Gb-(p,r)-E-半預(yù)不變凸多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件

祁鈺, 高曉艷

(西安科技大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710600)

0 引言

從20世紀(jì)70年代以來,人們對多目標(biāo)規(guī)劃的探索研究給予了極大的關(guān)注和重視。到目前為止,各種凸函數(shù)及其推廣在多目標(biāo)規(guī)劃中也得到了廣泛應(yīng)用。許多學(xué)者在這方面進行了研究。

1981年,Hanson[1]首次引入了不變凸函數(shù)。接著,許多研究學(xué)者對不變凸函數(shù)進行了推廣,定義了(p,r)-ρ-(η,θ)-不變凸函數(shù)、B-(p,r,α)-不變凸函數(shù),并分別研究了相應(yīng)的多目標(biāo)分式規(guī)劃、廣義分式規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃等問題的最優(yōu)性條件以及相應(yīng)的Wolfe對偶模型的對偶問題[2-5]。

1999年,Youness[6]推廣了凸函數(shù),首次提出了E-凸集和E-凸函數(shù);2006年,覃義等[7]指出了文獻[6]的錯誤所在并予以了調(diào)整更正;之后半E-預(yù)不變凸函數(shù)被提出[8];文獻[9-13]定義了不同的廣義凸函數(shù),并對其性質(zhì)、對偶性以及最優(yōu)性條件等進行了研究。

2009年,Antczak[14-15]定義了G-不變凸函數(shù),并證明了多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件和若干對偶定理;之后關(guān)于G-不變凸函數(shù)的推廣日漸出現(xiàn),G-V-不變凸函數(shù)、(G-V,ρ)-不變凸函數(shù)被科學(xué)地定義,并證明了有關(guān)最優(yōu)性條件及對偶結(jié)果[16-19]。2022年,江柳等[20]提出了G-B-(p,r,α)-不變凸函數(shù),討論了多目標(biāo)規(guī)劃問題的幾個最優(yōu)性條件。

本文在文獻[13,20]的基礎(chǔ)上,給出了Gb-(p,r)-E-半預(yù)不變凸函數(shù)的概念,根據(jù)所提出的定義,研究了相關(guān)多目標(biāo)規(guī)劃問題,并證明了幾個最優(yōu)性條件。

1 預(yù)備知識及函數(shù)定義

首先,引入以下幾個符號:

在n維實向量空間Rn中,對于x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈Rn,有以下定義:

①x=y?xi=yi,i=1,2,…,n,

②x>y?xi>yi,i=1,2,…,n,

③x≧y?xi≧yi,i=1,2,…,n,

④x≥y?xi≧yi,i=1,2,…,n,但至少存在一個k∈{1,2,…,n},使得xk>yk,即x≠y。

下面回顧一些相關(guān)知識。

定義1[20]設(shè)X?Rn是非空子集,若存在η:X×X×[0,1]→Rn{0},α:X×X→R{0},E:X→X,使得對于?x,y∈X,?λ∈[0,1]有

E(y)+λα(E(x),E(y))η(E(x),E(y),λ)∈X,

則稱X是關(guān)于η和α的α-E-半不變凸集。

定義2[20]設(shè)X?Rn是α-E-半不變凸集,函數(shù)f:X→R,如果存在η:X×X×[0,1]→Rn{0},α:X×X→R{0},對于?x,y∈X(E(x)≠E(y)),?λ∈[0,1]有

f(E(y)+λα(E(x),E(y))η(E(x),E(y),λ))≤(<)λf(E(x))+(1-λ)f(E(y)),

定義4稱函數(shù)f=(f1,f2,…,fq):X→Rq在α-E-半不變凸集X上是局部Lipschitz的,若存在一個正數(shù)k和x的鄰域N(x),對?x,y∈X,有

|f(E(x))-f(E(y))|≤k‖E(x)-E(y)‖。

如果f=(f1,f2,…,fq):X→Rq是局部Lipschitz的,則函數(shù)f在E(x)處沿方向E(d)的Clark廣義方向?qū)?shù)和Clark廣義梯度分別定義為

?f(E(x))={ξ∈Rn|〈ξ,E(d)〉≤f0(E(x);E(d)),?d∈Rn}。

基于α-E-半預(yù)不變凸函數(shù)和G-B-(p,r,α)-不變凸函數(shù),本文定義了一類新的廣義凸函數(shù)。

本文均假設(shè)X?Rn是一個非空α-E-半不變凸集,f=(f1,f2,…,fq):X→Rq,fi(i=1,2,…,q)是定義在X上的局部Lipschitz函數(shù),Ifi(x)為fi的值,p、r是任意實數(shù),G=(Gf1,Gf2,…,Gfq):R→Rq,Gfi:Ifi(x)→R是嚴(yán)格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù),有向量函數(shù)η,θ:X×X→Rn,函數(shù)bi:X×X→R+和常數(shù)

記I=(1,1,…,1)T∈Rn。

定義5如果存在函數(shù)G:R→Rq,向量函數(shù)η,θ:X×X→Rn,函數(shù)bi:X×X→R+和常數(shù)

使得對?x∈X,有

定義6如果存在函數(shù)G:R→Rq,向量函數(shù)η,θ:X×X→Rn,函數(shù)bi:X×X→R+和常數(shù)

使得對?x∈X,有

定義7如果存在函數(shù)G:R→Rq,向量函數(shù)η,θ:X×X→Rn,函數(shù)bi:X×X→R+和常數(shù)

使得對?x∈X,有

注1相較于Gb-(p,r)-E-半預(yù)不變凸函數(shù)的定義,Gb-(p,r)-E-半預(yù)不變凹函數(shù)的定義應(yīng)將定義5中的不等式換為

注2接下來將在p≠0,r≠0的情況下進行證明,其他情況下的證明與之類似。

2 最優(yōu)性條件

將研究α-E-半預(yù)不變凸多目標(biāo)規(guī)劃問題(VP):

其中E:X→X,且X?Rn是關(guān)于η和α的α-E-半不變凸集:

且fi、gj、ht是X上的局部Lipschitz函數(shù)。 (VP)的可行域記為

X0={x∈X|g(E(x))≦0,h(E(x))=0}。

用

表示對應(yīng)的拉格朗日乘子分別為正、負(fù)的等式約束指標(biāo)集。

定義8設(shè)x0∈X0,如果不存在x∈X0,使得f(x)

本節(jié)將研究涉及Gb-(p,r)-E-半預(yù)不變凸函數(shù)的多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件。

① 存在λ=(λ1,λ2,…,λq)>0,μ=(μ1,μ2,…,μm)≧0使得:

i=1,2,…,q,因函數(shù)Gfi:Ifi(x)→R是嚴(yán)格單調(diào)遞增可微實值函數(shù),則

所以

(1)

結(jié)合式(1)可得

又λi>0,所以

(2)

有

因為μ=(μ1,…,μm)≧0,所以

所以

又μj≧0,得

(3)

那么對任意t∈T,都有

因為h(E(x))=0,所以

再將所得l個式子相加得

(4)

將式(2)、(3)、(4)相加得

由條件a)知,存在

使得

① 存在λ=(λ1,λ2,…,λq)>0,μ=(μ1,μ2,…,μm)≧0使得:

證明由定理1知

又因為λi>0,所以

(5)

由定理1知,

函數(shù)gj是非可微Gb-(p,r)-E-半預(yù)不變擬凸函數(shù),所以

因為μj≧0,得

(6)

由定理1知,

(7)

將式(5)、(6)、(7)相加得

由條件a)知,存在

使得

3 總結(jié)

本文介紹了Gb-(p,r)-E-半預(yù)不變凸函數(shù),它是α-E-半預(yù)不變凸函數(shù)和G-B-(p,r,α)-不變凸函數(shù)定義的推廣。除此之外,還研究了一類多目標(biāo)規(guī)劃問題,這些問題涉及本文所介紹的Gb-(p,r)-E-半預(yù)不變凸函數(shù),并證明了其可行解是弱有效解的若干最優(yōu)性結(jié)果。之后,還將繼續(xù)研究多目標(biāo)規(guī)劃問題的對偶模型,證明其對偶定理等。