一道教材例題的“變身”

文／尹雪蔓

數(shù)學(xué)解題不應(yīng)只局限于一道題目的本身，而應(yīng)能比較類似的題目，用變化的眼光去發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，在比較中深化對(duì)知識(shí)的理解，掌握解題方法，提高舉一反三和靈活應(yīng)變的能力。

原題呈現(xiàn)（蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第69 頁(yè)例3）已知：如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE=CF。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

圖1

【分析】我們可以利用“平行四邊形的性質(zhì)→尋找三角形全等→線段和角相等→判定平行四邊形”的思路解決問(wèn)題。

證法一：根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)定理可知AB=CD，根據(jù)平行四邊形的定義可知AB//CD，所以∠BAE=∠DCF。又因?yàn)锳E=CF，所以△ABE≌△CDF（SAS），所以BE=DF，∠BEA=∠DFC。根據(jù)“等角的補(bǔ)角相等”可得∠BEF=∠DFE，所以四邊形EBFD是平行四邊形。

證法二：同“證法一”可證得BE=DF。同理，通過(guò)證明△ADE≌△CBF（SAS）得到DE=BF，所以四邊形EBFD是平行四邊形。

教材中給予的解法是利用“對(duì)角線互相平分”的判定定理來(lái)證明。其實(shí)質(zhì)是想告訴我們，解決本題，除了“尋找”全等三角形，還可以“構(gòu)造”全等三角形。如圖2，連接BD，BD交AC于點(diǎn)O，構(gòu)造出三角形（△BEO、△BFO、△DEO、△DFO），并證明所構(gòu)造的三角形全等（△BEO≌△DFO、△BFO≌△DEO），進(jìn)而通過(guò)線段和角相等來(lái)證明平行四邊形。

圖2

變式1已知：如圖3，在?ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

圖3

【解析】變式1 是將原例題中的“AE=CF”變成了“BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E、F”。此時(shí)，我們只需連接BD，直接證明△BOE≌△DOF，得出對(duì)應(yīng)線段和角的相等關(guān)系，從而證明平行四邊形。

變式2已知：如圖4，在?ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E、F。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

圖4

【解析】變式2 是將原例題中的“AE=CF”變成了“∠ABC、∠ADC的平分線分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E、F”，同變式1 一樣，只是條件改變，證明方法類似（連接BD）。

變式3如圖5，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在OB和OD上。

圖5

（1）當(dāng)BE、DF滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)∠AEB與∠CFD滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。

【解析】此題由原例題的條件“AE=CF”變成了第（1）問(wèn)的答案“BE=DF”，第（2）問(wèn)也可以通過(guò)上述幾個(gè)變式的經(jīng)驗(yàn)得到結(jié)論（相等）。通過(guò)上述幾道變式，我們可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E、F的位置是解題的關(guān)鍵，其變化的本質(zhì)特征是點(diǎn)E、F關(guān)于對(duì)角線交點(diǎn)O對(duì)稱。

同學(xué)們要重視教材上的例題和習(xí)題，學(xué)會(huì)從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律。

拓展1已知：如圖6，點(diǎn)E、F分別是?ABCD對(duì)角線AC所在直線上的兩點(diǎn)，且AE=CF。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

圖6

【解析】本題是圖1 的拓展，點(diǎn)E、F的位置從“對(duì)角線上”變化為“對(duì)角線所在的直線線上”。證明方法類似，在此不再贅述。

拓展2如圖7，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=15cm。點(diǎn)E、F分別是線段OA、OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s 的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)。若點(diǎn)E、F同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EBFD是平行四邊形？

圖7

【解析】本題是把定點(diǎn)問(wèn)題變成了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。此時(shí)，我們可以根據(jù)已探究出的問(wèn)題本質(zhì)“只要確保點(diǎn)E、F關(guān)于對(duì)角線交點(diǎn)O對(duì)稱”，即可判定平行四邊形。