圓柱體工件外徑非接觸測量及誤差分析

貢樂凱，閆鈺鋒，王武，張振超

（1.長春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長春 130022；2.北方導(dǎo)航控制技術(shù)股份有限公司，北京 100176）

圓柱體是應(yīng)用非常廣泛的構(gòu)件形式，例如作為傳動(dòng)軸和軸承、齒輪等部件配合。隨著加工技術(shù)的不斷升級(jí)，對(duì)其檢測精度也提出了更高的要求[1-2]，目前檢測方法分為接觸式和非接觸式兩大類。

接觸式測量方法的代表是三坐標(biāo)測量機(jī)，其通過與工件表面的接觸力的方向及測頭在坐標(biāo)系中的位置，獲得工件的三維尺寸數(shù)據(jù)，測量重復(fù)性精度可優(yōu)于1 μm。這類接觸式的測量方法可以實(shí)現(xiàn)高精度的測量，但在測量表面粗糙度要求較高的工件式，還存在因接觸力導(dǎo)致工件表面變形的風(fēng)險(xiǎn)[3]。

非接觸式測量方法主要包括激光測距法和數(shù)字圖像處理法[4-8]。近年來，主要研究熱點(diǎn)集中在高精度的激光位移傳感器和先進(jìn)的圖像處理算法等方面。Kühnel 等人[9]設(shè)計(jì)了一種非接觸圓度和圓柱度測量裝置，采用雙干涉儀結(jié)合高精度轉(zhuǎn)臺(tái)執(zhí)行測量，減小了諸如工件偏心和傾斜等因素對(duì)測量的影響。國內(nèi)的研究學(xué)者Gao 等人[10]提出了利用工業(yè)相機(jī)捕捉工件的側(cè)面投影的方法來檢測工件的外徑尺寸。Chai 等人[11]使用激光位移傳感器測量復(fù)和齒輪軸的同軸度，分離齒輪頂部的數(shù)據(jù)點(diǎn)后使用最小二乘圓及粒子群優(yōu)化算法計(jì)算測量信息。

以上測量方法中，需對(duì)被測件的放置誤差進(jìn)行剔除，或?qū)鈱W(xué)系統(tǒng)的裝配要求較高。因此本文依據(jù)圓柱體工件在設(shè)計(jì)和加工時(shí)的回轉(zhuǎn)特征基準(zhǔn)，研究利用擬合被測工件的虛擬軸線的方法，有效抑制了被測工件的放置誤差，可提高測量精度。并對(duì)影響測量精度的測量誤差進(jìn)行了分析，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了測量系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和精密性。

1 測量模型及測量系統(tǒng)

1.1 測量模型

本文采用如圖1 所示的結(jié)構(gòu)測量圓柱體類型的工件。其中1 為升降臺(tái)，2 為激光傳感器，3 為位移臺(tái)，4 為轉(zhuǎn)臺(tái)，5 為圓柱體工件。

圖1 測量設(shè)備結(jié)構(gòu)示意圖。

以升降臺(tái)和位移臺(tái)的機(jī)械零點(diǎn)為基準(zhǔn)，建立絕對(duì)坐標(biāo)系OA-xyz，如圖2 所示。OA-z軸正方向沿升降臺(tái)豎直向上，OA-x軸正方向沿位移臺(tái)正向運(yùn)動(dòng)方向。

圖2 絕對(duì)坐標(biāo)系與測量坐標(biāo)系。

在測量系統(tǒng)中，測量光束與OA-x軸平行，與轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線垂直且在同一平面內(nèi)。設(shè)傳感器在絕對(duì)坐標(biāo)系中的位置為AS，AS=（xS，yS，H）。設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)在絕對(duì)坐標(biāo)系中的位置為AR，AR=（xR，yS，0）。則轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)軸線的方向向量LR在絕對(duì)坐標(biāo)系中的方向?yàn)長R=（0，0，1）。以AR為基準(zhǔn)建立測量坐標(biāo)系OM-xyz。OM-z軸正方向沿LR向上且平行于OA-z軸，OM-x軸正方向與OA-x軸同向，如圖2 所示。理想情況下，在測量坐標(biāo)系OM-xyz中圓柱體工件的軸線與LR重合且無偏心傾斜誤差存在。此時(shí)點(diǎn)云截面為空間中的理想圓形。

但在實(shí)際測量中，圓柱體工件的軸線不與轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線重合，存在一定偏心距離與傾斜角度[12]，此時(shí)點(diǎn)云截面為空間中的橢圓形，如圖3所示。

圖3 實(shí)際測量模型

此時(shí)測量點(diǎn)在測量坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：

其中，d為傳感器讀數(shù)；Hj為傳感器當(dāng)前的測量高度；γ為轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度。單個(gè)圓柱體共J個(gè)測量截面，j=1，2，…，J。單個(gè)測量截面共I個(gè)測量點(diǎn)，i=1，2，…，I。為簡化后續(xù)計(jì)算，令：

單個(gè)截面橢圓圓心可通過橢圓直接最小二乘算法擬合[13-15]計(jì)算得到。設(shè)目標(biāo)函數(shù)為：

其中，a=[a，2b，c，2d，2e，f]T為未知的橢圓截面參數(shù)矩陣。施加等式約束4ac-b2=1 可得a矩陣各個(gè)值，進(jìn)而得到橢圓的圓心坐標(biāo)（xc，yc）：

得到各截面橢圓圓心坐標(biāo)矩陣Oj=[xcj，ycj，zj]。可假設(shè)所有橢圓圓心均在圓柱體回轉(zhuǎn)軸線上，則圓柱體回轉(zhuǎn)軸線Lc在測量坐標(biāo)系下的空間方程及其方向向量Lc可通過最小二乘法計(jì)算得到。設(shè)Lc的空間方程及其方向向量Lc分別為：

回轉(zhuǎn)軸線Lc的延長線與測量坐標(biāo)系OM-xoy平面的交點(diǎn)為（x0，y0）。結(jié)合各橢圓圓心坐標(biāo)矩陣Oj計(jì)算如下：

由式（7）可以得到x0、y0、m及n。則測量坐標(biāo)系中各測量點(diǎn)的外徑為：

1.2 測量系統(tǒng)

如圖4 所示，在本文使用的測量方法中，測量設(shè)備由1-高精度機(jī)械升降臺(tái)、2-激光三角位移傳感器、3-高精度氣浮位移臺(tái)、4-高精度轉(zhuǎn)臺(tái)和5-圓柱體工件組成。當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)攜帶被測圓柱體工件旋轉(zhuǎn)360°后，傳感器可采集到當(dāng)前高度圓柱體的點(diǎn)云截面數(shù)據(jù)，經(jīng)過掃描不同高度的圓柱體的表面后，可得到當(dāng)前圓柱體工件的點(diǎn)云模型。測量時(shí)需確保傳感器采集數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔與轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過固定角度的時(shí)間同步。

圖4 測量系統(tǒng)配置

2 造成測量誤差的主要因素

2.1 系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差包括傳感器安裝底座的制造誤差及轉(zhuǎn)臺(tái)的安裝誤差。

首先，討論由傳感器安裝底座的制造誤差造成的系統(tǒng)誤差。在OM-xoy平面中，由于傳感器安裝底座的制造誤差使傳感器偏離安裝位置，測量光束及其延長線不能嚴(yán)格地與平面原點(diǎn)相交，存在一定的垂直距離，如圖5 所示。

圖5 OM-xoy平面與Osen-rt坐標(biāo)系。

以傳感器在OA-xyz坐標(biāo)系中的理想安裝位置為原點(diǎn)Osen建立傳感器坐標(biāo)系Osen-rt，Osen-r軸沿測量光束發(fā)射方向反向。Osen-t軸與Osen-r軸垂直。圖5 中Osen為傳感器理論位置，Osen1、Osen2、Osen3和Osen4分別為因制造誤差導(dǎo)致的實(shí)際安裝位置。

基于圖5 所示關(guān)系，Osen-rt內(nèi)的制造誤差可分解為帶有正或負(fù)方向的徑向誤差?dr與切向誤差?dt，關(guān)系如下：

（1）Osen-rt第一象限，?dr>0，?dt>0；

（2）Osen-rt第二象限，?dr<0，?dt<0；

（3）Osen-rt第三象限，?dr<0，?dt<0；

（4）Osen-rt第四象限，?dr>0，?dt>0。

將帶有正或負(fù)方向的徑向誤差?dr及切向誤差?dt帶入OM-xoy平面中。如圖6 所示為傳感器在Osen-rt第一象限下的情況。

圖6 光束發(fā)射點(diǎn)在Osen-rt第一象限。

Osen為理想情況下傳感器位置，d為傳感器理想讀數(shù)。Osen1為傳感器在Osen-rt第一象限下的位置，d?d為帶有制造誤差的傳感器實(shí)際讀數(shù)。Q0為理想情況下的測量光斑位置。Q?d為實(shí)際情況下的測量光斑位置，其在OM-xyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示為：

由于傳感器安裝底座存在制造角度誤差δS，測量光束與OM-xoy平面之間存在俯仰角度，不能嚴(yán)格地與轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線保持垂直，如圖7 所示。

圖7 測量光束與OM-xoy平面之間的夾角δS

因此，在式（9）中加入角度誤差δS后，測量光斑QM在OM-xyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示為：

其中，ds為傳感器在制造誤差影響下的實(shí)際讀數(shù)。則可以得到由傳感器安裝底座的制造誤差造成的系統(tǒng)誤差?Ebase為：

在實(shí)際加工中，徑向誤差|?dr|<0.03 mm，切向誤差|?dt|<0.03 mm，以及制造角度誤差|δS|<0.2°。將?dr、?dt和δS分別作為自變量分析其對(duì)?Ebase的影響。首先，將?dr和?dt作為自變量，令δS=0.2°為一固定值。

?dr和?dt對(duì)?Ebase的影響如圖8所 示。?dr對(duì)?Ebase的影響最為明顯，直接影響測量結(jié)果；?dt對(duì)?Ebase的影響最小，對(duì)測量結(jié)果幾乎不造成影響。

圖8 ?dr和?dt對(duì)?Ebase造成的影響。

然后，將δS作為自變量。令?dr=0.03 mm，?dt=0.03 mm，兩值固定不變。δS對(duì)?Ebase的影響如圖9 所示。δS對(duì)?Ebase的影響較為明顯，會(huì)影響傳感器讀數(shù)的最后兩位數(shù)值。

圖9δS對(duì)?Ebase造成的影響。

可通過位移臺(tái)調(diào)整傳感器在OA-xyz坐標(biāo)系中的位置，調(diào)整傳感器到轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線的距離，補(bǔ)償?dr的影響，可達(dá)到?dr=0.5 μm。通過調(diào)整安裝角度補(bǔ)償δS的影響，可達(dá)到δS=2 arcsec。當(dāng)圓柱體工件直徑為100 mm 時(shí)，可得對(duì)?dr及δS補(bǔ)償后的?Ebase=0.5 μm。

其次，討論由轉(zhuǎn)臺(tái)的安裝誤差造成的系統(tǒng)誤差。當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)攜帶圓柱體工件旋轉(zhuǎn)時(shí)，測量光斑軌跡由測量光束與工件外壁形成，其形狀受轉(zhuǎn)臺(tái)在OA-xyz坐標(biāo)系中的安裝誤差的影響。當(dāng)測量光束垂直于OM-z軸，?dr=0，?dt=0，δS=0°時(shí)，光斑軌跡為垂直于OM-z軸的空間圓形平面。當(dāng)測量光束不與OM-z軸垂直，?dr=0，?dt=0，δS≠0°時(shí)，光斑軌跡為圓錐體。當(dāng)測量光束不與OM-z軸垂直，?dr≠0，?dt≠0，δS≠0°時(shí)，光斑軌跡為不規(guī)則圓錐面，如圖10 所示。

圖10 測量光束的光斑軌跡。

此時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)軸線的方向向量LRE在絕對(duì)坐標(biāo)系中的方向?yàn)長RE=（mR，nR，pR）。轉(zhuǎn)臺(tái)在絕 對(duì)坐 標(biāo)系 中的 位置 為ARE，ARE=（xRE，yRE，0）。測量點(diǎn)QRE在OA-xyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為QRE=（xS+dRE，ys，H），dRE為此時(shí)傳感器讀數(shù)，則QRE在OMxyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示為：

其中，θz為LRE與OA-z軸的夾角。設(shè)OA-z軸 單位向量為ze，ze=（0，0，1）。θz可由下式計(jì)算得到：

測量點(diǎn)QRE的外徑值DRE可由公式（4）～（8）計(jì)算得到。則由轉(zhuǎn)臺(tái)的安裝誤差造成的系統(tǒng)誤差?ERE為：

其中，DR為傳感器讀數(shù)dRE以LR基準(zhǔn)的計(jì)算結(jié)果。由于轉(zhuǎn)臺(tái)的安裝誤差造成的系統(tǒng)誤差不為唯一值，故不將其作為固定值代入誤差合成計(jì)算。

2.2 隨機(jī)誤差

傳感器的直線度誤差為?Es=±2.5 μm。傳感器的顯示分辨率為0.01 μm，故其示值變動(dòng)引起的局部誤差為?Eloc=0.01 μm。

將被測圓柱體放置于轉(zhuǎn)臺(tái)上測量時(shí)，圓柱體表面點(diǎn)云數(shù)據(jù)會(huì)受到轉(zhuǎn)臺(tái)徑向跳動(dòng)誤差的影響。轉(zhuǎn)臺(tái)的徑向跳動(dòng)誤差為?ERT=3 μm。

高精度機(jī)械升降臺(tái)負(fù)責(zé)控制傳感器升降適應(yīng)不同的測量高度，高精度氣浮位移臺(tái)負(fù)責(zé)控制傳感器安裝位置適應(yīng)不同的圓柱體半徑。高精度機(jī)械升降臺(tái)的直線度誤差為?ELP=±3 μm，高精度氣浮位移臺(tái)的直線度誤差為?EDP=±0.25 μm。

則隨機(jī)誤差?Erdm為：

可得?Erdm=±4.93 μm。

2.3 系統(tǒng)總測量誤差

根據(jù)2.1 節(jié)與2.2 節(jié)的分析，可以得到系統(tǒng)總測量誤差合成公式：

可得測量誤差?Esum=±4.96 μm。

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 測量系統(tǒng)的配置

圖11 展示了測量系統(tǒng)的配置。該系統(tǒng)由1-高精度機(jī)械升降臺(tái)、2-激光三角位移傳感器、3-高精度氣浮位移臺(tái)和4-高精度轉(zhuǎn)臺(tái)組成。

圖11 測量系統(tǒng)的配置

測量系統(tǒng)配置的性能參數(shù)參照表1～3。

表1 激光三角位移傳感器性能參數(shù)

表2 機(jī)械升降臺(tái)與氣浮位移臺(tái)性能參數(shù)

表3 轉(zhuǎn)臺(tái)性能參數(shù)

3.2 圓柱體樣柱測量實(shí)驗(yàn)

如圖12 所示。通過三坐標(biāo)測量機(jī)獲得樣柱的外徑及圓柱度測量的理論真值。通過與測量結(jié)果進(jìn)行比較，評(píng)估系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和精度。自樣柱最下端依次向上分別為第一圓柱、第二圓柱及第三圓柱。

圖12 測量圓柱體樣柱

根據(jù)前文介紹的測量原理，可以獲得樣柱外表面的三維點(diǎn)云。單個(gè)截面的測量點(diǎn)個(gè)數(shù)設(shè)置為I=128。根據(jù)樣柱不同的高度設(shè)定不同的測量截面數(shù)量，第一圓柱共10 個(gè)測量截面，第二圓柱共9 個(gè)測量截面，第三圓柱共8 個(gè)測量截面。樣柱的測量點(diǎn)云及其擬合橢圓圓心如圖13 及圖14所示。

圖13 樣柱的測量點(diǎn)云

圖14 各截面的擬合橢圓圓心

各截面直徑測量殘差結(jié)果如圖15 所示。各測量點(diǎn)直徑殘差如圖16 所示，放大倍率為1000倍。各截面直徑測量殘差結(jié)果及圓柱度測量殘差結(jié)果如表4 及表5 所示。

圖15 直徑殘差測量結(jié)果

圖16 直徑殘差

表4 直徑測量殘差結(jié)果

表5 圓柱度測量殘差結(jié)果

可知測量結(jié)果均在誤差分析范圍內(nèi)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以驗(yàn)證本文測量方法的可行性。

3.3 測量范圍及測量效率

根據(jù)高精度機(jī)械升降臺(tái)的行程可知，該測量系統(tǒng)的軸向最大測量范圍為300 mm。由表2 可知高精度氣浮臺(tái)的最大行程為50 mm，超過了傳感器的最大測量范圍，結(jié)合傳感器的測量范圍為30±5 mm，因此氣浮臺(tái)的使用范圍為0～30 mm，則該測量系統(tǒng)可測量半徑差值在30±5 mm 的圓柱體工件，且可根據(jù)實(shí)際需求更換更大量程的傳感器和更大行程的橫向位移臺(tái)。

如表6 所示為在仿真實(shí)驗(yàn)中，直徑為150 mm的圓柱體被測件與OM-z軸夾角為5°情況下，本文使用的擬合虛擬軸線算法與最小二乘圓算法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，共計(jì)4 個(gè)測量截面。表7 為計(jì)算結(jié)果的殘差。

表7 計(jì)算結(jié)果殘差

4 結(jié)論

本文提出了一套圓柱體工件外徑測量系統(tǒng)。通過高精度位移臺(tái)和激光位移傳感器相結(jié)合的方式測量工件的基準(zhǔn)軸和外徑。分析了測量系統(tǒng)中的系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差，進(jìn)行了具體實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該系統(tǒng)的有效性。通過與三坐標(biāo)測量機(jī)的測量結(jié)果對(duì)比，證明該測量系統(tǒng)的測量精度達(dá)到了±4.96 μm。

（1）所提出系統(tǒng)可以同時(shí)測量圓柱體工件的不同參數(shù)，如工件的基準(zhǔn)、外徑、圓柱度等，提高了測量效率。

（2）該系統(tǒng)通過對(duì)裝配誤差的補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)較高的測量精度。對(duì)于不同直徑圓規(guī)同時(shí)測量，測量精度達(dá)±4.96 μm。

（3）該系統(tǒng)具有廣泛的應(yīng)用前景，對(duì)不同尺寸的圓柱體工件能保證良好的兼容性，同時(shí)降低了工件與測量儀器的安裝難度，在實(shí)際測量場景下具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

（4）然而，由于測量系統(tǒng)對(duì)一些形貌復(fù)雜的圓柱體工件難以進(jìn)行測量，所以具有一定的局限性，隨著傳感器技術(shù)的改進(jìn)和發(fā)展，測量系統(tǒng)的范圍和精度都可以得到提高。