理清關(guān)系，建立模型

文／劉紀(jì)明

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。用二元一次方程組解決實(shí)際問題，需要經(jīng)歷這樣的思維過程：用數(shù)學(xué)的眼光尋找實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系→用數(shù)學(xué)思維建立數(shù)量之間的邏輯聯(lián)系→用數(shù)學(xué)語言描述并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。下面我們列舉幾類與生活相關(guān)的題目，以幫助同學(xué)們理解。

一、實(shí)物信息題

例1體育器材室有A、B兩種型號(hào)的實(shí)心球。2 只A型球與3 只B型球的質(zhì)量共18 千克；3 只A型球與1 只B型球的質(zhì)量共13 千克。每只A型球、B型球的質(zhì)量分別是多少？

這是一道相對(duì)簡單的實(shí)際問題，我們可以從題目中直接找到描述數(shù)量之間的相等關(guān)系的兩個(gè)語句，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等量關(guān)系式。等量關(guān)系簡寫為：（1）2A+3B=18，（2）3A+1B=13。根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系式，可以設(shè)未知數(shù)，列方程組。

解：設(shè)每只A型球、B型球的質(zhì)量分別是x千克、y千克。

答：每只A型球、B型球的質(zhì)量分別是3千克、4千克。

這是二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用中常見的基礎(chǔ)情境，表示相等關(guān)系的語句是“并列式”呈現(xiàn)的，數(shù)量關(guān)系一目了然。

二、圖表方案題

例2如圖1，用8 塊相同的長方形地磚拼成一個(gè)大長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？

圖1

相對(duì)于問題1 中“顯性”的相等關(guān)系來說，這一情境中的相等關(guān)系“隱藏得夠深”，題設(shè)中沒有提及任何數(shù)量關(guān)系，需要我們從提供的圖形中“挖掘”。分析后不難發(fā)現(xiàn)：（1）每塊長方形地磚的長、寬之和為60cm；（2）每塊長方形的長是寬的3倍。

解：設(shè)每個(gè)長方形的長為xcm，寬為ycm。

答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm。

幾何問題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列方程求解。

例3郵購每冊(cè)6元的某種雜志，郵寄費(fèi)和優(yōu)惠率如表1。兩次郵購這種雜志共200冊(cè)，總計(jì)金額1140 元。那么，兩次郵購雜志各多少冊(cè)？

表1

這道題目是蘇科版數(shù)學(xué)教材七（下）中的問題，部分信息采用表格的形式呈現(xiàn)，數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜。假設(shè)兩次都是100 冊(cè)，則總費(fèi)用為2×100×6×90%=1080＜1140，所以一次郵購的冊(cè)數(shù)少于100，另一次多于100。我們可以列表來分析問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，如表2。

表2

解：設(shè)兩次郵購雜志分別為x冊(cè)、y冊(cè)。由題意得：

答：兩次郵購雜志分別為50冊(cè)、150冊(cè)。

當(dāng)數(shù)量較多且關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，我們可以采用列表的方法理清數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到化繁為簡、水到渠成的效果。

三、行程問題

例4甲、乙兩地相距200km，一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)由甲、乙兩地出發(fā)相向而行，1h20min 后相遇，相遇后，摩托車?yán)^續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留一刻鐘后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，又用了半小時(shí)追上摩托車（摩托車未到達(dá)甲地）。這時(shí)，汽車、摩托車各自行駛了多少千米？

此題的基本數(shù)量關(guān)系是：速度×?xí)r間=路程。對(duì)于該類型題目，我們可以借助線型示意圖來分析題目中的數(shù)量關(guān)系，如圖2。

圖2

答：汽車、摩托車分別行駛了165 千米、125千米。

解決此類行程問題，關(guān)鍵是借助線型示意圖將問題情境呈現(xiàn)出來，這樣可以使得數(shù)量關(guān)系清晰直觀，從而建立相應(yīng)的模型。