柔性基座冗余機械臂的最優(yōu)反作用控制

尹旺,王翔,王為,劉冬雨

北京空間飛行器總體設(shè)計部,北京 100094

1 引言

為了提升機械臂的綜合性能如快速響應(yīng)、高精度和大負載,世界各航天大國開展了宏微機械臂的研制工作[1-3],文獻[4]綜述了空間宏微機械臂的控制方式。為了減輕機械臂自重、節(jié)約發(fā)射成本,臂桿一般采用輕型、細長的碳纖維材料,因此宏機械臂輕質(zhì)、大跨度的特點使其表現(xiàn)出柔性特性[5-7]。宏微機械臂通常采用分時獨立的控制方式,因此微機械臂操作時宏機械臂相當于柔性的被動支撐結(jié)構(gòu),后文稱為柔性基座機械臂。

機械臂與柔性基座之間存在動力學耦合,機械臂的運動會激起柔性基座的振動,基座的振動反過來又會影響機械臂末端精度[8-9]。為解決此問題,文獻[10]基于動量守恒原理推導了柔性基座機械臂的耦合矩陣,并據(jù)此提出了耦合圖的概念,從能量傳遞的角度揭示了機械臂運動與基座振動之間的動力學耦合關(guān)系。文獻[11-12]對柔性基座機械臂“點到點”的運動進行了軌跡規(guī)劃研究,關(guān)節(jié)軌跡函數(shù)采用多項式函數(shù)和擺線函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù),以基座的振動幅值和機械臂操作能量作為目標函數(shù),基于多目標優(yōu)化技術(shù)對待定參數(shù)進行優(yōu)化從而得到了最優(yōu)軌跡曲線。

文獻[13]利用微機械臂運動產(chǎn)生的慣性力對柔性基座進行了主動阻尼控制。文獻[14]提出了一種改進的主動阻尼控制方案,提高了軌跡跟蹤誤差的收斂速度,同時對基座的抑振效果更好。

文獻[15]首次將反作用零空間的概念引入到柔性基座機械臂系統(tǒng)中,零反作用的控制法能使微機械臂與柔性基座完全解耦,即機械臂在完成運動的同時不對基座產(chǎn)生任何擾動。文獻[16]將Nenchev提出的算法成功應(yīng)用到JEMRMS/SFA系統(tǒng),該系統(tǒng)前3個關(guān)節(jié)視為柔性基座,后9個關(guān)節(jié)視為微機械臂,仿真結(jié)果證實了算法對于真實系統(tǒng)的適用性。文獻[17]又將反作用零空間運動控制應(yīng)用到德國類人型機器人,并開展了實驗研究。

雖然零反作用的控制法能使微機械臂與柔性基座完全解耦,但由于系統(tǒng)中非線性問題突出,振動抑制和零反作用的末端跟蹤控制算法只在很小的工作空間內(nèi)適用。另外,反作用零空間的控制法對微機械自由度的要求很高,微機械臂相對于柔性基座的冗余度應(yīng)大于操作空間維數(shù),否則方法失效,原因是零反作用法將反作用最優(yōu)作為主要任務(wù),而軌跡跟蹤作為次要任務(wù)。因此,有人將軌跡跟蹤作為主要任務(wù),反作用優(yōu)化作為次要任務(wù)開展了研究[18-19]。

文獻[20]基于拉格朗日乘子法和最小二乘推導得到冗余機械臂的反作用最優(yōu)控制法。文獻[21]利用機械臂的運動學冗余特性減小了機械臂機動激起的基座振動,基于激振最小化和基座能量衰減的方法都屬于局部優(yōu)化,在對基座振動幅值優(yōu)化時可能使得機械臂關(guān)節(jié)速度過大從而造成系統(tǒng)失穩(wěn)。文獻[22]對柔性基座冗余機械臂系統(tǒng)進行了最優(yōu)反作用控制,分別以基座反作用力最小、基座能量衰減以及兩者綜合最優(yōu)為目標,為冗余機械臂的自運動項設(shè)計了控制律。

通常情況下,系統(tǒng)中柔性坐標遠大于機械臂的冗余度,因此基于最小二乘法求得的自運動項不能完全消除機械臂剛性運動產(chǎn)生的激振力?？紤]到柔性系統(tǒng)響應(yīng)的幅值主要由低階模態(tài)決定,將柔性機械臂系統(tǒng)的振動方程從物理空間轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間,在保證機械臂末端軌跡跟蹤的前提下,文獻[23]利用冗余機械臂在零空間的自運動消除了系統(tǒng)中的低階的模態(tài)力,從而減小了機械臂剛性運動過程中激起的彈性位移,提高了末端跟蹤精度。國內(nèi)方面,文獻[24]也開展過類似研究。

前人對柔性機械臂的研究多以簡單的平面二連桿、三連桿機械臂為研究對象。本文以空間站柔性基座冗余機械臂為研究對象,對剛性微機械臂在運動零空間的自運動進行合理設(shè)計,從而使微機械臂在完成軌跡跟蹤的同時使基座受到的擾動最小。

2 柔性基座機械臂建模

若剛性微機械臂關(guān)節(jié)個數(shù)為n,基座柔性自由度為m,則根據(jù)第二類拉格朗日方程求得柔性基座機械臂動力學方程為[25]:

(1)

將式(1)展開得到柔性基座的彈性振動方程為:

(2)

(3)

式中:Jb為和機械臂基座運動相關(guān)的雅克比矩陣,Jm為和機械臂關(guān)節(jié)運動相關(guān)的雅克比矩陣,也是地面固定基機械臂的雅克比矩陣。

式(3)對時間求導得到機械臂末端加速度與關(guān)節(jié)角加速度之間的關(guān)系為:

(4)

柔性基座不具備控制能力,因此由式(4)得到機械臂加速度級的逆運動學表達式為:

(5)

3 冗余機械臂的自運動控制

3.1 基于PD控制律的軌跡跟蹤

當機械臂末端跟蹤任務(wù)空間的期望軌跡時,可采用簡單的PD控制律:

(6)

式(6)代入式(5)即可得到關(guān)節(jié)加速度級的控制律為:

(7)

若不考慮機械臂的自運動,即令機械臂的自運動矢量ε=0,得到最小范數(shù)解:

(8)

式(8)代入式(1)并展開,得到機械臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的控制律為:

3.2 偽逆形式的冗余解

通常情況下,微機械臂的末端位姿控制是其主要任務(wù),反作用優(yōu)化及振動抑制為次級任務(wù),次級任務(wù)的實施應(yīng)以不影響主要任務(wù)為前提。當微機械臂相對操作空間具有冗余度時,為次級任務(wù)的實現(xiàn)提供了條件,即在微機械臂的運動零空間內(nèi)實現(xiàn)對次級任務(wù)進行優(yōu)化。

目標函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為如下形式:

當自運動項矢量ε滿足如下關(guān)系時可使目標函數(shù)值達到最小,此時微機械臂產(chǎn)生的反作用力完全被消除:

HbmZε=

(9)

式(9)表示具有ρ個未知數(shù)的m個代數(shù)方程,rank(HbmZ∈Rm×ρ)=min(m,ρ),rank表示矩陣的秩。通常情況下,微機械臂的冗余自由度ρ遠小于柔性基座的自由度m,因此HbmZ不可逆,為了得到自運動矢量的表達式用偽逆代替求逆,于是得到最小二乘意義下的自運動項系數(shù):

(10)

式(10)代入式(7)中,得到基于關(guān)節(jié)角加速度的控制律為:

(11)

由于基座的柔性自由度數(shù)遠大于機械臂的冗余自由度數(shù),最小二乘意義的逆解不能完全消除機械臂剛性運動產(chǎn)生的反作用力/力矩,當機械臂的冗余自由度ρ等于基座的柔性自由度m時HbmZ滿秩,基于式(9)可求得ε的唯一解,此時利用微機械臂的自運動項可完全消除反作用力,該方法對微機械臂的冗余度要求較高,在工程實際中難以實現(xiàn)。

3.3 模態(tài)空間的冗余解

由結(jié)構(gòu)動力學理論知,多自由度結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)主要由低階主振型決定,而高階模態(tài)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響很小。基于模態(tài)變換技術(shù)將系統(tǒng)的振動方程轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間,然后利用機械臂的冗余特性消除低階主模態(tài)力,當機械臂具有ρ個冗余自由度時,利用該冗余自由度可以消除振動系統(tǒng)中的前ρ階主模態(tài)力。

式(1)兩邊同時左乘Γ*T,并引入坐標變換xb=Φ*ξ,若不計外力,柔性基座機械臂系統(tǒng)在模態(tài)空間的動力學方程為:

(12)

式(12)展開后得到柔性基座在模態(tài)空間的振動方程:

(13)

為得到模態(tài)坐標下的初始條件,可作如下變換:

(14)

式(7)代入式(13)中,得到柔性基座前ρ階模態(tài)力的表達式為:

(15)

(16)

式(16)代入式(7)即可得到機械臂關(guān)節(jié)加速度級的控制律:

(17)

由于低階模態(tài)是影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)的主要因素,當微機械臂冗余度為ρ時,可利用微機械臂的自運動項使其產(chǎn)生的前ρ階模態(tài)力為零。此時剩余的高階模態(tài)力對結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)很小,從而使得微機械臂在執(zhí)行任務(wù)過程中激起的基座振幅很小。

4 仿真分析

4.1 平面3自由度機械臂

平面內(nèi)的3連桿機械臂安裝在柔性基座上,柔性基座具有2個平動自由度和1個轉(zhuǎn)動自由度(如圖1所示),機械臂系統(tǒng)各參數(shù)參見文獻[22]。令機械臂末端跟蹤一條圓心為(4.953,-0.305)、半徑為r=0.6m的半圓軌跡,軌跡起點為(5.553,-0.297),終點為(4.353,-0.297),不考慮機械臂末端姿態(tài)的變化,則3自由度機械臂有一個冗余自由度,分別基于式(8)、式(11)和式(17)對機械臂進行軌跡跟蹤控制,下文稱之為最小范數(shù)解、偽逆形式冗余解和模態(tài)空間冗余解,仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖1 平面3自由度柔性基座機械臂Fig.1 Planner 3DOF manipulator with flexible base

由圖2知,最小范數(shù)解可使機械臂各關(guān)節(jié)以最小的運動量完成軌跡跟蹤任務(wù),但此時機械臂運動產(chǎn)生的各階模態(tài)力幅值相當,基座的第一階模態(tài)坐標幅值明顯大于其他兩階。由圖3知,采取偽逆解時,第一階模態(tài)力的幅值有所下降,但是仍然不為零。由圖4知,采取模態(tài)空間的冗余解時,機械臂運動產(chǎn)生的第一階模態(tài)力和基座的第一階模態(tài)坐標幾乎完全為零。

圖2 基于最小范數(shù)解的運動控制Fig.2 Motion control of minimum norm

圖3 基于偽逆的運動控制Fig.3 Motion control of pseudo-inverse resolution

圖4 基于模態(tài)空間冗余解的運動控制Fig.4 Motion control of redundancy resolution in modal space

柔性基座3個自由度的振動位移如圖5所示。由圖知基座沿x軸向的抑振效果不明顯,原因在于基座沿x軸向的位移主要由第二階模態(tài)坐標決定。而該仿真模型只有1個冗余度,因此利用該冗余度只消除了第一階模態(tài)力。相比于最小范數(shù)解,基于偽逆解的仿真結(jié)果沿著y軸和繞z軸的最大位移分別降低了49%、68%,而相比于偽逆解,消除第一階模態(tài)力的仿真結(jié)果沿x軸、y軸和z軸的最大彈性位移分別降低了38%、95%、51%。

圖5 基座各方向的振動位移對比Fig.5 Vibration comparison of base in all directions

由此可見,通過對冗余機械臂的自運動矢量設(shè)計合適的控制律可降低柔性基座所受到的擾動。當機械臂的冗余度越高時,借助冗余臂的自運動可消除更多階的模態(tài)力,從而基座受到的擾動更加不明顯,基座的振幅越小,則機械臂末端的操作精度也越高。該算例對具有1個冗余自由度的柔性基座機械臂進行了抑振分析,下面算例對多個冗余自由度的情形進行仿真分析。

4.2 空間7自由度機械臂

以空間柔性基座機械臂為例進行仿真,微機械臂具有7個自由度,柔性基座具有6個自由度(見圖6),機械臂參數(shù)見文獻[26]。不考慮機械臂末端姿態(tài)變化,令其跟蹤一條三維空間內(nèi)的直線,從(1.605,-2.3657,-3.1465)運動到(0.605,-1.3657,-2.1465),通過對冗余機械臂的自運動矢量進行優(yōu)化設(shè)計,使基座擾動最優(yōu)。

圖6 空間七自由度柔性基座機械臂Fig.6 Special 7 DOF manipulator with flexible base

圖7為不考慮冗余解的情況,圖8和圖9分別為消除第一階模態(tài)力和前二階模態(tài)力的結(jié)果,圖10為微機械臂運動激起的基座振動,圖11為柔性基座的6階固有頻率,圖12為消除前二階模態(tài)力的末端軌跡曲線。

由圖10可見,消除第1階模態(tài)力并不能明顯抑制基座的振動,而消除前兩階模態(tài)力抑振效果更加明顯。原因在于基座的前兩階固有頻率較小,且相差不大,因此前兩階模態(tài)是影響基座振動的主要因素。盡管基座的剛度矩陣不變,由于機械臂構(gòu)型的改變會引起基座慣性矩陣Hb(xb,θ)的改變,因此系統(tǒng)的固有頻率也相應(yīng)變化,由圖11知基座各階固有頻率的變化范圍不大,且前3階固有頻率變化極小,也說明對于時變的系統(tǒng)采用準靜態(tài)的方法獲取瞬時模態(tài)特性誤差較小。

圖7 最小范數(shù)運動控制Fig.7 Motion control of minimum norm

圖8 基于自運動消除第一階模態(tài)力Fig.8 Nullifying the first modal force utilizing

圖9 基于自運動消除前二階模態(tài)力Fig.9 Nullifying the first and second modal force utilizing self-motion

圖10 基座各方向振動位移Fig.10 Vibration comparison of base in all directions

續(xù)圖10Fig.10 Continued

圖11 柔性基座各階固有頻率Fig.11 Natural frequencies of flexible base

由仿真結(jié)果知,利用冗余機械臂自運動消除前2階模態(tài)力的方式比傳統(tǒng)的反作用優(yōu)化控制方法效果更好,x軸、y軸、z軸的最平動位移與最大轉(zhuǎn)動位移分別降低了88%、50%、96%、72%、40%、60%。另外,當剛性微機械臂的跨度比較大時,柔性基座的轉(zhuǎn)動位移比平動位移對微臂末端的精度影響更大。低階模態(tài)力是引起柔性結(jié)構(gòu)振動的最主要因素,因此當微機械臂運動產(chǎn)生的低階模態(tài)力消除后,剩余的高階模態(tài)力引起的彈性變形量會很小。當機械臂冗余度足夠高時,即冗余度不小于柔性基座自由度,理論上可實現(xiàn)零反作用運動控制。

5 結(jié)論

利用機械臂的冗余特性進行基座反作用優(yōu)化是一種行之有效的方法,本文針對柔性基座冗余機械臂的運動控制問題,提出一種新算法,該算法對機械臂自運動矢量優(yōu)化設(shè)計,從而消除機械臂在運動過程中產(chǎn)生的低階模態(tài)力,由于低階模態(tài)力是引起結(jié)構(gòu)振動的主要因素,因此抑振效果明顯。同時將該算法成功應(yīng)用于真實的空間柔性基座機械臂中,相比于傳統(tǒng)的反作用最優(yōu)控制算法,柔性基座沿各自由度的最大振幅分別降低了88%、50%、96%、72%、40%、60%。對柔性基座的振動抑制不僅能提高微機械臂末端的操作精度,還能降低柔性基座因振動造成的疲勞損傷的風險。