Lagrange中值定理在貴州專升本數(shù)學(xué)證明題上的應(yīng)用

彭良剛

摘 要 近年來貴州省普通高校選拔優(yōu)秀?？粕M(jìn)入本科院?？荚囌骖}等式和不等式證明題已成為考試題中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生在解決此類題目時往往會感覺無從下手，難以找到問題的切入點(diǎn)。本文著眼于構(gòu)造輔助函數(shù)，利用Lagrange中值定理對等式及不等式證明題進(jìn)行證明。結(jié)果表明：通過構(gòu)造輔助函數(shù)后，再利用Lagrange中值定理解決此類問題更容易找到問題的切入點(diǎn)并且使問題簡單化具體化;此外，學(xué)生熟練掌握此技巧后，會增強(qiáng)其自信心，解決該類證明題時更加得心應(yīng)手。

關(guān)鍵詞 專升本考試 證明 輔助函數(shù) Lagrange中值定理

中圖分類號：O13? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2019.04.016

Abstract In recent years， it has become a key and difficult point in the examination questions to select outstanding college students to enter undergraduate colleges. Students often feel that there is no way to solve such problems and it is difficult to find problems Entry point. This paper focuses on the construction of auxiliary functions and uses Lagrange's median value theorem to prove the equivalence and inequality. The results show that， after constructing the auxiliary function， it is easier to find the entry point of the problem and make the problem simplify and concrete by using Lagrange's median value theorem. In addition， after students master this skill， they will increase their self-confidence and solve this type of proof problem more easily.

Keywords special promotion exam; certification; auxiliary functions; Lagrange median value theorem

0 引言

Lagrange中值定理是法國籍意大利裔數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家約瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）的著名成就，它是微分中值定理的重要定理之一，重要性表現(xiàn)為它是連接函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁?？v觀近年來貴州省專升本高等數(shù)學(xué)考試題，發(fā)現(xiàn)最后一道壓軸題大多都是與微分中值定理相關(guān)的證明題。這類證明題既是考試的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，同樣又是學(xué)生害怕遇到而又無法避免的難題之一，學(xué)生遇到這類題時通常會感到無從下手，找不到問題的切入點(diǎn)，讓學(xué)生失去解題的信心。因此，對于解決該類證明題的有效方法之一是利用Lagrange中值定理，但是要正確使用Lagrange中值定理證明，就要熟記Lagrange中值定理的條件和結(jié)論，如何根據(jù)題目的結(jié)論構(gòu)造出合適的函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵。

1 Lagrange中值定理內(nèi)容及幾何意義

1.1 Lagrange中值定理內(nèi)容

如果函數(shù)滿足以下條件：

（1）在閉區(qū)間上連續(xù);

（2）在開區(qū)間（）內(nèi)可導(dǎo)。

結(jié)論：至少，使得。

或者記為：

1.2 幾何意義

由圖可以看出，在連續(xù)且端點(diǎn)外每一點(diǎn)都有不垂直于軸的切線的曲線弧AB，至少存在一點(diǎn)，使曲線弧在該點(diǎn)的切線平行于該曲線兩端點(diǎn)的連線，即割線。兩條直線平行它們的斜率相等，由于在處的切線的斜率為，割線的斜率為，于是就有

2應(yīng)用Lagrange中值定理證明數(shù)學(xué)證明題

2.1 等式證明題

3結(jié)論

通過近年來對貴州省理工類專升本高等數(shù)學(xué)考試證明題的分析：壓軸的證明題，不論是等式證明題還是不等式的證明題，幾乎都是Lagrange中值定理的應(yīng)用。然而解決這類證明題的關(guān)鍵通常都是要構(gòu)建一個合適的輔助函數(shù)，讓其滿足Lagrange中值定理的條件，進(jìn)而利用Lagrange中值定理的結(jié)論完成證明，必要時結(jié)合函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)完成相關(guān)的證明。高等數(shù)學(xué)證明題不能靠簡單重復(fù)，而是需要多做多練，要學(xué)會分析題目的結(jié)論構(gòu)成，學(xué)會舉一反三，最后達(dá)到融會貫通，方可在考試中得心應(yīng)手。

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