創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用能力的基礎(chǔ). 新課標(biāo)中對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所提出的要素是數(shù)學(xué)抽象、推理、建模、想象、運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析等. 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是促使學(xué)生形成良好核心素養(yǎng)的根本. 如何讓學(xué)生在概念的形成與發(fā)展過程中，感知其內(nèi)涵與外延，形成良好的核心素養(yǎng)，是筆者近兩年一直在探索的問題之一. 文章從以下幾方面，具體談?wù)劵诤诵乃仞B(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法，與同行分析交流.

概念形成的一般過程

概念形成是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體. 課堂教學(xué)中，怎樣從情境中抽象出相應(yīng)的概念是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn). 為此，筆者對(duì)概念形成的一般過程做了一定的研究，以期為教學(xué)服務(wù).

杜賓斯基等人在APOS理論中提出，學(xué)習(xí)者在經(jīng)歷概念抽象的過程中，會(huì)經(jīng)歷操作、過程、對(duì)象與圖式四個(gè)階段. 奧蘇貝爾（D.P.Ausubel）認(rèn)為概念的形成與發(fā)展大致需經(jīng)歷八個(gè)階段的心理歷程. 結(jié)合以上理論，我國的學(xué)者章建躍與曹才翰共同提出了概念形成的一般過程，需經(jīng)歷七個(gè)階段（見圖1）［1］.

此理論對(duì)于一般意義上的概念教學(xué)具有明確的指導(dǎo)意義. 但教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，具有一定的復(fù)雜性與靈活性，尤其受一些概念的特征與學(xué)生認(rèn)知水平的影響，教學(xué)實(shí)施過程中，難免會(huì)出現(xiàn)不遵循以上線性發(fā)展順序的情況. 那么，教師在教學(xué)中應(yīng)怎樣地引導(dǎo)學(xué)生的思維，幫助學(xué)生構(gòu)建清晰的概念，促進(jìn)其核心素養(yǎng)的提升呢？這是一個(gè)值得教師深入探討的問題.

培養(yǎng)策略

1. 問題驅(qū)動(dòng)，孕育新知

傳統(tǒng)教學(xué)模式中，教師習(xí)慣用“傳授”的方式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生按照教師的指令進(jìn)行學(xué)習(xí). 這種模式下，學(xué)生一般不會(huì)主動(dòng)對(duì)教學(xué)過程或內(nèi)容產(chǎn)生疑問，也不會(huì)主動(dòng)去探索新知，而是被動(dòng)地接納. 顯然，這種教學(xué)模式禁錮了學(xué)生的思維，讓學(xué)生養(yǎng)成被動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣，從而缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.

隨著新課改的推進(jìn)，“以學(xué)生為主體”的課堂模式登上教育的舞臺(tái)，明確了學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位. 如何化被動(dòng)為主動(dòng)，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)呢？實(shí)踐證明，豐富的情境能有效地激發(fā)學(xué)生的探究熱情；具體的問題，能啟發(fā)學(xué)生的思維；良好的課堂氛圍，能激發(fā)學(xué)生的潛能. 學(xué)生在和諧、民主、自由的課堂中自主合作探究，不僅能充分張揚(yáng)學(xué)生的個(gè)性，還能有效地激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

案例1? “數(shù)軸”的教學(xué)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)在于數(shù)軸的建模及有理數(shù)與數(shù)軸一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的教導(dǎo). 照本宣科地進(jìn)行填鴨式教學(xué)，只會(huì)讓學(xué)生處于云里霧里的狀態(tài)，無法弄清概念的本質(zhì)，更談不上對(duì)概念的深刻理解. 而創(chuàng)設(shè)問題情境，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，是實(shí)施課堂導(dǎo)入的關(guān)鍵. 在設(shè)計(jì)問題情境之前，教師首先要思考：數(shù)軸教學(xué)的目的、作用以及生活意義是什么？只有弄清了這些問題，才能從真正意義上引導(dǎo)好學(xué)生.

基于以上思考，筆者在本節(jié)課教學(xué)時(shí)，創(chuàng)設(shè)了以下問題情境.

羽毛球館在學(xué)校大門東側(cè)40 m處，圖書館在羽毛球館東40 m處，小明從學(xué)校大門出發(fā)，先往西走了110 m，又折回來往東走了320 m，求小明在圖書館的什么位置？

這是一個(gè)與學(xué)生生活密切相關(guān)的問題，很快就吸引了學(xué)生的注意力，還沒等教師提出要求，不少學(xué)生已經(jīng)在草稿紙上圈圈畫畫，進(jìn)行探究了.

巡視過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維非?；钴S，各種表達(dá)方法都有，大部分學(xué)生選擇的是用線段圖來表示. 為了讓學(xué)生有一個(gè)明確的研究方向，教師可鼓勵(lì)學(xué)生先自主描述這個(gè)問題情境，然后統(tǒng)一要求學(xué)生在自己所畫的線上取一點(diǎn)為0點(diǎn)，而涉及的一些數(shù)據(jù)，則可用直線上的點(diǎn)來表示.

通過不斷地交流與修正，學(xué)生的意見逐漸趨于統(tǒng)一：以學(xué)校為0點(diǎn)，學(xué)校往東作為正數(shù)方向，學(xué)校往西作為負(fù)數(shù)方向，并選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為單位. 如此，在這個(gè)問題情境的驅(qū)動(dòng)下，數(shù)軸的三要素已初見端倪. 學(xué)生在此探究過程中，不僅表現(xiàn)出了良好的主動(dòng)思考、探究的能力，還對(duì)數(shù)軸的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了良好的情感傾向.

2. 歸納類比，形成概念

有些數(shù)學(xué)概念相對(duì)抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定難度. 但仔細(xì)分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間存在一些關(guān)聯(lián)性，根據(jù)這個(gè)特征，將學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊知與新知進(jìn)行類比教學(xué)，往往能實(shí)現(xiàn)知識(shí)由此及彼的遷移，達(dá)到良好的教學(xué)效果.

初中階段涉及的概念較多，如函數(shù)、不等式等，雖然類型繁多，但知識(shí)之間確實(shí)存在一定的聯(lián)系，抓住這些聯(lián)系就為教學(xué)提供了類比的條件. 從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過類比的方式，將已知遷移到未知的領(lǐng)域中，并類比分析、歸納總結(jié)，即可突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，提高教學(xué)成效.

類比是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，除了在概念教學(xué)中應(yīng)用得較多，在解題中也有大量使用. 因此，教師應(yīng)從思想上重視這種方法的應(yīng)用，并從行動(dòng)上加強(qiáng)對(duì)這種方法的探究. 值得注意的是，教師應(yīng)從思維上形成一個(gè)認(rèn)識(shí)：類比就是類比推理，它是知識(shí)的遷移過程，而非兩個(gè)或兩類知識(shí)的差異性比較.

案例2? “反比例函數(shù)”的概念教學(xué)

在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)后，筆者特設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)問題，讓學(xué)生進(jìn)行類比推理與概括.

問題1：觀察以下四個(gè)表達(dá)式，y=，y=7a+20，y=3.8n，t=，并思考以下問題.

（1）以上四個(gè)表達(dá)式中，分別有幾個(gè)變量？

（2）每個(gè)式子中的變量之間有沒有關(guān)系？若有，說一說其中的聯(lián)系.

（3）我們一般應(yīng)用哪些模型來研究變量間的關(guān)系？

（4）你們對(duì)這些函數(shù)熟悉嗎？

（5）能否為不熟悉的函數(shù)起個(gè)名字？

設(shè)計(jì)意圖? 循序漸進(jìn)的問題串，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)產(chǎn)生更為直觀、深刻的認(rèn)識(shí)，學(xué)生通過一次函數(shù)與正比例函數(shù)的回顧，再次體會(huì)函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而將這種關(guān)系遷移到反比例函數(shù)中. 隨著認(rèn)知矛盾的產(chǎn)生，學(xué)生自然而然地產(chǎn)生了進(jìn)一步探究的想法，隨著新舊知識(shí)的類比概括，學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的概念產(chǎn)生了初步的認(rèn)識(shí).

問題2：大家回憶一下，當(dāng)初研究一次函數(shù)的時(shí)候，是從哪些方面著手進(jìn)行分析的？如果要研究反比例函數(shù)，該從何處著手呢？

問題3：觀察問題1中所提供的反比例函數(shù)解析式，它們之間存在哪些異同點(diǎn)？（分組合作）

問題4：通過以上的類比與總結(jié)，大家對(duì)反比例函數(shù)的解析式所具備的公共特征已有所了解，現(xiàn)在請(qǐng)大家根據(jù)正比例函數(shù)的定義，推導(dǎo)出反比例函數(shù)的定義.

隨著以上問題的逐個(gè)擊破，學(xué)生獲得反比例函數(shù)的定義為：形如y=（k≠0，且為常數(shù)）的函數(shù). 教師強(qiáng)調(diào)：x為自變量，y為x的函數(shù)，k為反比例系數(shù).

任何一種函數(shù)思想方法的研究，首先是概念的研究，讓學(xué)生對(duì)概念的圖象與性質(zhì)產(chǎn)生清晰的認(rèn)識(shí)后，再學(xué)會(huì)運(yùn)用概念來解決相應(yīng)的問題［2］. 以問題引導(dǎo)與類比歸納的方法，意在幫助學(xué)生將舊知的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行加工，遷移到新知的學(xué)習(xí)中. 同時(shí)，類比、歸納思想的應(yīng)用，使得學(xué)生大概了解了研究函數(shù)問題的通用方法，為今后研究其他函數(shù)做鋪墊.

根據(jù)本例可知，緊扣知識(shí)內(nèi)部聯(lián)系，不僅能順利實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，還能有效地發(fā)展學(xué)生的思維，讓學(xué)生通過一個(gè)問題的研究獲得解決一類問題的能力. 因此，類比歸納，獲得概念的過程是概念教學(xué)的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)學(xué)生形成良好學(xué)習(xí)能力的基礎(chǔ)，更是促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)形成的基本條件.

3. 揭示內(nèi)涵，深化概念

在學(xué)生對(duì)概念有了明確的認(rèn)識(shí)后，接下來的教學(xué)任務(wù)就是揭示概念的內(nèi)涵與外延，讓學(xué)生全方位地認(rèn)識(shí)與理解概念，為概念的靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ). 如何揭示概念的內(nèi)涵，這是廣大教育者一直探索的問題，也是令不少教師感到困惑與棘手的問題之一. 為此，筆者針對(duì)這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)做過多方面的嘗試. 實(shí)踐證明，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、引用概念的發(fā)展史、多角度分析概念等方法是揭示概念內(nèi)涵的有效措施.

案例3? “無理數(shù)”的教學(xué)

為了揭示無理數(shù)的內(nèi)涵，讓學(xué)生感知無理數(shù)的特征，筆者特以認(rèn)識(shí)為例，引導(dǎo)學(xué)生感知揭示概念內(nèi)涵的過程，以深化學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的理解.

分析：縱觀的形成與發(fā)展歷史過程，在很早之前就出現(xiàn)了的近似值，但較晚才證明它無法用分?jǐn)?shù)的形式來表達(dá). 從認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的角度分析，初中階段學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，能對(duì)有理數(shù)產(chǎn)生比較合理的認(rèn)識(shí)，但對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)卻處于一個(gè)模糊的狀態(tài). 結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，教授有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從近似值的角度出發(fā)，感知其無限不循環(huán)的小數(shù)特征，而非通過邏輯證明的方式來理解.

問題1：一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，它的面積為x2. 若x的值為1，那么該正方形的面積為x2=1（x<2）；若x的值為2，那么該正方形的面積為x2=4（x=2）；若該正方形的面積為x2=2，那么x=，這個(gè)到底是多長(zhǎng)呢？大家分析一下，是大于2還是小于2？

生1：我認(rèn)為應(yīng)介于1，2之間.

師：介于1，2之間的數(shù)有很多，到底是哪個(gè)數(shù)呢？

生2：不對(duì)，我剛剛計(jì)算了，1.5的平方為2.25，該值顯然大于2.

生3：1.42=1.96，小于2.

師：由此能說明什么？

生4：可見x是大于1.4的.

師：非常好！根據(jù)以上方法，我們可利用“二分法”無限計(jì)算，所獲得的值會(huì)越來越接近. 如圖2所示，這些數(shù)沒有規(guī)律可循，不是無限循環(huán)小數(shù)，因此無法用分?jǐn)?shù)表示，由此我們將此類數(shù)稱為什么數(shù)？在這里表示什么？

生5：這類數(shù)就是無理數(shù)，在這里表示面積為2的正方形的邊長(zhǎng).

師：非常好，這就是所蘊(yùn)含的幾何意義. 你們知道根號(hào)的由來嗎？

（學(xué)生搖頭，并充滿渴望地望著老師）

師：在拉丁語中，根為radix；在英語中，根為root，這兩者的首字母都是“r”，16世紀(jì)的斯蒂文和路多爾夫兩人將“r”變形成了根號(hào). 到17世紀(jì)，法國的笛卡爾在原來的基礎(chǔ)上，將根號(hào)進(jìn)行了完善，形成了今天我們所熟悉的“”. 現(xiàn)在請(qǐng)大家觀看無理數(shù)歷史發(fā)展的視頻. （播放微視頻）

設(shè)計(jì)意圖? ①利用“二分法”估算的大小，其目的在于讓學(xué)生深刻體會(huì)無理數(shù)不是無限循環(huán)小數(shù)，無法用分?jǐn)?shù)來表示，從本源上將有理數(shù)和無理數(shù)進(jìn)行了區(qū)分. ②引用正方形面積來理解，是為了讓學(xué)生感知算術(shù)平方根的幾何意義，由此滲透了重要的數(shù)形結(jié)合思想，并讓學(xué)生體會(huì)并非所有帶“”的數(shù)都是無理數(shù). ③介紹根號(hào)的形成史，是為了讓學(xué)生體會(huì)生活與數(shù)學(xué)的關(guān)系，數(shù)學(xué)概念是由生活實(shí)際抽象而來的，最后又反過來為更好地生活服務(wù). 微視頻的播放，能有效地激發(fā)學(xué)生對(duì)概念學(xué)習(xí)的興趣.

此教學(xué)過程，教師將教材知識(shí)進(jìn)行了重新整合，通過一定的教學(xué)手段，凸顯了有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別，深化了學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的認(rèn)識(shí). 這種教學(xué)設(shè)計(jì)不僅讓學(xué)生感知了概念的產(chǎn)生與發(fā)展過程，對(duì)無理數(shù)的本源產(chǎn)生了理解，還讓學(xué)生深刻體會(huì)了知識(shí)的衍生、發(fā)展，以及與生活的聯(lián)系.

教育的本質(zhì)是“教書育人”，知識(shí)的重要性，不言而喻，而“育人”的理念，可滲透到課堂的每個(gè)角落. 微視頻的播放，激趣的同時(shí)，還讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)概念從無到有，逐漸完善的過程，知道我們所熟知的知識(shí)并非是天上掉下來的，而是經(jīng)歷了一個(gè)艱辛的探究與發(fā)展歷程，體會(huì)在追求真理的學(xué)習(xí)道路上，只有保持堅(jiān)持不懈、孜孜不倦、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，不斷地克服困難，才能實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍.

李邦河院士提出：概念是數(shù)學(xué)的根本，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)玩的是概念，而非技巧［3］. 縱觀近些年的中考試題，很多新穎的命題都源自概念，又高于概念. 因此，教師應(yīng)從思想上重視概念教學(xué)，深入挖掘與探究概念的內(nèi)涵與外延，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有深遠(yuǎn)的影響.

參考文獻(xiàn)：

［1］曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

［2］李興貴，王富英.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基本過程［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，53 （02）：5-8.

［3］李邦河. 數(shù)的概念的發(fā)展［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（08）：1-3，9.