基于超模博弈的移動(dòng)邊緣計(jì)算邊緣服務(wù)定價(jià)研究

楊桂松， 程 浩， 李 俊， 何杏宇

（1 上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院， 上海 200093； 2 國(guó)家工業(yè)信息安全發(fā)展研究中心， 北京 100040；3 上海理工大學(xué) 出版印刷與藝術(shù)設(shè)計(jì)學(xué)院， 上海 200093）

0 引言

隨著物聯(lián)網(wǎng)和移動(dòng)設(shè)備的發(fā)展，移動(dòng)邊緣計(jì)算［1－2］成為一種流行的計(jì)算范式。 在此范式中，計(jì)算和存儲(chǔ)資源被下放到網(wǎng)絡(luò)邊緣，為移動(dòng)用戶提供高性能、低延遲的邊緣服務(wù)。 現(xiàn)有關(guān)于移動(dòng)邊緣計(jì)算的研究主要集中在計(jì)算卸載和資源分配方面，很少有研究關(guān)注移動(dòng)邊緣計(jì)算中交易方面的問(wèn)題，目前還不存在一個(gè)通用的邊緣服務(wù)定價(jià)方法。

在移動(dòng)邊緣計(jì)算中，邊緣服務(wù)提供商向移動(dòng)用戶出售邊緣服務(wù)以支持其完成計(jì)算密集型任務(wù)［3－5］（如自動(dòng)駕駛、大型交互式游戲等）。 這是因?yàn)橐苿?dòng)用戶受自身移動(dòng)設(shè)備限制，計(jì)算和存儲(chǔ)能力有限，不能獨(dú)立完成這些任務(wù)。 邊緣服務(wù)提供商將邊緣服務(wù)（包括計(jì)算服務(wù)、存儲(chǔ)服務(wù)等）封裝到一起出售給移動(dòng)用戶來(lái)賺取收益。 而移動(dòng)用戶購(gòu)買邊緣服務(wù)來(lái)滿足自己相應(yīng)的需求。

合適的邊緣服務(wù)定價(jià)方法不僅能提高邊緣服務(wù)提供商的收益水平［6］，也能改善移動(dòng)用戶的體驗(yàn)，這對(duì)促進(jìn)移動(dòng)邊緣計(jì)算范式的發(fā)展和應(yīng)用有重大意義。 定價(jià)問(wèn)題在移動(dòng)邊緣計(jì)算相關(guān)領(lǐng)域已經(jīng)有許多相關(guān)研究工作出現(xiàn)，包括網(wǎng)絡(luò)服務(wù)定價(jià)、動(dòng)態(tài)定價(jià)和車聯(lián)網(wǎng)服務(wù)定價(jià)等。 文獻(xiàn)［7］根據(jù)網(wǎng)絡(luò)條件不斷調(diào)整網(wǎng)絡(luò)服務(wù)價(jià)格，將定價(jià)問(wèn)題表述為成本最小化問(wèn)題。 文獻(xiàn)［8］通過(guò)放寬多個(gè)約束條件，將具有挑戰(zhàn)性的定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，提出一種動(dòng)態(tài)定價(jià)策略。 文獻(xiàn)［9］提出了一種新的多用戶車輛輔助移動(dòng)邊緣計(jì)算網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)定價(jià)策略。 也有一些研究工作考慮在不同價(jià)格和質(zhì)量的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)中進(jìn)行選擇。 為了解決這一問(wèn)題，文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11］提出了一種拍賣機(jī)制，通過(guò)這種機(jī)制，網(wǎng)站服務(wù)代理可以自動(dòng)選擇邊緣計(jì)算方案來(lái)支持其最終用戶。 在文獻(xiàn)［12］中，提出了一個(gè)利用邊緣服務(wù)的資源分配拍賣模型，允許代理根據(jù)其能量貢獻(xiàn)參與拍賣過(guò)程。

現(xiàn)有關(guān)于定價(jià)的研究沒(méi)有針對(duì)邊緣服務(wù)的特性設(shè)計(jì)一個(gè)適合邊緣服務(wù)的定價(jià)方法。 在移動(dòng)邊緣計(jì)算中，如何根據(jù)移動(dòng)用戶需求變化和邊緣服務(wù)提供商同行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)制定最優(yōu)邊緣服務(wù)價(jià)格是一個(gè)關(guān)鍵挑戰(zhàn)。 一方面，移動(dòng)用戶需求與邊緣服務(wù)單價(jià)密切相關(guān)，邊緣服務(wù)提供商的邊緣服務(wù)市場(chǎng)需求受自身邊緣服務(wù)單價(jià)影響。 對(duì)于一個(gè)邊緣服務(wù)提供商而言，其他邊緣服務(wù)提供商定價(jià)一定時(shí)，其定價(jià)越高，邊緣服務(wù)市場(chǎng)需求越低；自身定價(jià)一定時(shí)，其他邊緣服務(wù)提供商定價(jià)越高，自身邊緣服務(wù)市場(chǎng)需求越高［13］。 除此之外，還需要考慮移動(dòng)用戶的主觀因素，即部分移動(dòng)用戶考慮其他因素而不改變?cè)瓉?lái)的需求。 例如由于邊緣服務(wù)提供商的距離或信譽(yù)等因素，移動(dòng)用戶不會(huì)因?yàn)閮r(jià)格變化而改變自身需求。另一方面， 邊緣服務(wù)提供商之間的同行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)直接影響邊緣服務(wù)定價(jià)。 對(duì)手的邊緣服務(wù)定價(jià)越高，對(duì)自身越有利。 因此，每個(gè)邊緣服務(wù)提供商要充分考慮同行的報(bào)價(jià)來(lái)制定自身邊緣服務(wù)價(jià)格。 對(duì)于邊緣服務(wù)定價(jià)問(wèn)題，邊緣服務(wù)具有可替代性和相異性，因此邊緣服務(wù)提供商之間存在價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。 博弈論可以很好解決競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系下的定價(jià)問(wèn)題［14－18］。

基于上述討論，為解決移動(dòng)邊緣計(jì)算中的邊緣服務(wù)定價(jià)問(wèn)題，提出一種基于超模博弈［19－20］的邊緣服務(wù)定價(jià)方法。 該方法主要從邊緣服務(wù)提供商的角度出發(fā)，在滿足移動(dòng)用戶需求的前提下最大化邊緣服務(wù)提供商的收益。 首先，將邊緣服務(wù)定價(jià)過(guò)程建模成一個(gè)博弈模型，博弈的參與者是邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)中的所有邊緣服務(wù)提供商。 參與者可以根據(jù)對(duì)手的邊緣服務(wù)定價(jià)策略制定對(duì)自己最有利的定價(jià)策略［21］。 然后，通過(guò)理論分析，證明了該博弈是超模博弈，從而論證納什均衡的存在性。 超模博弈表現(xiàn)為戰(zhàn)略互補(bǔ)性，這意味著當(dāng)一個(gè)參與者采取更好的行動(dòng)時(shí)，其他參與者也會(huì)效仿其行動(dòng)。 超模博弈以格點(diǎn)理論和比較靜力學(xué)的數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)，具有快速收斂的性質(zhì)。 最后，為求解超模博弈的納什均衡，通過(guò)迭代近似的方法不斷逼近納什均衡，得到最優(yōu)邊緣服務(wù)定價(jià)。 本文的主要貢獻(xiàn)總結(jié)如下：

（1）研究并提出移動(dòng)邊緣計(jì)算中的邊緣服務(wù)定價(jià)問(wèn)題，為邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)繁榮提供支持。

（2）將邊緣服務(wù)提供商之間的邊緣服務(wù)定價(jià)過(guò)程建模成博弈模型，準(zhǔn)確描述了邊緣服務(wù)提供商同行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系和移動(dòng)用戶需求對(duì)邊緣服務(wù)定價(jià)的影響。

（3）設(shè)計(jì)一種梯度迭代算法，求解超模博弈的納什均衡，解決了邊緣服務(wù)定價(jià)問(wèn)題，在滿足移動(dòng)用戶需求的前提下提高了邊緣服務(wù)提供商的收益。

1 系統(tǒng)描述

在移動(dòng)邊緣計(jì)算中，邊緣服務(wù)交易過(guò)程是：邊緣服務(wù)提供商將邊緣服務(wù)打包出售給移動(dòng)用戶，支持其完成計(jì)算密集型任務(wù)，以此賺取收益、即移動(dòng)用戶支付的報(bào)酬，如圖1 所示。

圖1 邊緣服務(wù)交易過(guò)程Fig. 1 The process of edge services transaction

假定邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)中有n家邊緣服務(wù)提供商，用E ＝｛e1，e2，...，en｝ 表示，其中，ei表示第i家邊緣服務(wù)提供商。 在邊緣服務(wù)交易中，邊緣服務(wù)提供商代表賣家，移動(dòng)用戶代表買家。 邊緣服務(wù)以固定份額進(jìn)行出售，其屬性包含單位成本和單位價(jià)格。 由于地理位置、計(jì)算和存儲(chǔ)能力大小等因素，不同賣家提供的邊緣服務(wù)單位價(jià)格和單位成本是不同的，用pi表示第i家邊緣服務(wù)提供商ei的邊緣服務(wù)單位價(jià)格，ci表示其邊緣服務(wù)單位成本，qi表示邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)中所有移動(dòng)用戶對(duì)ei的邊緣服務(wù)需求。 假定邊緣服務(wù)單價(jià)對(duì)市場(chǎng)需求的影響是線性的，即：

其中，αi為邊緣服務(wù)提供商ei能滿足邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)的最大邊緣服務(wù)需求量；θi為ei自身需求價(jià)格系數(shù)，表示邊緣服務(wù)提供商ei的市場(chǎng)需求受自身邊緣服務(wù)單價(jià)影響程度；σij為邊緣服務(wù)提供商ei關(guān)于另一家邊緣服務(wù)提供商ej的需求價(jià)格系數(shù)，表示邊緣服務(wù)提供商ej的邊緣服務(wù)單價(jià)對(duì)邊緣服務(wù)提供商ei市場(chǎng)需求的影響。 明顯可知，αi，θi，σij＞0，i，j ＝1，2，…，n。 因此，邊緣服務(wù)提供商ei的收益yi可以計(jì)算為：

2 邊緣服務(wù)定價(jià)

2.1 博弈模型

在邊緣服務(wù)定價(jià)過(guò)程中，每家邊緣服務(wù)提供商在制定邊緣服務(wù)單價(jià)時(shí)不知道其他邊緣服務(wù)提供商的邊緣服務(wù)單價(jià)，只能在一次出價(jià)完成后，才能根據(jù)其他邊緣服務(wù)提供商的邊緣服務(wù)單價(jià)調(diào)整自身邊緣服務(wù)單價(jià)。 假定所有邊緣服務(wù)提供商不存在惡意競(jìng)爭(zhēng)情況，也沒(méi)有部分邊緣提供商聯(lián)合出價(jià)以謀取更多收益的情況，每家邊緣服務(wù)提供商都處于公平競(jìng)價(jià)地位。

根據(jù)上述特征，該邊緣服務(wù)定價(jià)過(guò)程可以被描述為非合作靜態(tài)博弈，即每個(gè)博弈參與者都是自主進(jìn)行決策，與這個(gè)策略環(huán)境中其他參與者無(wú)關(guān)。 在博弈定價(jià)過(guò)程中每個(gè)邊緣服務(wù)提供商首先給出初始邊緣服務(wù)定價(jià)，然后根據(jù)對(duì)手定價(jià)調(diào)整自身定價(jià)，相互博弈直到定價(jià)達(dá)到納什均衡，得到最優(yōu)邊緣服務(wù)定價(jià)。 此博弈過(guò)程充分考慮了邊緣服務(wù)提供商同行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)和移動(dòng)用戶需求，具體過(guò)程如圖2 所示。

圖2 博弈定價(jià)Fig. 2 Game pricing

一個(gè)通用的博弈模型包含3 個(gè)重要元素：參與者、策略和效用函數(shù)。 其中，參與者是指邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)中的所有邊緣服務(wù)提供商ei（i∈n），策略指的是每個(gè)參與者的邊緣服務(wù)定價(jià)pi（i∈n）。 考慮到邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)規(guī)律和移動(dòng)用戶承受能力，所有邊緣服務(wù)提供商的邊緣服務(wù)定價(jià)只能在一定范圍內(nèi)調(diào)整，即?i，i∈n，pi∈［pmin，pmax］。 效用函數(shù)指的是邊緣服務(wù)提供商的期望收益函數(shù)，可表示為Ui（P） （見(jiàn)后文公式（5）），P ＝｛p1，p2，…，pn｝，即參與者ei的效用Ui（P） 等同于參與者ei在所有參與者出價(jià)為P時(shí)的期望收益。 每個(gè)參與者調(diào)整自己的邊緣服務(wù)定價(jià)，使得自身效用最大化，最終得到最優(yōu)定價(jià)，即定價(jià)的納什均衡，用P?＝｛，…，｝表示，其中pi?表示參與者ei的最優(yōu)定價(jià)。

在邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)中，大部分移動(dòng)用戶主要考慮價(jià)格因素會(huì)隨著邊緣服務(wù)提供商調(diào)整價(jià)格而改變之前所選擇購(gòu)買的邊緣服務(wù)提供商，同時(shí)其余移動(dòng)用戶不會(huì)隨著邊緣服務(wù)提供商調(diào)整價(jià)格而改變之前所選擇的購(gòu)買對(duì)象。 為了計(jì)算方便，假定前者占比為α（0＜α ＜1），后者占比為1－α。 因此，邊緣服務(wù)提供商ei的邊緣服務(wù)市場(chǎng)需求受市場(chǎng)上所有邊緣服務(wù)提供商的價(jià)格向量P和α的共同影響，可表示為：

公式（3）表達(dá)的含義是邊緣服務(wù)提供商ei的市場(chǎng)需求是由自身需求價(jià)格函數(shù)和剩余所有邊緣服務(wù)提供商的需求價(jià)格函數(shù)共同決定。α越大表示邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)中受價(jià)格因素影響的移動(dòng)用戶越多，邊緣服務(wù)提供商的市場(chǎng)需求受自身需求價(jià)格函數(shù)的影響越大，受其他邊緣服務(wù)提供商的需求價(jià)格函數(shù)影響越小。

此外，邊緣服務(wù)市場(chǎng)是動(dòng)態(tài)且復(fù)雜的，存在一些突發(fā)狀況，比如某些社會(huì)事件（一款火熱的大型交互式游戲出現(xiàn)），使得移動(dòng)用戶的邊緣服務(wù)需求增加或減少。 考慮市場(chǎng)需求的不確定性和不穩(wěn)定性，對(duì)邊緣服務(wù)提供商的需求加上一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)，可表示為：

其中，ξ為隨機(jī)擾動(dòng)因子。 每家邊緣服務(wù)提供商會(huì)根據(jù)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手當(dāng)前定價(jià)策略，調(diào)整邊緣服務(wù)定價(jià)，以實(shí)現(xiàn)自身收益最大化。 將邊緣服務(wù)提供商ei的期望收益看作其效用，根據(jù)式（1）～式（4）可得：

2.2 博弈模型的超模性分析

為分析上述非合作靜態(tài)博弈的性質(zhì)，對(duì)邊緣服務(wù)提供商（參與者）的效用函數(shù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)參與者之間的定價(jià)策略具有互補(bǔ)性，即參與者的最優(yōu)反應(yīng)對(duì)應(yīng)關(guān)于對(duì)手的定價(jià)策略遞增。 而超模博弈為具有互補(bǔ)策略的博弈提供了一個(gè)一般解決方法，下面給出超模博弈的定義。

定義1 超模博弈對(duì)于一個(gè)集合S， 若其中任意2 個(gè)元素a和b的上確界都在S中，其中上確界記為a∨b，下確界記為a∧b， 則稱S為格子。從格子S到實(shí)數(shù)R的函數(shù)F， 即F：S→R， 若對(duì)于?a，b∈S，都有F（a）＋F（b）≤F（a∨b）＋F（a∧b），則稱F（a） 為S上的超模函數(shù)。

根據(jù)定義1 可知，超模博弈具有2 個(gè)明顯的特征：策略集S是R的子格，效用函數(shù)F關(guān)于自身和競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的策略均是遞增差分的，即效用函數(shù)是策略集上的超模函數(shù)。 由2.1 節(jié)內(nèi)容可知，每家邊緣服務(wù)提供商的定價(jià)范圍在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是閉集，即pi∈［pmin，pmax］， 這表明其策略集是實(shí)數(shù)R的子格。 因此，只需證明其效用函數(shù)是策略集上的超模函數(shù)即可說(shuō)明該博弈是超模博弈。 為了簡(jiǎn)化邊緣服務(wù)提供商效用的表達(dá)形式，設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)如下：

邊緣服務(wù)提供商ei的效用函數(shù)可簡(jiǎn)化為如下：

對(duì)于邊緣服務(wù)提供商ei定價(jià)集合中的任意2 個(gè)定價(jià)pi和有：

由式（8）和式（9）可得：

此效用函數(shù)滿足定義1 的條件，因此該博弈為超模博弈，可表示為G ＝｛E，{pi}i∈n，{Ui}i∈n｝。 根據(jù)超模博弈的性質(zhì)［13］可知，該博弈模型一定存在納什均衡，且納什均衡點(diǎn)唯一，也就是每個(gè)邊緣服務(wù)提供商都有唯一的最優(yōu)定價(jià)。 求解最優(yōu)定價(jià)可表示如下：

根據(jù)公式（11）可以求得每個(gè)邊緣服務(wù)提供商的最優(yōu)定價(jià)，即定價(jià)的納什均衡P?。 由于每家邊緣服務(wù)提供商的定價(jià)彼此相互影響，很難根據(jù)聯(lián)立的n個(gè)方程（類似于式（11）的形式）直接求解納什均衡。 因此，本文考慮使用梯度迭代更新的方法，不斷迭代更新來(lái)逼近所有邊緣服務(wù)提供商定價(jià)的納什均衡。 具體求解過(guò)程見(jiàn)2.3 節(jié)。

2.3 梯度迭代更新算法設(shè)計(jì)

根據(jù)超模博弈的性質(zhì)可知，超模博弈可以從任意初始值收斂到納什均衡。 由于邊緣服務(wù)提供商擁有的邊緣服務(wù)數(shù)量、提供邊緣服務(wù)的效率等均各不相同，每家邊緣服務(wù)提供商的初始定價(jià)也是不同的。所有邊緣服務(wù)提供商同時(shí)出價(jià)，不分先后。 為了實(shí)現(xiàn)定價(jià)快速收斂和充分考慮定價(jià)相互影響之間的均衡，每家邊緣提供商都按效用函數(shù)梯度的方向更新自身邊緣服務(wù)定價(jià)，可表示為：

其中，ε表示學(xué)習(xí)率，即調(diào)整定價(jià)的速率。 這里▽Ui（P） 可計(jì)算為：

根據(jù)邊緣服務(wù)定價(jià)的更新公式可以設(shè)計(jì)梯度迭代更新算法，所有邊緣服務(wù)提供商依次更新自身邊緣服務(wù)定價(jià)，直到邊緣服務(wù)定價(jià)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，即定價(jià)的納什均衡。 由于本文的超模博弈考慮了移動(dòng)用戶需求的影響，此博弈可能在某些特殊情況下（如邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)中受邊緣服務(wù)價(jià)格因素影響的移動(dòng)用戶占比過(guò)少）不能達(dá)到納什均衡。 這并不是違背超模博弈必定存在納什均衡的性質(zhì)，因?yàn)樵谔厥馇闆r下，邊緣服務(wù)提供商之間的定價(jià)過(guò)程可能不適用于建模成超模博弈，需要考慮更多的因素，建模成其它的博弈，如不完全信息博弈等。 梯度迭代更新算法的偽代碼如下。

算法1 梯度迭代更新算法

輸入初始定價(jià)向量P

輸出最優(yōu)定價(jià)向量P?

1.參數(shù)初始化：最大邊緣服務(wù)滿足量ai，定價(jià)范圍pmin，pmax，自身需求價(jià)格系數(shù)θi，對(duì)手影響價(jià)格系數(shù)σij，邊緣服務(wù)單位成本ci，隨機(jī)擾動(dòng)因子ξ，學(xué)習(xí)率ε等

2. while （change ofpi＞ 1e － 5 or iteration numbers ＜＝max）

／／價(jià)格變化幅度大于一個(gè)精度或迭代次數(shù)小于最大迭代次數(shù)

3.forifrom 1 ton／／所有邊緣服務(wù)提供商

4.根據(jù)式（13）計(jì)算梯度▽Ui（P）

5.ei根據(jù)式（12）調(diào)整自身邊緣服務(wù)單價(jià)

6.更新價(jià)格向量P

7.end for

8.end while

9.returnP?／／定價(jià)的納什均衡，即最優(yōu)定價(jià)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

為評(píng)估所提邊緣服務(wù)定價(jià)方法的有效性，針對(duì)算法收斂性和邊緣服務(wù)提供商的收益等指標(biāo)進(jìn)行仿真。 仿真環(huán)境是Python 3.8。 在仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。 參數(shù)設(shè)置的依據(jù)是邊緣交易市場(chǎng)的一般規(guī)律，比如邊緣服務(wù)提供商的市場(chǎng)需求受自身邊緣服務(wù)單價(jià)的影響比受其他邊緣服務(wù)提供商邊緣服務(wù)單價(jià)影響大，因此自身需求價(jià)格系數(shù)大于對(duì)手影響需求價(jià)格系數(shù)。

表1 仿真參數(shù)表Tab. 1 Simulation parameters

3.1 邊緣服務(wù)定價(jià)收斂性分析

首先分析僅受價(jià)格因素影響需求的移動(dòng)用戶占邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)不同比例時(shí)，所提算法是否能收斂，為每個(gè)邊緣服務(wù)提供商找到最優(yōu)定價(jià)。 為了使仿真實(shí)驗(yàn)具有一般性和普適性，本次仿真實(shí)驗(yàn)采用控制變量法，通過(guò)一組對(duì)比實(shí)驗(yàn)（6 次定價(jià)）來(lái)展示每家邊緣服務(wù)提供商的邊緣服務(wù)定價(jià)情況。 其中n ＝3，此仿真實(shí)驗(yàn)中共有3 家邊緣服務(wù)提供商，所提供的邊緣服務(wù)是相互可替代的。

圖3 顯示不同受價(jià)格因素影響的移動(dòng)用戶占比對(duì)梯度迭代算法收斂效果的影響。 其中，圖3（a）、圖3（b）和圖3（c）分別顯示α ＝0.9，α ＝0.7，α ＝0.5對(duì)算法收斂效果的影響。 可以看出當(dāng)僅受價(jià)格因素影響的移動(dòng)用戶占比大于等于市場(chǎng)一半時(shí)，該算法有很好的收斂效果，能找到定價(jià)的納什均衡點(diǎn)。 通過(guò)這3 張圖的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α ＝0.9 時(shí)，3 家邊緣服務(wù)提供商的邊緣服務(wù)定價(jià)收斂是最快的，曲線也是最平滑的。 這表明所提算法在僅受價(jià)格因素影響的移動(dòng)用戶占邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)主體時(shí)有很好的收斂效果，可以實(shí)現(xiàn)快速定價(jià)。

而圖3（d）、圖3（e）和圖3（f）分別顯示α ＝0.4，α ＝0.3，α ＝0.2 對(duì)算法收斂效果的影響。 可以看出僅受價(jià)格因素影響的移動(dòng)用戶占比小于市場(chǎng)一半時(shí)，算法越來(lái)越難收斂，最后呈現(xiàn)發(fā)散趨勢(shì)。 這表明本文設(shè)計(jì)的算法主要是針對(duì)邊緣服務(wù)單價(jià)對(duì)移動(dòng)用戶需求和邊緣服務(wù)提供商的收益的影響，當(dāng)價(jià)格不是影響移動(dòng)用戶購(gòu)買邊緣服務(wù)的主要因素時(shí)，不再適用。 通過(guò)這3 張圖的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，圖3（d）和圖3（e）可以收斂，而圖3（f）直接呈發(fā)散趨勢(shì)，迭代次數(shù)到達(dá)限制的最大迭代次數(shù)。 這表明所提算法的普適性有限，不能針對(duì)受價(jià)格以外的因素來(lái)解決邊緣服務(wù)定價(jià)問(wèn)題。 但這也從另一角度證明，當(dāng)價(jià)格是影響移動(dòng)用戶是否購(gòu)買邊緣服務(wù)的主要因素時(shí)，所提算法可以很好解決邊緣服務(wù)定價(jià)問(wèn)題。

圖3 算法收斂效果Fig. 3 Simulation of algorithm convergence effect

為直觀表示算法收斂情況，算法迭代次數(shù)見(jiàn)表2。 由表2 可以看出，當(dāng)受價(jià)格因素影響的移動(dòng)用戶占比越來(lái)越小，算法的迭代次數(shù)在增加，最后達(dá)到算法所設(shè)定的最大迭代次數(shù)。 這表明所提算法針對(duì)邊緣服務(wù)定價(jià)問(wèn)題的有效性，當(dāng)移動(dòng)用戶主要根據(jù)價(jià)格而選擇是否購(gòu)買邊緣服務(wù)時(shí)，所有邊緣服務(wù)提供商的邊緣服務(wù)定價(jià)均能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

表2 迭代次數(shù)表Tab. 2 Number of iterations

3.2 邊緣服務(wù)定價(jià)影響因素分析

為進(jìn)一步研究影響邊緣服務(wù)提供商定價(jià)高低的因素，在α ＝0.8 的邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)仿真環(huán)境中做了一組對(duì)比實(shí)驗(yàn)。 在此邊緣服務(wù)交易仿真中，受價(jià)格因素影響的移動(dòng)用戶占比為大多數(shù)。 由第1 節(jié)系統(tǒng)模型部分的分析可知，邊緣服務(wù)提供商受自身需求價(jià)格系數(shù)影響較大，因此考慮其最終的邊緣服務(wù)定價(jià)高低是受自身需求價(jià)格系數(shù)影響。 為了驗(yàn)證這個(gè)猜想，在其他條件相同的情況下（除自身需求價(jià)格系數(shù)外使用表1 的參數(shù)），采用2 組不同的自身需求價(jià)格系數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖4 所示。

圖4（a）顯示3 家邊緣服務(wù)提供商的自身需求價(jià)格影響系數(shù)分別為θ1＝0.6，θ2＝0.5，θ3＝0.8 的邊緣服務(wù)定價(jià)情況。 可以發(fā)現(xiàn)邊緣服務(wù)提供商e2的自身需求價(jià)格影響系數(shù)最小，其最終邊緣服務(wù)定價(jià)最高，而邊緣服務(wù)提供商e3的自身需求價(jià)格影響系數(shù)最大，其最終邊緣服務(wù)定價(jià)最低。 圖4（b）顯示3家邊緣服務(wù)提供商的自身需求價(jià)格影響系數(shù)分別為θ1＝0.8，θ2＝0.6，θ3＝0.5 的邊緣服務(wù)定價(jià)情況。 可以發(fā)現(xiàn)與圖3（a）相似的結(jié)果，即邊緣服務(wù)提供商e3的自身需求價(jià)格影響系數(shù)最小，其最終邊緣服務(wù)定價(jià)最高，而邊緣服務(wù)提供商e1的自身需求價(jià)格影響系數(shù)最大，其最終邊緣服務(wù)定價(jià)最低。

通過(guò)圖4（a）和圖4（b）的對(duì)比可以得出以下結(jié)論，在相同的邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)環(huán)境中，邊緣服務(wù)提供商自身需求價(jià)格影響系數(shù)越低，其最終邊緣服務(wù)單價(jià)越高，即邊緣服務(wù)定價(jià)高低與自身需求價(jià)格影響系數(shù)負(fù)相關(guān)。 在實(shí)際交易中，如果邊緣服務(wù)提供商所能出售的邊緣服務(wù)量受其自身價(jià)格影響較小，說(shuō)明其邊緣服務(wù)相較于其他邊緣服務(wù)提供商的邊緣服務(wù)有優(yōu)勢(shì)，比如邊緣服務(wù)質(zhì)量高。 因此該邊緣服務(wù)提供商在博弈定價(jià)過(guò)程中具有優(yōu)勢(shì)地位，其邊緣服務(wù)定價(jià)也就最高。 另一結(jié)論是邊緣服務(wù)提供商最終定價(jià)高低與其初始定價(jià)高低無(wú)關(guān)。 因?yàn)樵趫D4（b）中邊緣服務(wù)提供商e3的初始定價(jià)最低，最終定價(jià)卻最高，而邊緣服務(wù)提供商e2的初始定價(jià)最高，其最終定價(jià)卻不是最高。 這表明在實(shí)際定價(jià)過(guò)程中，邊緣服務(wù)提供商的初始定價(jià)方案是不合理的，僅根據(jù)自身情況給出初始定價(jià)，沒(méi)有考慮移動(dòng)用戶的需求變化和同行的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)。

圖4 自身需求價(jià)格影響系數(shù)圖Fig. 4 Self－demand price influence coefficient

3.3 邊緣服務(wù)提供商的收益分析

從邊緣服務(wù)提供商的角度分析所提出的定價(jià)方案對(duì)邊緣服務(wù)提供商的收益的影響，即在每家邊緣服務(wù)提供商調(diào)整邊緣服務(wù)單價(jià)時(shí)，其收益是如何變化的。 在3.1 節(jié)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，本節(jié)實(shí)驗(yàn)在α ＝0.8，θ1＝0.6，θ2＝0.5，θ3＝0.8 的邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)仿真環(huán)境中觀察各家邊緣服務(wù)提供商的收益和所有邊緣服務(wù)提供商的總收益。

圖5 顯示3 家邊緣服務(wù)提供商的效用U1、U2和U3變化情況，即期望收益隨著邊緣服務(wù)定價(jià)的不斷調(diào)整而增加，最終趨于穩(wěn)定。 這表明在博弈定價(jià)過(guò)程中，邊緣服務(wù)提供商之間在綜合考慮移動(dòng)用戶需求和同行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)影響，可以給出“最優(yōu)反應(yīng)”，最終制定出使自身收益最大化的邊緣服務(wù)單價(jià)。 值得注意的是，盡管每家邊緣服務(wù)提供商的定價(jià)都是呈上升趨勢(shì)，但這并不意味著其收益百分百呈上升趨勢(shì)，因?yàn)楫?dāng)邊緣服務(wù)提供商定價(jià)過(guò)高時(shí)，移動(dòng)用戶可能會(huì)選擇購(gòu)買其他邊緣服務(wù)提供商的邊緣服務(wù)。 每家邊緣服務(wù)提供商的收益隨著邊緣服務(wù)定價(jià)的調(diào)整都得到了一定程度的提升，這證明所提定價(jià)方法的有效性。

圖5 邊緣服務(wù)提供商收益Fig. 5 Profits of edge services providers

為進(jìn)一步分析所提定價(jià)算法的優(yōu)越性，將所提梯度迭代更新算法與隨機(jī)算法和貪婪算法相對(duì)比。隨機(jī)算法指的是各邊緣服務(wù)提供商根據(jù)各自邊緣服務(wù)的情況進(jìn)行隨機(jī)定價(jià)，而不是通過(guò)博弈來(lái)進(jìn)行定價(jià)。 貪婪算法指的是邊緣服務(wù)提供商在定價(jià)過(guò)程中沒(méi)有考慮移動(dòng)用戶的需求，貪婪地選擇跟隨所有邊緣服務(wù)提供商中的最高價(jià)格作為自己的邊緣服務(wù)單價(jià)。 邊緣服務(wù)提供商收益對(duì)比如圖6 所示。 圖6 顯示，在3 家邊緣服務(wù)提供商e1、e2、e3的單獨(dú)收益方面，所提算法的收益更高；在3 家邊緣服務(wù)提供商的總收益方面，所提算法明顯高于另外2 種算法，這體現(xiàn)了所提算法的優(yōu)越性。

圖6 邊緣服務(wù)提供商收益對(duì)比Fig. 6 The comparison of the profits of edge services providers

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了移動(dòng)邊緣計(jì)算中的邊緣服務(wù)定價(jià)問(wèn)題，提出一種基于超模博弈的邊緣服務(wù)定價(jià)方法。該方法首先考慮邊緣服務(wù)提供商之間的定價(jià)影響、不同移動(dòng)用戶對(duì)價(jià)格的敏感程度和邊緣服務(wù)交易市場(chǎng)中的不確定因素，設(shè)計(jì)合適的效用函數(shù)，計(jì)算邊緣服務(wù)提供商的效用。 然后，通過(guò)證明效用函數(shù)的超模性，論證該博弈定價(jià)納什均衡的存在性。 最后，設(shè)計(jì)一種梯度迭代更新算法，求解超模博弈的納什均衡找到最優(yōu)邊緣服務(wù)定價(jià)。 結(jié)果表明所提算法在收斂速度和提升邊緣服務(wù)提供商收益的有效性。 在未來(lái)工作中，將考慮更復(fù)雜、更繁瑣的邊緣服務(wù)交易場(chǎng)景，探索更多針對(duì)不同類型邊緣服務(wù)的定價(jià)方法。