石墨烯三缺陷光子晶體濾波特性分析

凌凱，姜麗，姚治海，于梓麒

（長春理工大學(xué) 物理學(xué)院，長春 130022）

光子晶體是一種折射率呈周期性變化的材料，這個概念最早是在1987 年，由Yablonovitch[1]和John[2]分別獨立提出的。光子晶體按構(gòu)成介質(zhì)在空間的排布方式可以分為一維、二維和三維光子晶體。一維光子晶體具有結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)容易調(diào)整、制作工藝成熟等優(yōu)點；二維、三維光子晶體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，制作方法繁瑣，但禁帶效應(yīng)最好[3]。由于一維光子晶體計算方法簡單，可以嚴(yán)格計算，而且一維光子晶體也可以具有制造出不少二維、三維光子晶體所制備器件的能力[4]。因此，一維光子晶體的研究依然具有很高的價值。

與電子在半導(dǎo)體材料的周期性勢場下形成能帶結(jié)構(gòu)相類似，具有周期性結(jié)構(gòu)的光子晶體對不同頻率的光有阻斷作用，從而使光在光子晶體中傳播產(chǎn)生能帶結(jié)構(gòu)，處于帶隙內(nèi)的光則不能通過光子晶體而被反射[5-6]。在周期性結(jié)構(gòu)的光子晶體中引入一層不同的介質(zhì)，破壞周期性結(jié)構(gòu)，光傳播到這個位置時就會被局域限制，具體表現(xiàn)為在透射譜中出現(xiàn)一個帶寬很窄且透射率很高的透射峰（缺陷模），在一定條件下，缺陷模處光的透射率可以達到100%。因此通過在光子晶體中引入缺陷的方法可以實現(xiàn)對光的控制，使得用光子取代電子來傳輸、處理和存儲信息成為可能[7]。目前，光子晶體的應(yīng)用主要有濾波器、光子晶體光纖、光子晶體激光器、無損耗光子晶體波導(dǎo)、光子晶體偏振器等[8-9]。對光子晶體濾波特性的研究趨向于高性能、高品質(zhì)、濾波范圍廣等方向。潘繼環(huán)等人[10]研究了對稱雙缺陷光子晶體，設(shè)計了一種高性能、高品質(zhì)的新型雙通道光學(xué)濾波器件。高越等人[11]設(shè)計了一種一維光子晶體，可實現(xiàn)在單、雙通道濾波之間切換。王周益等人[12]設(shè)計了一種高效率的四通道濾波器，傳輸效率可達85%。

石墨烯是一種由一層碳原子構(gòu)成的二維蜂窩狀晶體材料，它的厚度約為0.34 nm，是世界上最薄的半導(dǎo)體材料。同時石墨烯具有質(zhì)量輕、延展性好、硬度強等特點[13-15]。由于石墨烯獨特的晶格結(jié)構(gòu)，使得石墨烯具有電子高遷移率、電磁波低吸收等特點[16]。單層石墨烯對可見光的吸收率在2.3%左右[17]。Deng 等人[18]研究了一種新型梳狀石墨烯納米帶寬帶濾波器，可以實現(xiàn)中紅外波長的帶通濾波，并且可以有效地調(diào)整通帶中心和帶寬。Belhadj 等人[19]研究了一維石墨烯缺陷介電光子晶體的太赫茲光譜特性，研究發(fā)現(xiàn)透射譜中出現(xiàn)梳狀共振峰，并且數(shù)量密度隨著結(jié)構(gòu)周期數(shù)的增加而增加。Jahani 等人[20]提出了一種含石墨烯的一維光子晶體，該結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)超窄帶多通道濾波。Sattarian 等人[21]研究了一維混合石墨烯光子晶體，在可見光范圍內(nèi)獲得適用于廣泛入射角的高透射峰。王飛等人[22-23]基于電磁場邊界條件和相位匹配，采用全新的方法推導(dǎo)了石墨烯界面?zhèn)鬏斁仃?，并進一步給出了反射系數(shù)與透射系數(shù)，該傳輸矩陣適用于各種含石墨烯界面的情況。

基于石墨烯的特殊性質(zhì)，將石墨烯作為缺陷層嵌入到光子晶體中，來實現(xiàn)對透射光強度的控制，解決三通道濾波器中各通道濾波強度不易調(diào)節(jié)的問題。利用傳輸矩陣法研究了含有三個缺陷層的一維光子晶體的光學(xué)特性。并用mathematica 軟件對該結(jié)構(gòu)的透射特性進行了模擬。得出了透射峰位置、寬度、高度隨光子晶體的周期數(shù)、介質(zhì)層的厚度等因素的變化規(guī)律，實現(xiàn)了對透射峰的調(diào)控。該研究結(jié)果具有重要的實踐意義，可以根據(jù)需要控制介質(zhì)層厚度和周期數(shù)來設(shè)計三通道濾波器，并有望在光波分復(fù)用通信系統(tǒng)中發(fā)揮作用。

1 結(jié)構(gòu)模型與計算方法

光子晶體的濾波特性與透射譜中的缺陷模相關(guān)，缺陷模又與光子晶體的內(nèi)部缺陷有關(guān)。理論研究表明，對于含有N個缺陷的光子晶體，其缺陷模頻率方程恰好有N個根，因此光子晶體禁帶中出現(xiàn)缺陷模的個數(shù)與引入缺陷層的個數(shù)相等[24-25]。傳統(tǒng)的光子晶體是由折射率為實數(shù)的理想介質(zhì)材料構(gòu)成，這種正常折射率的材料不會對光產(chǎn)生吸收，即這種材料的光子晶體對透射峰的強度不易控制。石墨烯不同于傳統(tǒng)的材料，對光可以產(chǎn)生吸收，因此在光子晶體中加入石墨烯可以實現(xiàn)對透射峰強度的調(diào)節(jié)。

為了保證結(jié)構(gòu)的對稱性，選擇替換式的摻雜方式將石墨烯加入到光子晶體中，其準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)為(AB)mG(BA)nG(AB)nG(BA)m。其中A 為低折射率材料，B 為高折射率材料，G 為石墨烯，m為外層周期數(shù)，n為內(nèi)層周期數(shù)。結(jié)構(gòu)模型如圖1 所示。在這種結(jié)構(gòu)的光子晶體中，引入了三個石墨烯缺陷層，理論上在禁帶中將得到三個缺陷模，采用這種光子晶體的濾波器便能實現(xiàn)三通道濾波。

圖1 石墨烯缺陷光子晶體結(jié)構(gòu)示意圖。

下面以TE 模為例來研究光子晶體的光學(xué)特性。若光從左側(cè)向右進入光子晶體，光波進入光子晶體可以看成電磁波進入介質(zhì)層并在介質(zhì)中傳播，首先來看光穿過單層介質(zhì)的情況，設(shè)第j層入射面上光波的電場強度與磁場強度為(Ej,Hj)，出射面上光波的電場強度與磁場強度為(Ej+1,Hj+1)，根據(jù)麥克斯韋方程組和邊界條件可以得出：

其中，σG為石墨烯的表面電導(dǎo)率，它是角頻率（ω）、化學(xué)勢（μc）、電子弛豫時間（τ）和溫度（T）的函數(shù)，由Kobu 公式[26]可知：

其中，i為虛數(shù)單位；π 為圓周率；e為元電荷電量；?為約化普朗克常數(shù)；kB為玻爾茲曼常數(shù)。由于σintra取決于能帶內(nèi)的能量，能帶內(nèi)的能量占能量主要部分，所以在計算時只考慮σintra這一項，而忽略σinter項。

光波在整個光子晶體中的傳播可以用一個總的傳播矩陣來描述，將對應(yīng)各層的傳輸矩陣相乘就可以得出整個光子晶體的傳輸矩陣。

其中，η1與ηN+1為光子晶體兩外側(cè)介質(zhì)的光學(xué)導(dǎo)納。

透射率T、反射率R和吸收率A分別為：

2 數(shù)值模擬與結(jié)論分析

假設(shè)一維光子晶體處于空氣中，其組成介質(zhì)都是非磁性物質(zhì)。研究發(fā)現(xiàn)，缺陷模會隨著介質(zhì)折射率的增大發(fā)生紅移，但是整體變化不大[27-28]，所以將介質(zhì)折射率作為一個可調(diào)參數(shù)的意義不大，因此將材料A 與B 的折射率取為固定值。取A 材料為二氧化硅（SiO2），忽略吸收系數(shù)后其折射率與相對電容率為nA= 1.45、εrA= 4.5；取B 材料為硅（Si），忽略吸收系數(shù)后其折射率與相對電容率為nB= 3.42、εrB= 12。為了便于觀察，將中心波長取為可見光的中間值，即λ0=580 nm。兩介質(zhì)層的光學(xué)厚度分別取中心波長的四分之一，，即dA=100 nm，dB=42.40 nm。對于石墨烯材料，化學(xué)勢、電子弛豫時間和溫度分別取為μc=0.5 eV、τ=0.5 fs、T=300 K、dG=0.34 nm。對于空氣缺陷光子晶體，將公式（7）中的MG替換成了相同厚度的空氣層的傳輸矩陣。

2.1 空氣缺陷與石墨烯缺陷光子晶體光學(xué)特性

為了研究光子晶體中石墨烯對光傳播的影響，分別計算了在相同參數(shù)下空氣缺陷光子晶體與石墨烯缺陷光子晶體的透射率、反射率和吸收率。如圖2 所示，圖中使用的參數(shù)為外層周期數(shù)m=3、內(nèi)層周期數(shù)n=2、入射角θ=0°。

圖2 空氣缺陷與石墨烯缺陷光子晶體的光學(xué)特性譜線

從圖2（a）與圖2（d）中可以看出，在光子晶體中引入三個缺陷，透射譜中均出現(xiàn)三個缺陷模，與文獻[25]中的結(jié)論一致。透射譜中一個缺陷模位于中心波長處，另外兩個缺陷模分別位于中心波長的兩側(cè)，且關(guān)于中心波長對稱。石墨烯缺陷光子晶體與空氣缺陷光子晶體的缺陷模不同，對于空氣缺陷光子晶體，三個缺陷模處的透射率均達100%；而石墨烯缺陷光子晶體三個缺陷模處的透射率各不相同，中心波長處的透射率略低于兩側(cè)缺陷模處的透射率。石墨烯缺陷光子晶體對特定波長的光有一定的反射和吸收，如圖2（e）、圖2（f）所示，吸收峰位于三個缺陷模處，中心波長處的吸收率接近40%。在石墨烯缺陷光子晶體中，石墨烯的加入產(chǎn)生了反射和吸收，最終使得透射譜中透射峰降低。

傳統(tǒng)的光子晶體介質(zhì)的折射率全部為實數(shù)，這種材料對光不產(chǎn)生吸收。而石墨烯不同于傳統(tǒng)材料，其表面電導(dǎo)率為復(fù)數(shù)，對光可以產(chǎn)生吸收。對于石墨烯缺陷的光子晶體，當(dāng)光進入石墨烯兩側(cè)介質(zhì)層所形成的微法布里-珀羅諧振腔后，不斷在腔體內(nèi)發(fā)生反射，每反射一次都要經(jīng)過一次石墨烯層。因此，這種微腔結(jié)構(gòu)大幅度提高了石墨烯對光的吸收率。因此，在設(shè)計光子晶體濾波器的時候可以通過加入石墨烯缺陷來調(diào)節(jié)不同通道的濾波強度。

2.2 入射角對透射率的影響

光子晶體在做濾波器的同時，常常要考慮光子晶體對入射角的敏感程度，為了研究入射角對該結(jié)構(gòu)光子晶體的濾波特性的影響，計算了在0°～90°角入射下光子晶體的透射率。如圖3所示，圖中所使用的參數(shù)外層周期數(shù)m=3、內(nèi)層周期數(shù)n=2。

圖3 不同入射角下透射率隨波長變化關(guān)系

從圖3 中可以看出，透射譜中的缺陷模隨入射角的增大發(fā)生藍(lán)移，三個透射峰藍(lán)移的速度不同，兩側(cè)的透射峰藍(lán)移速度較快，中間的透射峰藍(lán)移速度較慢，整體表現(xiàn)為中間透射峰向右側(cè)透射峰靠近。透射峰的高度隨入射角也有所變化，左側(cè)透射峰的高度逐漸增加，右側(cè)和中間透射峰的高度逐漸減小，在入射角為78.6°時消失。因此在大角度入射時可以實現(xiàn)單通道窄帶濾波。由可以看出，相位不變的情況下，cosθ與λ成正比，當(dāng)入射角增大時cosθ減小導(dǎo)致透射峰發(fā)生藍(lán)移。因此，該結(jié)構(gòu)的光子晶體對入射角度比較敏感，根據(jù)這個特點可以設(shè)計動態(tài)調(diào)諧濾波器。

2.3 介質(zhì)層光學(xué)厚度對透射率的影響

光子晶體濾波器的濾波通道受介質(zhì)層光學(xué)厚度的影響，為了研究介質(zhì)層光學(xué)厚度對濾波通道的影響，分別研究了在光線垂直入射的情況下，同時增大A、B 層光學(xué)厚度與增大A 層光學(xué)厚度減小B 層光學(xué)厚度兩種情況下光子晶體透射譜的變化規(guī)律。

在保持A、B 層的光學(xué)厚度之比不變的情況下，改變A、B 層的光學(xué)厚度繪制光子晶體透射率隨波長變化關(guān)系，如圖4 所示，繪圖范圍取原介質(zhì)層光學(xué)厚度的0.8～1.2 倍，圖中使用的參數(shù)外層周期數(shù)m=3、內(nèi)層周期數(shù)n=2、入射角θ=0°。研究發(fā)現(xiàn)三個透射峰的相對位置不變，高度也不變，整體隨介質(zhì)層厚度的增加發(fā)生紅移。并且紅移速度與介質(zhì)層厚度呈線性關(guān)系。其原因是光學(xué)厚度的增加，導(dǎo)致中心波長的增加，但周期性重復(fù)單元不變，缺陷位置不變，所以透射峰的相對位置不變，整體發(fā)生紅移。因此，在設(shè)計濾波器的時候可以通過改變介質(zhì)層厚度調(diào)節(jié)濾波通道的整體位置。

圖4 不同中心波長下透射率隨波長變化關(guān)系

在保持A、B 層的光學(xué)厚度之和不變的情況下，改變A、B 層的光學(xué)厚度之比繪制光子晶體透射率隨波長變化關(guān)系，如圖5 所示，繪圖范圍取A、B 層光學(xué)厚度之比為（0.6∶1.4）～（1.4∶0.6），圖中使用的參數(shù)外層周期數(shù)m=3、內(nèi)層周期數(shù)n=2、入射角θ=0°。研究發(fā)現(xiàn)，中間透射峰的位置隨著光學(xué)厚度之比的增加發(fā)生藍(lán)移，中間透射峰的高度隨著光學(xué)厚度之比的增加逐漸減小，當(dāng)光學(xué)厚度之比超過1∶1 后逐漸增加；外側(cè)兩透射峰的位置關(guān)于593 nm 對稱，左側(cè)透射峰的高度由接近1 開始逐漸減小，當(dāng)光學(xué)厚度之比超過1∶1 后高度開始逐漸增大，半高寬度逐漸增大；右側(cè)透射峰的高度逐漸減小，當(dāng)光學(xué)厚度之比超過1∶1 后高度逐漸增大到接近1，半高寬度逐漸減小。在該結(jié)構(gòu)中，周期性重復(fù)單元總光學(xué)厚度不變，所以中心波長不變，但是受石墨烯表面電導(dǎo)率的影響，外側(cè)兩個透射峰的對稱中心位置偏移至593 nm 處；中間透射峰的位置與兩介質(zhì)層的相位差有關(guān)，兩介質(zhì)層光學(xué)厚度之比改變，相位差就會改變，最終導(dǎo)致中間透射峰藍(lán)移。因此，在設(shè)計濾波器的時候可以調(diào)節(jié)介質(zhì)層的光學(xué)厚度比來改變中間濾波通道的位置。

圖5 不同光學(xué)厚度之比下透射率隨波長變化關(guān)系

2.4 周期數(shù)對透射率的影響

由前文可知，同時增大介質(zhì)層的光學(xué)厚度無法調(diào)節(jié)三個濾波通道之間的距離，改變介質(zhì)層的厚度比無法同時調(diào)節(jié)透射峰的線寬，提高濾波質(zhì)量。因此，研究了在垂直入射的情況下周期數(shù)（m、n）對光子晶體透射率的影響，計算了不同周期數(shù)下光子晶體的透射率，如圖6 所示，所使用的參數(shù)為圖6（a）外層周期數(shù)m=3、內(nèi)層周期數(shù)n=1、2、3；圖6（b）內(nèi)層周期數(shù)n=2、外層周期數(shù)m=2、3、4；

圖6 不同周期數(shù)下透射率隨波長變化關(guān)系

在透射譜中，透射峰隨周期數(shù)發(fā)生明顯改變，如圖6 所示。研究發(fā)現(xiàn)外層周期數(shù)m決定透射峰的半高寬度，透射峰的半高寬度隨外層周期數(shù)m的增大而減小。內(nèi)層周期數(shù)n決定外側(cè)兩透射峰的位置，外側(cè)兩透射峰隨內(nèi)層周期數(shù)n的增大向中心峰靠近。繼續(xù)增大內(nèi)層周期數(shù)n時，三個透射峰可以合并成一個透射峰。周期數(shù)的變化除了會引起透射峰寬度與位置的變化外，透射峰的高度也會發(fā)生變化。透射峰的高度隨周期數(shù)的增大而降低，外層周期數(shù)m對透射峰高度的影響更加明顯。

對于透射峰位置的變化可以用固體物理中的緊束縛方法來分析，當(dāng)內(nèi)層周期數(shù)增大時，兩個缺陷層之間的距離變大，缺陷層之間無相互作用，缺陷模的波函數(shù)無重疊，因此缺陷模頻率是簡并的。當(dāng)內(nèi)層周期數(shù)減小時，兩個缺陷層之間的距離變小，缺陷層間相互作用加強，缺陷模的波函數(shù)發(fā)生重疊，最終導(dǎo)致缺陷模頻率發(fā)生分裂。研究發(fā)現(xiàn)外層周期數(shù)m的增加，在一定程度上增大了光子的散射概率，使光波的反射率提高，最終導(dǎo)致透射峰的寬度變窄。同時，如果外層周期數(shù)m過多，電磁波的損耗會增大，從而使透射峰的高度降低。因此，在設(shè)計三通道濾波器的時候，可以通過改變內(nèi)層周期數(shù)n來調(diào)節(jié)濾波通道的位置，增加外層周期數(shù)m可以提高濾波器的濾波質(zhì)量，同時為了保證濾波效果周期數(shù)不宜過大。

3 結(jié)論

利用傳輸矩陣法研究了三缺陷光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)和光學(xué)傳輸特性，分析了透射譜中缺陷模在周期數(shù)、入射角度、介質(zhì)層厚度下的變化規(guī)律。結(jié)果表明：具有(AB)mG(BA)nG(AB)nG(BA)m準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)的光子晶體在可見光的范圍內(nèi)透射譜中有三個透射峰，石墨烯的引入對可見光有一定的吸收，使透射峰的高度降低。透射峰會隨著周期數(shù)（m、n）、入射角度（θ）、介質(zhì)層光學(xué)厚度（nAdA、nBdB）的變化發(fā)生明顯的改變。透射峰的半高寬度與外層周期數(shù)有關(guān)，外層周期數(shù)越大，透射峰的半高寬度越小；透射峰的位置與內(nèi)層周期數(shù)有關(guān)，內(nèi)層周期數(shù)越大，三個透射峰靠得越近。當(dāng)入射角增大時，透射峰將發(fā)生藍(lán)移；保持A、B 層的光學(xué)厚度之比不變的情況下，增大A、B 層的光學(xué)厚度，三個透射峰的位置與高度不變，整體發(fā)生紅移；保持A、B 層的光學(xué)厚度之和不變的情況下，改變A、B 層的光學(xué)厚度之比，中間透射峰的位置隨著光學(xué)厚度之比的增加發(fā)生藍(lán)移，高度先減小后增加；外側(cè)兩透射峰的位置關(guān)于593 nm 對稱，高度先減小后增加，左側(cè)透射峰的半高寬度逐漸增大，右側(cè)透射峰的半高寬度逐漸減小。因此，對于石墨烯缺陷光子晶體，通過調(diào)節(jié)周期數(shù)、光學(xué)厚度等參數(shù)可以實現(xiàn)不同強度的三色濾波，為濾波器的設(shè)計提供了相應(yīng)的理論指導(dǎo)。