籃子期權(quán)定價的深度學(xué)習(xí)方法

張 寧 涂宇彬 鄭亦超 陳夢圓

一、引言

期權(quán)作為金融市場上交易頻繁的一類產(chǎn)品，具有鎖定標(biāo)的資產(chǎn)未來交易價格的功能，在一定程度上降低了交易雙方的風(fēng)險。除了常見的歐式期權(quán)與美式期權(quán)，市場上還存在著一大類奇異期權(quán)，包括復(fù)合期權(quán)、回望期權(quán)以及一些嵌入式結(jié)構(gòu)債券等，這些期權(quán)的合約要求更加復(fù)雜，從而導(dǎo)致對應(yīng)的定價問題難度大幅度提升。考慮到近十多年機器學(xué)習(xí)在算力提升的支持下開始應(yīng)用于許多領(lǐng)域并展現(xiàn)出了優(yōu)勢，將其應(yīng)用于復(fù)雜期權(quán)的定價逐漸成為金融的一個關(guān)注領(lǐng)域，本文的工作也由此展開。具體來說，本文將從高維衍生品——籃子期權(quán)的定價問題入手，將這一問題抽象為偏微分方程終值問題，并用深度倒向隨機微分方程(Backward stochastic differential equation，BSDE)方法來對這一問題進行求解。

由于金融市場中金融產(chǎn)品的價格很多都與期權(quán)定價有關(guān)，期權(quán)定價問題成為經(jīng)典的金融工程問題。但因為期權(quán)本身作為一種金融衍生工具，其價值受時間與標(biāo)的資產(chǎn)價值波動影響，且將數(shù)學(xué)方法與思想引入解決金融問題的想法出現(xiàn)的時間也比較晚，因此期權(quán)定價的方法始終難有一套標(biāo)準(zhǔn)。直到20世紀(jì)末，BS期權(quán)定價模型(Black和Scholes，1973[1]；Merton，1973[2])的推出才使得期權(quán)定價問題有了突破口。隨后，諸多學(xué)者在此基礎(chǔ)上針對不同種類的期權(quán)，在不同的假設(shè)條件下提出了更多的期權(quán)定價模型。其中大部分模型都表示成偏微分方程或偏微分方程組的初(終)值問題，但往往缺少較好的通用解決方法，難以獲得解析解，且隨著待解決問題難度的逐漸加深，“維度詛咒”對偏微分方程的實際應(yīng)用影響越來越難以忽視，即隨著待求解目標(biāo)函數(shù)的變量維數(shù)增加，求解問題的計算成本呈指數(shù)型增長，如何有效且準(zhǔn)確地尋找解析解成為研究熱點。在Pardoux和Peng(1990)[3]提出倒向隨機微分方程的一般形式并給出解的存在唯一性證明后，BSDE與偏微分方程和隨機控制問題的深度聯(lián)系引起了許多數(shù)學(xué)家的興趣，從而在以拋物型偏微分方程形式為主的金融衍生品定價領(lǐng)域，有了BSDE的一席之地。由此諸多學(xué)者試圖借助BSDE來更高效地求解偏微分方程問題，如Han等(2018)[4]構(gòu)建了一個結(jié)構(gòu)明晰的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于求解高維非線性拋物線型偏微分方程在t=0時的邊界解，開創(chuàng)性地將原問題轉(zhuǎn)換為BSDE的形式，并引入布朗運動將連續(xù)時間上的方程離散化，并取得了理想結(jié)果。此外，F(xiàn)ujii等(2019)[5]、Henry-Labordere(2017)[6]、Elbr?chter等(2018)[7]也利用BSDE獲得了一定的研究成果，為本文研究思路提供了啟示。

深度學(xué)習(xí)作為新一代人工智能的核心技術(shù)，試圖利用層次結(jié)構(gòu)來學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)中的高級抽象，已在處理圖像、視頻、語音和音頻方面取得了突破性進展，而如今芯片處理能力(如圖形處理器GPU單元)的顯著提高、計算機硬件成本的顯著降低，以及機器學(xué)習(xí)算法的顯著進步，都使得深度學(xué)習(xí)發(fā)展更加迅速。且深度學(xué)習(xí)能夠?qū)崿F(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)計量經(jīng)濟模型無法實現(xiàn)的“非線性”，即能夠高精度地學(xué)習(xí)幾乎任何函數(shù)的特性，也使得其在金融領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用空間。其中金融市場數(shù)據(jù)非常豐富，訓(xùn)練一種算法來“學(xué)習(xí)”市場中生成期權(quán)價格的函數(shù)是可行的，這在Malliaris和Salchenberger(1993)[8]、Hutchinson等(1994)[9]的研究中得到了驗證，而后諸多學(xué)者開始關(guān)注深度學(xué)習(xí)在期權(quán)定價中的應(yīng)用，如Amilon(2003)[10]、Culkin和Das(2017)[11]、謝和亮和游濤(2018)[12]、孫有發(fā)等(2021)[13]均在該方向上獲得了理想的成果。

本文在這些研究的基礎(chǔ)上，將以上述基于BSDE的深度學(xué)習(xí)架構(gòu)下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為工具求解Zhao和Li(2020)[14]一文中的終值問題，一方面與該文中的數(shù)值解做橫向比較，另一方面進行不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整情況下的自身比較。

本文剩余部分結(jié)構(gòu)如下：第二部分介紹期權(quán)定價模型和BSDE的預(yù)備知識，并對基于BSDE的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型做較為詳細的講解；第三部分進行模型分析、改進和數(shù)值試驗，并對模型的表現(xiàn)進行評估；第四部分總結(jié)了本文方法在更高維度上的優(yōu)勢，并對主要內(nèi)容以及研究方法的應(yīng)用可能性進行了總結(jié)。

二、定價模型與方法

(一)期權(quán)定價的預(yù)備知識

1.傳統(tǒng)BS模型。

本節(jié)將對BS微分方程以及BS定價公式做一個簡單的介紹。以標(biāo)的資產(chǎn)為股票的期權(quán)為例，在一系列假設(shè)的前提下，可以用布朗運動來對股票價格變動進行刻畫，同時，期權(quán)價格取決于股票價格，也就是說，可以將期權(quán)視作一個隨機過程的函數(shù)。而伊藤引理則提供了對隨機過程函數(shù)進行微分處理的理論基礎(chǔ)，在此之前，沒有一個很好的處理該問題的方法。借助伊藤引理，可以得到期權(quán)等衍生品價格的隨機微分方程，求解后即可得到期權(quán)價格的定價公式，而現(xiàn)在為各界所熟知的BS定價公式就是一個簡單的用例。

在BS公式的推導(dǎo)過程中，假設(shè)股票價格St滿足dSt=μStdt+σStdWt，其中Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，令歐式看漲期權(quán)價格為C，它是股價和時間的函數(shù)，可記作C(St，t)，對C(St，t)運用伊藤引理可得：

(1)

股票價格St作為一個伊藤過程，其函數(shù)期權(quán)價格C也是一個伊藤過程，且二者的隨機性來自同一個布朗運動Wt，這樣就可以通過建立投資組合的方法來消除這一隨機項的影響，從而得到BS微分方程：

(2)

歐式看漲期權(quán)在到期日時的價格為CT=max(ST-K，0)，其中K為交割價，加上這一終值條件后便可以得到偏微分方程的終值問題：

(3)

現(xiàn)在，只需要求解這一終值問題，就能得到期權(quán)定價公式，但偏微分方程的解析解往往難以求得。在標(biāo)的是單個資產(chǎn)的情況下，繞過這個偏微分方程，求解上述問題的方法就有很多種，比如等價鞅測度變換、風(fēng)險中性定價理論等。由于本文重點不在于對這些方法的闡釋，故這里將不對這些方法進行展開。本文要研究的問題，是當(dāng)標(biāo)的為資產(chǎn)組合時，如何求解這一終值問題。

2.籃子期權(quán)定價模型。

籃子期權(quán)，是標(biāo)的為一籃子資產(chǎn)的期權(quán)，常被用作對這一籃子資產(chǎn)的套期保值操作。與單標(biāo)的期權(quán)不同的是，籃子期權(quán)的收益情況由這些資產(chǎn)價格的加權(quán)算術(shù)平均決定，且其價格通常比單個資產(chǎn)的期權(quán)組合價格要低，因而一份籃子期權(quán)要比將籃子中資產(chǎn)單個組成期權(quán)組合在應(yīng)用上更具效率。具體來說，由于資產(chǎn)之間相關(guān)性的存在，資產(chǎn)組合總是比單個資產(chǎn)更具有穩(wěn)定收益，這就是籃子期權(quán)的一大優(yōu)勢。但是多個資產(chǎn)的情況要比單資產(chǎn)復(fù)雜，在定價時籃子期權(quán)會有一些不同的特征，以下本文將詳細介紹籃子期權(quán)的定價模型。

(4)

以下進行籃子期權(quán)的BS公式推導(dǎo)。設(shè)第i個標(biāo)的資產(chǎn)在t時刻價格為Si(t)，i=1，…，d，且每個標(biāo)的資產(chǎn)的價格，其變化均服從幾何布朗運動，即滿足如下隨機微分方程：

(5)

其中：μ=(μ1，μ2，…，μn)T為常值向量，是預(yù)期收益率向量；σi為常數(shù)，是收益的波動率；Wi(t)是一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，這些布朗運動之間有一定的相關(guān)性，具體如下：

E[Wi(t))=0,Var(Wi(t)]=t,

Cov[Wi(t),Wj(t)]=ρijt,i≠j

(6)

將隨機微分方程以矩陣形式表示如下：

(7)

記W(t)=(σ1W1(t),σ2W2(t), …,σdWd(t))T，則根據(jù)定義可知W(t)為d維布朗運動，其協(xié)方差陣為Σ={Cov[W(t)]ij=ρijσiσj, 0

(8)

那么，隨機微分方程式可寫作如下形式：

(9)

這樣就得到了一籃子中每個資產(chǎn)滿足的隨機微分方程的另一種形式，這種形式考慮到了各資產(chǎn)之間的相關(guān)性：

(10)

其中，Bj(t)是相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。

接下來，利用多維伊藤公式得到關(guān)于籃子期權(quán)價值V的隨機微分方程：

(11)

(12)

最后加上終值條件，得到籃子期權(quán)定價的BS模型：

(13)

(二)BSDE介紹

1.BSDE方法論。

本文使用的倒向隨機微分方程，對求解這一類偏微分方程有著更加顯著的效果。BSDE來源于伊藤隨機微分方程理論無法解決的一類問題：倒向隨機問題。比如在金融數(shù)學(xué)里，如果給出未來某個時間點的風(fēng)險值，通過建立恰當(dāng)?shù)碾S機模型，來確定出當(dāng)前需要的初始值，這就是典型的倒向隨機微分方程模型。與正向隨機方程不同的是，倒向隨機方程的解不再是單純的狀態(tài)變量Y，而需要添加一個擾動項Z，使得(Y，Z)構(gòu)成方程的解。這里的隨機函數(shù)Z具有調(diào)控作用，類似于控制論中的控制函數(shù)，它保證了方程的解Y是適應(yīng)的。根據(jù)一般化的Feynman-Kac 公式[15]，倒向隨機微分方程的解與非線性偏微分方程的解之間有著極其深刻的關(guān)系，這為本文求解籃子期權(quán)的BS模型提供了十分便利的途徑和技巧。

籃子期權(quán)定價使用的本質(zhì)是如下高維半線性拋物線型偏微分方程

(14)

求解上述偏微分方程的思路就在于將其轉(zhuǎn)化成BSDE的解。令{Bt}t∈[0，T]為一個n維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，{Xt}t∈[0，T]為由{Bt}t∈[0，T]生成的一個隨機過程，滿足如下形式：

(15)

這樣，偏微分方程的解滿足如下的倒向隨機微分方程：

σ(s,Xs)dBs,t∈[0,T]

(16)

連續(xù)的積分式難以求解，常見的做法是將時間區(qū)間[0，T]離散化0=t0

(17)

(18)

其中：

Δtk=tk+1-tk, ΔBk=Btk+1-Btk

隨后可以得到如下兩個迭代式：

Xtk+1-Xtk≈μ(tk,Xtk)Δtk+σ(tk,Xtk)ΔBk

(19)

u(tk+1,Xtk+1)-u(tk,Xtk)

(20)

上述兩個迭代式傳達出這樣的一種思想：從Xt0=ξ，u(t0，Xt0)=u(0，ξ)出發(fā)，經(jīng)過迭代，可以得到函數(shù)u在(t=tN=T，x=XtN)處的值，但目前已知條件是終值條件，函數(shù)的初值是目標(biāo)解，看似這個迭代式并不能起到作用，本文將引入蒙特卡洛模擬的思路和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的架構(gòu)來應(yīng)用該迭代式，求解這一BSDE問題。

2.BSDE深度模型。

(21)

包含所有N-1個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的架構(gòu)如圖1所示。

圖1 深度BSDE模型結(jié)構(gòu)

回到偏微分方程求解的核心問題，不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多次訓(xùn)練迭代，隨著損失函數(shù)值的下降并趨于穩(wěn)定，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)也逐漸趨于穩(wěn)定，將最終的參數(shù)θu0輸出，就可以得到問題的近似數(shù)值解。

3.一個高維PDE問題。

為了說明該法的泛用性以及在高維場景的高效性，本節(jié)首先將該方法應(yīng)用于如下一個在100維空間中(d=100)的典型的Allen-Cahn方程：

(22)

(23)

數(shù)值實踐上，本文主要利用Python中的PyTorch機器學(xué)習(xí)庫，搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行求解。訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集分別為256組和64組隨機生成的幾何布朗運動路徑，每一個子網(wǎng)絡(luò)設(shè)計3個隱藏層，每一層的神經(jīng)元設(shè)為d+10，每經(jīng)過一層網(wǎng)絡(luò)，先進行批標(biāo)準(zhǔn)化(Batch Normalization)，隨后經(jīng)激活函數(shù)線性整流函數(shù)(Re-LU)進入下一層。整體后向傳播中，優(yōu)化函數(shù)選取Adam算法。Adam 是一種可以替代傳統(tǒng)SGD過程的一階優(yōu)化算法，它能基于訓(xùn)練數(shù)據(jù)迭代地更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重。迭代過程持續(xù)4 000次，并每隔100次訓(xùn)練，便在驗證集上進行結(jié)果驗證，損失函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化情況如圖2所示?？梢钥吹剑S著迭代次數(shù)的增加，損失函數(shù)值趨近于0.003 4，數(shù)值解的值趨近于0.052 4±0.000 726，與其他數(shù)值方法所得解一致。整個運算過程耗時528秒。

圖2 損失函數(shù)值與數(shù)值解估計值變化

為了分析網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的影響，我們設(shè)置了不同隱藏層，并記錄了模型達到不同損失函數(shù)值對應(yīng)的耗時，需要注意的是，本文所提到的耗時是實驗用機器配置的結(jié)果，僅具有相對意義。圖3給出了不同隱藏層達到不同損失函數(shù)值所需要的計算時間，計算時間是計算32次的平均結(jié)果。調(diào)整神經(jīng)元數(shù)量獲得的結(jié)果類似。從圖3可以看到，隱藏層數(shù)量增加以及神經(jīng)元數(shù)量增加大幅度增加了計算時間。盡管通用逼近定理表明不同隱藏層和神經(jīng)元數(shù)量都可以達到同樣效果，但一般來說，設(shè)置為3隱藏層以及d+10個神經(jīng)元能夠滿足需求，也是多次實際求解后的經(jīng)驗總結(jié)。

圖3 不同網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對應(yīng)的損失函數(shù)值-耗時的關(guān)系圖

三、模型分析與數(shù)值實踐

(一)模型分析與改進

由上一部分的結(jié)果可知，深度BSDE模型可以較為準(zhǔn)確地給出偏微分方程的數(shù)值解。這一部分將對模型的參數(shù)進行分析，并提出一些改進的思路。

表1 不同組別中參數(shù)θu0初始值取值范圍

在圖4中，U[yl，yr]中對參數(shù)θu0進行采樣得到的初始化的點約為0.083，這使得參數(shù)值在第200步迭代時就幾乎達到正確解，說明其以很快的收斂速度到達正確解附近；而在圖5中，參數(shù)初始化的點更大，導(dǎo)致參數(shù)值收斂速度較U[yl，yr]=[0.06，0.1]情況下更慢，在第2 400步迭代時，才收斂至正確解附近；在圖2中，參數(shù)值的收斂速度則介于兩個實驗組之間。此外，在三組實驗中，模型總耗時并無較大差別。

圖4 [yl,yr]=[0.06,0.1]下的數(shù)值解估計值變化

圖5 [yl，yr]=[0.6，1]下的數(shù)值解估計值變化

表2 不同組別中參數(shù)θu0初始值取值范圍

圖6 參數(shù)θu0從U[-0.01，0.01]中采樣的結(jié)果

圖7 參數(shù)θu0從U[0.1，0.3]中采樣的結(jié)果

2.子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值的調(diào)整。

在深度BSDE模型中，將時間區(qū)間[0，T]離散化后，在除0時刻與T時刻外的每一個時間點，以該時間點下的資產(chǎn)價格為輸入，得到目標(biāo)函數(shù)在這一點的梯度值，并代入迭代式中，最終得到目標(biāo)函數(shù)在T時刻的值。之前本文已經(jīng)給出了通過離散化后的BSDE得到的資產(chǎn)價格以及目標(biāo)函數(shù)的過程迭代式，現(xiàn)將其重新寫在下方。

Xtk+1-Xtk≈μ(tk,Xtk)Δtk+σ(tk,Xtk)

(24)

ΔBku(tk+1,Xtk+1)-u(tk,Xtk)

(25)

3.布朗運動生成模型調(diào)整。

在構(gòu)建模型之前，參考蒙特卡洛模擬的過程，需要借助漂移項μ與波動項σ對資產(chǎn)價格按幾何布朗運動進行模擬。在第二章的模型搭建中，本文直接借助Python中scipy工具包提供的相關(guān)函數(shù)生成了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機數(shù)，進而擬合標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，從而對資產(chǎn)價格進行了模擬。然而在蒙特卡洛模擬中，關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機數(shù)的生成有多種不同的方法，按效率從低到高、效果從差到好，有拒絕采樣、反函數(shù)法、Box-Muller法、ziggurat算法等。

在反函數(shù)法中，需要借助服從均勻分布U(0，1)的隨機數(shù)，來生成符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機數(shù)。對于均勻分布隨機數(shù)的生成，往往有現(xiàn)成的工具包可以調(diào)用。但實際上，常規(guī)隨機數(shù)生成方法得到的隨機數(shù)均為偽隨機數(shù)，在低維場景下可能并不會暴露出弊端，而當(dāng)來到高維場景下，這樣的隨機數(shù)往往不能較為完整地對高維空間進行覆蓋，也就是不夠“均勻”。用這樣不夠“均勻”的隨機數(shù)去生成正態(tài)分布隨機數(shù)，進而對高維布朗運動進行擬合，可能會降低模型預(yù)測的精確度。

對于這一類問題，蒙特卡羅模擬法中的一個思想是：用低差異序列代替均勻分布隨機數(shù)，來對高維布朗運動進行擬合，這就是蒙特卡洛模擬法的一個變形——擬蒙特卡羅模擬法，該法由Joy等(1996)[16]首次應(yīng)用于期權(quán)定價領(lǐng)域。所謂低差異序列，是一種依據(jù)數(shù)論知識，從概率分布中得到代表樣本組成的序列，該序列具有更好的確定性和均勻性，且其在高維空間中仍能維持這一優(yōu)點，故可以在處理籃子期權(quán)這類高維期權(quán)定價問題時選用低差異序列來進行數(shù)值模擬。常見的低差異序列包括Halton序列、Faure序列以及Sobol序列等，下面對Halton序列進行簡要說明：

為了對高維情況下低差異序列的優(yōu)勢進行簡單說明，本文基于均勻分布生成隨機數(shù)與Halton序列，分別構(gòu)造1 000個1 000維的隨機點，并在第999維與第1 000維度組成的平面上進行投影，圖8給出了均勻分布隨機數(shù)(左)與低偏差序列(右)在高維度情況下的投影散點圖。可以比較明顯地看到，在高維度下，均勻分布隨機數(shù)對空間的覆蓋度遠不如Halton序列。

圖8 均勻分布隨機數(shù)(左)與低偏差序列(右)在高維度情況下的投影散點圖

總的來說，利用低差異序列與反函數(shù)法等算法生成高維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機數(shù)，進而對高維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動進行模擬，可以作為BSDE深度模型的一個改進思路。

(二)籃子期權(quán)定價

以下將深度BSDE模型應(yīng)用于籃子期權(quán)的定價中，首先構(gòu)造一個包含5個資產(chǎn)的高維問題場景，進行數(shù)值模擬，隨后采用前面提到的改進思路，再分別進行模擬。最后，將用蒙特卡洛模擬法進行模擬，并將兩種算法在均勻分布隨機數(shù)與低差異序列兩種設(shè)定下的結(jié)果進行對比，同時對深度BSDE模型是否具有更高的時間效率這一問題進行驗證。

1.深度BSDE模型定價數(shù)值結(jié)果。

首先給出籃子期權(quán)的BS模型：

對照深度BSDE模型的通式，得到如下的對應(yīng)關(guān)系：

μ(t,S(t))=(rS1(t),rS2(t),…,rSd(t))T

f=-rV

其中：

S(t)=(S1(t),S2(t),…,Sd(t))

且ΛΛT=Σ。

隨后對問題所涉及的數(shù)據(jù)進行設(shè)定，5個標(biāo)的資產(chǎn)的初始價格分別為50、46、51、48以及55，波動率分別為0.1、0.2、0.16、0.22、0.18，協(xié)方差矩陣∑為：

籃子內(nèi)每個資產(chǎn)的權(quán)重ωi=1/d=0.2，交割價格K=50，無風(fēng)險利率r=0.08，時間區(qū)間設(shè)定為[0，1]，并將其分解為8份。

數(shù)值實踐上，仍然利用Python中的Pytorch機器學(xué)習(xí)庫，搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行求解。訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集分別為256組和64組隨機生成的幾何布朗運動路徑，每一個子網(wǎng)絡(luò)設(shè)計3個隱藏層，每一層的神經(jīng)元數(shù)目設(shè)為d+10=15，每經(jīng)過一層網(wǎng)絡(luò)，先進行批標(biāo)準(zhǔn)化(Batch Normalization)，隨后經(jīng)激活函數(shù)線性整流函數(shù)(ReLU)進入下一層。整體后向傳播中，優(yōu)化函數(shù)選取Adam算法。迭代過程持續(xù)6 000次，依舊每隔100次訓(xùn)練，便在驗證集上進行結(jié)果驗證，主要觀察損失函數(shù)和收斂值的變化，給出輸出結(jié)果以及損失函數(shù)隨迭代次數(shù)變化情況如圖9和圖10所示。從圖中可以看到，隨著迭代次數(shù)的增加，損失函數(shù)值趨近于4.035 5，數(shù)值解的值趨近于7.929 4±0.025 148，整個運算過程耗時1 243秒。

圖9 常規(guī)BSDE模型損失函數(shù)值變化

圖10 常規(guī)BSDE模型數(shù)值解估計值變化

2.更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值。

圖11 更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值的BSDE模型損失函數(shù)值變化

圖12 更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值的BSDE模型數(shù)值解估計值變化

對比更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值前后的數(shù)值解擬合情況(圖13、圖14)，發(fā)現(xiàn)這樣的改動并未對其產(chǎn)生過多影響，但卻大大提高了模型訓(xùn)練的速度，時間縮短了4.5倍，實驗結(jié)果驗證了前文提出的猜想。

圖13 更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值前后的BSDE模型數(shù)值解擬合情況對比

圖14 更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值前后的模型訓(xùn)練時間長度對比

3.Halton序列模擬資產(chǎn)價格運動。

基于Halton序列，借助反函數(shù)法生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機數(shù)，進而模擬資產(chǎn)價格的幾何布朗運動，依照此思路對初始的常規(guī)BSDE模型進行改進。在神經(jīng)元數(shù)等超參數(shù)、優(yōu)化函數(shù)的選取、迭代次數(shù)的設(shè)置等均不變的情況下，每隔100次訓(xùn)練，便在驗證集上進行結(jié)果驗證，給出輸出結(jié)果以及損失函數(shù)隨迭代次數(shù)變化情況如圖15、圖16所示。

圖15 Halton序列的BSDE模型損失函數(shù)值變化

圖16 Halton序列的BSDE模型數(shù)值解估計值變化

從圖17可以看到，隨著迭代次數(shù)的增加，損失函數(shù)值趨近于3.687 5，數(shù)值解的值趨近于7.793 0±0.016?？梢姡环矫?，損失函數(shù)最終趨于穩(wěn)定后的值較常規(guī)BSDE模型略低；另一方面，數(shù)值解的估計值較常規(guī)BSDE模型略低，但波動更小。這說明，在d=5的情況下，低差異序列的確可以得到更加穩(wěn)定的定價結(jié)果。

圖17 選用Halton序列生成隨機數(shù)前后的BSDE模型數(shù)值解擬合情況對比(趨于穩(wěn)定后)

4.蒙特卡洛模擬。

為了說明BSDE深度模型的優(yōu)越性，在這里本文使用蒙特卡洛模擬對籃子期權(quán)進行定價，并與BSDE深度模型進行對比。

籃子期權(quán)中的每個標(biāo)的資產(chǎn)滿足式(26)隨機微分方程。將時間區(qū)間[0，T]等分為n份，有0=t0

dSi(t)=μiSi(t)dt+Si(t)ΛidB(t)

(26)

令Gi=G(t，Si)=lnSi，根據(jù)伊藤引理，Gi也是伊藤過程，則有如下伊藤公式：

(27)

為了便于進行蒙特卡洛模擬，這里將標(biāo)準(zhǔn)布朗運動進行了展開，其中Zj～N(0，1)。將Gi=G(t，Si)=lnSi代入式(27)，并在方程兩邊對t在(tk，tk+1)上積分，有：

(28)

經(jīng)過整理得到：

(29)

本文以式(29)作為依據(jù)進行蒙特卡洛模擬，分別選用均勻分布和Halton序列，使用反函數(shù)法進行隨機數(shù)的生成(選取Halton序列進行隨機數(shù)的生成時的蒙特卡洛法常被稱作擬蒙特卡羅模擬法)。這里同樣將時間區(qū)間[0，1]劃分為8等份，與深度BSDE做同樣處理。經(jīng)過20 000次模擬，當(dāng)選用均勻分布進行隨機數(shù)生成時，估計值為7.911 4，標(biāo)準(zhǔn)差高達11上下；當(dāng)選用Halton序列進行隨機數(shù)生成時，估計值為7.884 2，標(biāo)準(zhǔn)差為9上下?？梢?，在數(shù)值估計的結(jié)果上，深度BSDE模型與蒙特卡洛數(shù)值模擬得到的結(jié)果相近，卻更穩(wěn)定(圖18)。

圖18 兩種模型在不同情況下的估計值對比

四、結(jié)論

本文將傳統(tǒng)BS模型置于高維情境下，自然地引入高維期權(quán)定價的典型模型、籃子期權(quán)定價的BS模型，并詳細指出高維情境下BS模型存在的問題：如籃子期權(quán)不同于一維情況下的BS模型，需要考慮期權(quán)中每個資產(chǎn)價格變化路徑之間的相關(guān)性；且雖然籃子期權(quán)價值取決于所有資產(chǎn)的價格算術(shù)平均加權(quán)，但加權(quán)之后的價值變動不再滿足幾何布朗運動定義，無法套用一維情況的BS定價公式對其進行定價，更難以像一維期權(quán)那樣繞開偏微分方程的求解問題?；谶@些問題，本文利用BSDE的解與偏微分方程的解之間存在唯一對應(yīng)關(guān)系的事實，引出借助離散BSDE迭代式來對問題進行求解的思路；隨后本文引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，解決了迭代式目標(biāo)函數(shù)梯度值不可得的問題，同時將期權(quán)價格作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)參與到整個網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中，并利用終值條件構(gòu)造損失函數(shù)，在模型訓(xùn)練結(jié)束的同時得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的期權(quán)價格，從而完成問題求解。

接下來本文應(yīng)用上述深度BSDE模型對籃子期權(quán)定價問題進行求解，同時利用實證結(jié)果證明該算法具備一定的精度，以及較高的求解效率：一方面，本文從初始參數(shù)設(shè)置、子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值調(diào)整，以及隨機數(shù)生成三個方向，提出已有模型的改進思路，且在計算以包含5個無分紅資產(chǎn)的資產(chǎn)組合為標(biāo)的資產(chǎn)的籃子期權(quán)價格的實證中加以驗證，表明這三個方向確實能夠提高計算效率；另一方面，本文將基于深度BSDE模型的數(shù)值結(jié)果與蒙特卡洛模擬結(jié)果進行對照，驗證了前者的有效性以及一定的精度。

本文研究還表明，深度BSDE模型除了可以解決基本假設(shè)下的籃子期權(quán)定價問題，還可以對其他假設(shè)下的，如帶跳擴散過程、隨機波動率、分數(shù)布朗運動環(huán)境下等的籃子期權(quán)定價問題進行求解，具有在更廣范圍使用的潛力。