多階段人口增長動(dòng)力學(xué)模型分析

馬春艷，李曉紅，武力兵

（遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

我國是一個(gè)人口大國，自新中國成立以來，我國相繼出臺多項(xiàng)政策調(diào)控人口增長［1］。2020 年我國第七次人口普查結(jié)果顯示，2020 年成為自新中國成立以來新生兒數(shù)量以及出生率最低的一年［2］。2021 年，國家出臺三孩政策及相關(guān)生育配套支持措施［3］。

隨著政策與經(jīng)濟(jì)、科學(xué)技術(shù)等帶來的變化，人們的生育意愿逐漸變化［4］，為此，國內(nèi)學(xué)者對人口生育率和生育意愿作了大量研究。陳衛(wèi)［5］利用第七次人口普查數(shù)據(jù)分析國內(nèi)生育政策對生育率的影響，發(fā)現(xiàn)女性婚育年齡的延遲具有壓低生育率的作用。馬蕓蕓［6］通過建立泊松回歸模型得出結(jié)論，女性的生育意愿不僅受政策影響，城鄉(xiāng)之間的生育意愿也存在較大的差別，同時(shí)住房、工作、經(jīng)濟(jì)壓力會明顯降低生育意愿。受教育程度越高，所在地區(qū)教育體系越完善，則越容易提高育齡人口的生育意愿。柳如眉等［7］利用時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行多元回歸分析，結(jié)果顯示，生育率的變化與城鄉(xiāng)收入水平變化呈正相關(guān)，育兒成本對城鄉(xiāng)生育率的提高起負(fù)面作用。何興邦［8］提到，跨地域農(nóng)民工定居意愿的增加，即城市融入是導(dǎo)致農(nóng)民工生育意愿下降的重要因素。蔡昉［9］指出，三胎政策的實(shí)行降低了“三育成本”（即生育、養(yǎng)育和教育的成本），從而對生育意愿的提升具有顯著的正向影響。

隨著生育意愿的逐年下降，預(yù)測人口總量對制定經(jīng)濟(jì)與資源配置相關(guān)政策、完善社會發(fā)展戰(zhàn)略和建立社會保障體系等方面具有積極的參考意義［10-11］。人口預(yù)測有多種方法，如微分方程模型、灰色預(yù)測模型、線性時(shí)間序列模型、BP（Back propagation）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型、Logistic 增長模型、Malthus模型等［12］。由于人口發(fā)展過程是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，可以用動(dòng)力學(xué)方程描述。張娟等［13］通過建立人口動(dòng)力學(xué)模型預(yù)測人口總量。Gurtin［14-15］在假定人口擴(kuò)散的兩種方式條件下，構(gòu)建與年齡有關(guān)的人口擴(kuò)散積分模型，并將人口擴(kuò)散模型轉(zhuǎn)化為偏微分方程組，得到了模型解存在的充分條件。J?ger 等［16］曾提出Boltzmann 型人口動(dòng)力學(xué)方程，其中Boltzmann 方程含有碰撞算子，是分布函數(shù)所滿足的一類微分方程。Arlottil 等［17-18］研究廣義的Boltzmann 型人口動(dòng)力學(xué)方程。Kang 等［19］研究具有非局部擴(kuò)散和非局部邊界條件的年齡結(jié)構(gòu)種群模型的一些基本理論，應(yīng)用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理得到非平凡穩(wěn)態(tài)的存在性，分析了平衡態(tài)的穩(wěn)定性。Huo 等［20］研究一類年齡結(jié)構(gòu)的反應(yīng)擴(kuò)散對流種群模型，考慮非線性死亡率和出生率，證明了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的存在性。Christoph等［21］針對含有非線性死亡和出生過程的年齡結(jié)構(gòu)擴(kuò)散種群模型，研究線性化穩(wěn)定性原理。

人口發(fā)展一方面是自然選擇，另一方面也受國家政策影響。國家政策直接影響生育意愿，但針對生育意愿對人口總量的定量研究成果較少。本文首先建立多階段人口增長動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而以此模型為約束條件，以實(shí)際數(shù)據(jù)與計(jì)算數(shù)據(jù)誤差平方和為性能指標(biāo)，建立最優(yōu)控制模型，并利用粒子群算法結(jié)合全國1987～1999年人口數(shù)據(jù)確定模型中部分參數(shù)的最優(yōu)解；其次利用2000～2020年的數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的可靠性，并通過誤差分析總結(jié)生育率對人口總量的重要影響；最后在生育率中引入生育意愿參數(shù)，通過調(diào)整生育意愿參數(shù)，利用實(shí)際數(shù)據(jù)分析生育意愿對總?cè)丝谠鲩L趨勢的影響。

1 人口增長動(dòng)力學(xué)模型

為方便研究問題，本文根據(jù)人口增長實(shí)際特性，假設(shè)：各年齡段的轉(zhuǎn)化率或成熟率在相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)視為常數(shù)；不考慮雙胞胎及以上情況；不考慮國際遷移情況。

本文中所用參數(shù)符號及含義詳見表1。

表1 本文所用參數(shù)符號及含義Tab.1 Symbol and meaning of parameters in this paper

1.1 人口增長動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)育齡人口各階段人口數(shù)為Ni(i=1,2,3,4)，一旦生育就轉(zhuǎn)移到下一個(gè)階段，沒有再生育的人口將其保留在本階段，直至轉(zhuǎn)移至老年人口階段N5。不考慮生育雙胞胎及以上等情況，模型中一位新生兒的降生伴隨夫妻兩位育齡人口轉(zhuǎn)移至下一個(gè)階段。圖1 直觀展示了各階段人口之間的流動(dòng)轉(zhuǎn)化情況。

圖1 各階段之間人口轉(zhuǎn)移圖Fig.1 Population transfer diagram among each stages

基于上述假設(shè)和相關(guān)建模機(jī)理，得到如下人口增長動(dòng)力學(xué)模型

其中，N0(t),…,N5(t)分別表示第t年兒童、各階段育齡人口和老年人口，與等式右端N0,…,N5含義完全相同。將式（1）左端記N(t)=[N0(t),…,N5(t)]T，k=(k0,k1,k2.k3,k4)，則式（1）可寫成如下向量形式

微分方程組（2）是線性微分方程組，滿足微分方程解的存在唯一性定理。

定理1 微分方程組（2）存在連續(xù)依賴于初值和參數(shù)的唯一解。

1.2 人口增長動(dòng)力學(xué)模型最優(yōu)解

由于模型中各年齡段的轉(zhuǎn)化率和成熟率k=(k0,k1,k2.k3,k4)無法通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)獲得，相關(guān)文獻(xiàn)中也沒有可參考的具體取值，本文以此為控制變量，以式（2）為約束條件，以各階段實(shí)際與計(jì)算人口差的平方和為性能指標(biāo)，得到最優(yōu)控制模型（P）

式中：S0(t)、S1(t)、S2(t)分別為各年份實(shí)際兒童、育齡人口和老年人口。

定理2 最優(yōu)控制模型（P）是一個(gè)線性二次型問題，有最優(yōu)解。

各年份兒童人口N0、老年人口N5及兒童、老年人口的死亡率可通過統(tǒng)計(jì)年鑒查詢，但無法查詢到各階段的育齡人口數(shù)據(jù)與死亡率。因此在計(jì)算時(shí)，假定在初始年份每個(gè)育齡階段人口數(shù)相等，取為育齡總?cè)丝跀?shù)據(jù)的平均值，即N1(0)=N2(0)=N3(0)=N4(0) ，各階段育齡人口死亡率相同，即d1=d2=d3=d4。以1987 年為初始年，相關(guān)數(shù)據(jù)如表2 所示，其中生育率、死亡率等參數(shù)采用文獻(xiàn)［13］中數(shù)據(jù)，均列于表2 中。考慮從1987 年到1999年共計(jì)13年的人口數(shù)據(jù)，即T=13。

表2 1987年相關(guān)參數(shù)取值Tab.2 Related parameter values in 1987

采用粒子群算法，迭代100 次，計(jì)算得到適應(yīng)值曲線，見圖2。適應(yīng)值在迭代65 次以后逐漸穩(wěn)定，最優(yōu)適應(yīng)值為Jmin=1.139 8×109，最優(yōu)參數(shù)k=［0.024 9，0.021 1，0.021 3，0.021 8，0.021 0］。因人口數(shù)值較大，且最優(yōu)控制模型（P）的性能指標(biāo)為平方和形式，故適應(yīng)值較大。

圖2 最優(yōu)控制模型P的適應(yīng)值曲線Fig.2 Adaptation value curve of optimal control model P

1.3 人口增長動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證與誤差分析

1.3.1 人口增長動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證 選取2000年～2012 年各階段人口數(shù)據(jù)進(jìn)行模型驗(yàn)證。以2000年為初始年，相關(guān)參數(shù)來自文獻(xiàn)［13］，詳見表3。采用粒子群算法，計(jì)算2000～2012年人口總量的預(yù)測值及相對誤差，詳見圖3。

表3 2000年相關(guān)參數(shù)取值Tab.3 Related parameter values in 2000

圖3 2000年～2012年人口總量預(yù)測值及誤差Fig.3 Errors and total population predicted values in 2000～2012

2000～2006 年的人口總量預(yù)測誤差均小于0.1%，2007～2012 相對誤差逐年變大。這與2006年國家實(shí)行單獨(dú)二胎政策有關(guān)，從2007 年開始各階段的生育率比2000 年有所提高，表明國家二胎政策有效提高了生育率。最大相對誤差出現(xiàn)在2012年，為1.41%，這說明模型比較可靠。

1.3.2 人口增長動(dòng)力學(xué)模型誤差分析 為進(jìn)一步探究國家政策對生育率的影響，繼續(xù)對2013～2020年數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析。

從2013年開始國家統(tǒng)計(jì)局公布各年齡段育齡人口數(shù)量，可以根據(jù)一胎、二胎及三胎新生兒數(shù)量計(jì)算各階段育齡人口的生育率，如圖4所示。

圖4 2013年～2020年各階段育齡人口生育率Fig.4 Fertility rate of population of childbearing age in 2013 ～2020

2013～2016 年、2017～2020 年各階段育齡人口相應(yīng)生育率均比較穩(wěn)定，而在2017 年二胎生育率明顯增加，且達(dá)到近年來最高。因此，本文將2013～2020 年分為兩個(gè)階段：2013～2016 年為單獨(dú)二胎時(shí)期，2017～2020 年為全面放開二胎時(shí)期。以2013 年數(shù)據(jù)為初始值，詳見表4，利用粒子群算法計(jì)算2013～2020年間的人口總量預(yù)測值及誤差，結(jié)果如圖5所示。

表4 2013年相關(guān)參數(shù)取值Tab.4 Related parameter values in 2013

圖5 2013年～2020年人口總量預(yù)測值與誤差Fig.5 Errors and total population predicted values in 2013～2020

人口預(yù)測最大相對誤差0.247 68%，出現(xiàn)在2017年，低于2012年的最大誤差1.41%，一方面說明模型可靠，同時(shí)也與2016 年國家全面開放二胎政策吻合。

現(xiàn)以2017 年數(shù)據(jù)為初始值，詳見表5，計(jì)算2018～2020年人口總量及誤差，結(jié)果見圖6。

表5 2017年相關(guān)參數(shù)取值Tab.5 Related parameter values in 2017

圖6 2017年～2020年人口總量預(yù)測值與誤差Fig.6 Errors and total population predicted values in 2017～2020

2017～2020 年間最高誤差0.032%，均明顯低于用2013 年和2000 年數(shù)據(jù)為初始值得到的誤差。這表明生育率直接影響人口數(shù)量。

2 生育意愿對人口發(fā)展趨勢的影響

2016 年國家全面放開二胎后，2017 年二胎生育率明顯增加，之后穩(wěn)中略有下降，而一胎生育率持續(xù)下降。不難看出，國家政策帶動(dòng)的是生育意愿，進(jìn)而提高生育率。生育意愿在生育率中扮演著重要角色。本文將生育率看作自然生育率與生育意愿參數(shù)之積，分別討論一胎、二胎、三胎生育意愿參數(shù)對人口總量的影響。

2.1 生育率的構(gòu)成因素

自然生育率即為各階段育齡人口生育的概率，將自然生育率記為λ=(λ1,λ2,λ3)，并假設(shè)其在各階段生育時(shí)間間隔所表示的區(qū)間內(nèi)服從正態(tài)分布。其中λ1表示15 歲到生育第一胎時(shí)間間隔的倒數(shù)，本文假定生育第一胎的年齡在18～30 歲之間，時(shí)間間隔為3～15年，因此λ1取值范圍為［1/15，1/3］。λ2表示生育第一胎到生育第二胎的時(shí)間間隔的倒數(shù)，一般間隔時(shí)間通常為4～8 年，則λ2取值范圍為［1/8，1/4］。λ3表示生育第二胎到生育第三胎及以上的時(shí)間間隔的倒數(shù)，一般間隔時(shí)間通常為2～5 年，則其取值范圍為［1/5，1/2］。自然生育率在對應(yīng)的范圍內(nèi)取隨機(jī)數(shù)。

記生育意愿參數(shù)為μ=(μ1,μ2,μ3) ，分別表示一、二、三胎的生育意愿，在（0，1）之間取值?？紤]到生育意愿完全是個(gè)人主觀行為，因此對于生育意愿不做任何限制。由此，各階段生育率

2.2 生育意愿對人口發(fā)展趨勢的影響

為直觀展示生育意愿參數(shù)對人口總量的影響，本文以2020年的數(shù)據(jù)（表6）為式（2）的初始值，通過調(diào)整各階段生育意愿參數(shù)，計(jì)算未來人口數(shù)量，預(yù)測人口發(fā)展趨勢。通過比較不同參數(shù)下人口發(fā)展趨勢，確定生育意愿參數(shù)對人口發(fā)展的影響。

表6 2020年參數(shù)取值Tab.6 Related parameter values in 2020

首先采用2020 年的生育率，利用式（4）計(jì)算2020 年各階段人口生育意愿參數(shù)，結(jié)果詳見表7。通過模型（2）得到未來一些年份人口總量，如圖7所示。

表7 2020年生育率參數(shù)Tab.7 Fertility rate parameters in 2020

圖7 調(diào)整生育意愿后人口發(fā)展曲線Fig.7 Population growth curve after adjusting fertility intention

按照2020 年的生育率，預(yù)計(jì)在2050 年人口總數(shù)達(dá)到峰值，之后逐步走低。很多專家已意識到這個(gè)問題，國家也出臺了全面開放三胎的生育政策。

下面分別將一、二、三胎生育意愿參數(shù)擴(kuò)大1倍，三胎生育意愿擴(kuò)大2 倍，在這四種情況下計(jì)算人口總量，并繪制人口發(fā)展曲線，如圖7 所示。將生育意愿調(diào)整后的人口峰值及年份列于表8中。

表8 調(diào)整生育意愿后人口峰值比較Tab.8 Comparison of population peak after adjusting fertility intention

與采用2020 年生育率相比，提高各階段生育意愿后，人口總量均有顯著提升，人口峰值到達(dá)的時(shí)間延后5～20年。而且，擴(kuò)大一胎生育意愿對人口的效果明顯優(yōu)于擴(kuò)大二、三胎生育意愿的情形，不僅延遲了到達(dá)人口峰值的時(shí)間，人口峰值也達(dá)到了更高的水平。同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)，一胎生育意愿參數(shù)擴(kuò)大1倍與三胎生育意愿參數(shù)擴(kuò)大2倍，人口峰值到達(dá)的時(shí)間均在2070 年左右，而一胎生育意愿參數(shù)擴(kuò)大1倍預(yù)測的人口峰值更高。因此，在提高人口數(shù)量，遏制人口出生率持續(xù)走低的工作中，重點(diǎn)在于提升一胎生育意愿，可以達(dá)到事半功倍的效果。

3 結(jié) 論

本文建立多階段人口增長動(dòng)力學(xué)模型，估計(jì)各階段之間的轉(zhuǎn)化率，采用誤差分析驗(yàn)證模型正確性的同時(shí)，也表明生育率對人口總量的巨大影響，展示了國家政策對生育率的直接影響。在生育率中引入生育意愿參數(shù)，分別調(diào)整生育意愿，預(yù)測人口未來發(fā)展趨勢。提升一胎、二胎、三胎生育意愿，均可顯著提升人口總量，不同程度地延后人口峰值到達(dá)的時(shí)間；提升一胎生育意愿的效果明顯優(yōu)于提升二、三胎生育意愿效果。