頻域子結(jié)構(gòu)方法再推導(dǎo)及環(huán)境預(yù)示應(yīng)用研究

陳江攀

（北京電子工程總體研究所，北京 100854）

導(dǎo)彈裝備在飛行過(guò)程中將承受由發(fā)動(dòng)機(jī)推力脈動(dòng)、噴氣噪聲以及氣動(dòng)噪聲等誘發(fā)的振動(dòng)環(huán)境，由于該環(huán)境具有寬頻帶、高強(qiáng)度、隨機(jī)性大等特點(diǎn)，是導(dǎo)彈裝備壽命期內(nèi)遇到的極為嚴(yán)酷的環(huán)境之一[1-2]。恰當(dāng)制定隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境條件，對(duì)于導(dǎo)彈裝備的環(huán)境適應(yīng)性設(shè)計(jì)和地面驗(yàn)證至關(guān)重要，條件過(guò)低會(huì)導(dǎo)致裝備難以承受實(shí)際飛行環(huán)境，進(jìn)而造成飛行失敗，條件過(guò)高會(huì)導(dǎo)致裝備研制難度、周期以及研制經(jīng)費(fèi)等增加[3-4]。對(duì)于新研型號(hào)，由于不確定的因素很多，而可參考的數(shù)據(jù)又相對(duì)匱乏，因此在設(shè)計(jì)階段基于仿真技術(shù)開(kāi)展環(huán)境預(yù)示，以獲取彈上典型部位的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)于導(dǎo)彈裝備隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境條件的合理制定具有一定的參考價(jià)值。

導(dǎo)彈裝備結(jié)構(gòu)系統(tǒng)十分復(fù)雜，其離散后的有限元模型規(guī)模龐大，直接進(jìn)行仿真分析的計(jì)算效率較低。頻域子結(jié)構(gòu)方法（FRF-based Substructuring Method，F(xiàn)BSM）的提出與發(fā)展有效解決了復(fù)雜結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的計(jì)算效率問(wèn)題，該方法自經(jīng)提出先后經(jīng)歷了阻抗耦合方法[5]、導(dǎo)納耦合方法[6]、廣義導(dǎo)納耦合方法[7]和考慮彈性連接的廣義導(dǎo)納耦合方法[8-10]。FBSM 的方法原理為：首先，根據(jù)分析需求和結(jié)構(gòu)特征，將整體結(jié)構(gòu)劃分成若干子結(jié)構(gòu)；然后，通過(guò)試驗(yàn)測(cè)量或仿真計(jì)算，獲得各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)；最后，通過(guò)引入界面力平衡和位移協(xié)調(diào)條件，將各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)進(jìn)行耦合，獲得整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)。由于各子結(jié)構(gòu)可忽略高階模態(tài)影響，利用模態(tài)疊加法計(jì)算帶內(nèi)頻響函數(shù)，因此 FBSM 可在滿足實(shí)際工程應(yīng)用精度需求的前提下，顯著提升計(jì)算效率[11]。此外，F(xiàn)BSM 還具有以下優(yōu)點(diǎn)：1）若某子結(jié)構(gòu)需進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，則只需獲得該子結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的頻響函數(shù)，即可利用FBSM 與其他子結(jié)構(gòu)重新耦合獲得優(yōu)化后整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)；2）各子結(jié)構(gòu)可由不同單位分別進(jìn)行設(shè)計(jì)、分析與測(cè)試，最后交由總體單位進(jìn)行耦合分析，符合導(dǎo)彈裝備的研制特點(diǎn)；3）FBSM 的輸入為各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，對(duì)獲取頻響函數(shù)的試驗(yàn)方法或仿真分析平臺(tái)等不作限制[11-12]。需要說(shuō)明的是，利用FBSM 進(jìn)行子結(jié)構(gòu)耦合獲得的是位移頻響函數(shù)，而工程中隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示通常需要利用加速度傳遞函數(shù)[13]，故亟需開(kāi)展位移頻響函數(shù)與加速度傳遞函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系研究。

文中首先基于 SMW（Sherman-Morrison-Wood bury）公式對(duì)考慮彈性連接的FBSM 進(jìn)行了重新推導(dǎo)，形成了適用范圍更廣的表達(dá)形式。然后，根據(jù)線性系統(tǒng)的振動(dòng)方程推導(dǎo)獲得了復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移頻響函數(shù)與加速度傳遞函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并據(jù)此進(jìn)一步研究形成了基于FBSM 的隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示方法。最后，通過(guò)設(shè)計(jì)仿真算例對(duì)文中研究方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。論文所得結(jié)論可為復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示提供一定的幫助。

1 考慮彈性連接的FBSM 再推導(dǎo)

1.1 現(xiàn)有方法推導(dǎo)

考慮彈性連接的FBSM 要求將所有子結(jié)構(gòu)和所有彈性連接分別當(dāng)作一個(gè)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和一個(gè)彈性連接系統(tǒng)進(jìn)行處理[11]，如圖1 所示。其中：w和分別為整體結(jié)構(gòu)和子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的內(nèi)部自由度；u和v、分別為整體結(jié)構(gòu)、子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、彈性連接系統(tǒng)的界面自由度。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)原理，圖1 所示的子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和彈性連接系統(tǒng)的位移頻響函數(shù)矩陣和位移阻抗矩陣分別為：

式中：x、f、H、Z分別為位移向量、力向量、位移頻響函數(shù)矩陣、位移阻抗矩陣。子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)耦合前后，其內(nèi)部自由度保持不變，見(jiàn)式（3）。同時(shí)，引入界面自由度位移協(xié)調(diào)和力平衡條件，分別見(jiàn)式（4）和式（5）。

由此可得：

將式（7）代入式（6），并整理成矩陣形式可得：

進(jìn)一步，將式（3）—（5）代入式（1），并整理可得：

此時(shí)，將式（8）代入式（9）并進(jìn)行整理，即可獲得整體結(jié)構(gòu)的位移頻響函數(shù)矩陣HX的表達(dá)式為：

上述即為現(xiàn)有考慮彈性連接的FBSM 的推導(dǎo)過(guò)程。由式（10）可知，該方法無(wú)法直接用于處理具有奇異性位移阻抗矩陣彈性連接系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)耦合問(wèn)題。

1.2 基于SMW 公式再推導(dǎo)

利用圖1 所示的示意圖，首先對(duì)式（2）中彈性連接系統(tǒng)的位移阻抗矩陣～Z作如下變換：

式中：ZB為變換后矩陣；P和Q均為變換矩陣；I為單位矩陣。將式（11）代入式（2）并整理可得：

又由式（1）、（3）—（5）可得：

進(jìn)一步，將式（12）代入式（13）并整理可得：

此時(shí)，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)原理，可得整體結(jié)構(gòu)的位移頻響函數(shù)矩陣HZ：

觀察式（15），其右端與SMW 公式具有相同的表達(dá)形式。SMW 公式為[10]：

SMW 公式要求矩陣M和矩陣N均為矩形矩陣，矩陣B為非奇異矩陣[14-15]。由式（11）可知，式（15）中的矩陣P和Q均為矩形矩陣，但矩陣是否為奇異取決于彈性連接系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。為了滿足SMW 公式要求，對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解：

式中：矩陣Δ為矩陣的正奇異值對(duì)角陣，為非奇異矩陣；矩陣U和矩陣V均為正交矩陣。將式（17）代入式（15）并整理可得：

式中：矩陣PU和矩陣VTQ均為矩形矩陣，矩陣Δ為非奇異矩陣，滿足SMW 公式要求。因此，基于SMW 公式可得整體結(jié)構(gòu)的位移頻響函數(shù)矩陣HZ的表達(dá)式：

上述即為基于SMW 公式考慮彈性連接的FBSM的再推導(dǎo)過(guò)程。雖然推導(dǎo)結(jié)果與式（10）所示現(xiàn)有方法具有相似的表達(dá)式，但通過(guò)對(duì)比不難看出，文中基于SMW 公式的再推導(dǎo)方法具有以下3 個(gè)方面的優(yōu)勢(shì)：1）無(wú)論彈性連接系統(tǒng)的位移阻抗矩陣是否奇異，該方法均可直接用于處理子結(jié)構(gòu)耦合問(wèn)題；2）當(dāng)彈性連接系統(tǒng)的位移阻抗矩陣奇異時(shí)，參與求逆運(yùn)算的矩陣階數(shù)相對(duì)更低，具有更高的計(jì)算效率；3）推導(dǎo)過(guò)程更為簡(jiǎn)潔，不涉及大量的矩陣運(yùn)算。

2 隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示應(yīng)用研究

對(duì)于線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)，在基礎(chǔ)激勵(lì)作用下的加速度響應(yīng)計(jì)算公式為[16-20]：

式中：下標(biāo)a和b分別為激勵(lì)自由度和響應(yīng)自由度；Sb（ω）為激勵(lì)自由度的加速度激勵(lì)功率譜密度；Sa（ω）為響應(yīng)自由度的加速度響應(yīng)功率譜密度；Gab（ω）為激勵(lì)自由度與響應(yīng)自由度之間的加速度傳遞函數(shù)矩陣；ω為角頻率。加速度傳遞函數(shù)矩陣Gab（ω）可通過(guò)線性系統(tǒng)在加速度基礎(chǔ)激勵(lì)作用下的振動(dòng)方程推導(dǎo)獲得：

式中：M、C、K分別為線性系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣分別為加速度向量、速度向量、位移向量。對(duì)式（21）進(jìn)行展開(kāi)并整理可得：

對(duì)式（22）兩端同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換[21]并整理可得：

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)原理，線性系統(tǒng)的位移頻響函數(shù)矩陣和位移阻抗矩陣的計(jì)算公式為[21]：

將式（25）代入式（24）并整理可得：

式中：Hgz（ω）和Hzy（ω）分別為線性系統(tǒng)在激勵(lì)自由度為固支狀態(tài)和自由狀態(tài)下的位移頻響函數(shù)矩陣；Zab（ω）為線性系統(tǒng)在激勵(lì)自由度為自由狀態(tài)下的響應(yīng)自由度與激勵(lì)自由度之間的位移阻抗矩陣。

對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，為了提高計(jì)算效率，位移頻響函數(shù)矩陣Hgz（ω）和Hzy（ω）均可通過(guò)FBSM 計(jì)算處理獲得。綜上所述，基于FBSM 的隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示方法如圖2 所示。

圖2 基于FBSM 的隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示方法Fig.2 Environment prediction method for random vibration based on FBSM

3 算例仿真驗(yàn)證

3.1 有限元建模

為了驗(yàn)證基于FBSM 的隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示方法的可行性，設(shè)計(jì)了如圖3 所示的仿真算例。該算例由子結(jié)構(gòu)A、子結(jié)構(gòu)B 和子結(jié)構(gòu)C 通過(guò)2 個(gè)完全相同的彈性連接裝配組成，3 個(gè)子結(jié)構(gòu)均為空心圓柱體，除長(zhǎng)度不同外，其他參數(shù)均相同。在子結(jié)構(gòu)A、B 上沿X軸分別均布有3、5 個(gè)結(jié)點(diǎn)，在子結(jié)構(gòu)C 的兩端各布置有1 個(gè)結(jié)點(diǎn)。模擬實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，振動(dòng)工裝的裝卡位置為結(jié)點(diǎn)5 和結(jié)點(diǎn)7，激勵(lì)方向?yàn)閅軸，即振動(dòng)臺(tái)的隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)通過(guò)振動(dòng)工裝作用于結(jié)點(diǎn)5和結(jié)點(diǎn)7 的Y軸平動(dòng)自由度，邊界條件為結(jié)點(diǎn)5 和結(jié)點(diǎn)7 的其他自由度固支，振動(dòng)譜型如圖4 所示。

圖3 仿真算例Fig.3 Simulation example

圖4 隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)譜型Fig.4 Excitation spectrum of random vibration

利用有限元軟件MSC/Patran 對(duì)圖3 所示仿真算例模擬實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)狀態(tài)進(jìn)行有限元建模，其中，3 個(gè)子結(jié)構(gòu)利用圓環(huán)截面梁?jiǎn)卧?；彈性連接利用無(wú)質(zhì)量圓形截面梁?jiǎn)卧刃M[22-24]；模型外建立1 個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)，并在結(jié)點(diǎn)5 和結(jié)點(diǎn)7 與獨(dú)立結(jié)點(diǎn)之間分別設(shè)置MPC/Rigid 約束；隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)沿獨(dú)立結(jié)點(diǎn)Y軸平動(dòng)自由度施加，獨(dú)立結(jié)點(diǎn)的其他5 個(gè)自由度均設(shè)置為固支約束。具體有限元模型如圖5 所示，模型參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 仿真算例有限元模型參數(shù)Tab.1 Finite element model parameters of simulation example

圖5 仿真算例有限元模型Fig.5 Finite element model of simulation example

3.2 隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示

分別利用有限元軟件MSC/Nastran 和基于FBSM的隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示方法對(duì)仿真算例模擬實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)狀態(tài)下8 個(gè)結(jié)點(diǎn)（不包括激勵(lì)結(jié)點(diǎn)5 和激勵(lì)結(jié)點(diǎn)7）的Y軸平動(dòng)自由度的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了仿真預(yù)示和計(jì)算預(yù)示。仿真預(yù)示直接利用有限元軟件對(duì)圖5 所示有限元模型進(jìn)行計(jì)算。在利用FBSM 進(jìn)行計(jì)算預(yù)示時(shí)，子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和彈性連接系統(tǒng)的模態(tài)信息和物理參數(shù)均通過(guò)圖5 所示有限元模型計(jì)算獲取。其中，由于無(wú)質(zhì)量圓形截面梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚍槠娈惥仃?，故彈性連接系統(tǒng)的位移阻抗矩陣也具有奇異性[11]，但可利用文中基于SMW 公式再推導(dǎo)獲得的FBSM 直接進(jìn)行耦合分析，體現(xiàn)了該方法的優(yōu)越性。仿真預(yù)示和計(jì)算預(yù)示結(jié)果的對(duì)比情況如圖6 所示，實(shí)線為隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)譜型，點(diǎn)劃線為有限元軟件仿真預(yù)示結(jié)果，虛線為基于FBSM 的計(jì)算預(yù)示結(jié)果。由圖6 可知，基于FBSM 的計(jì)算預(yù)示結(jié)果與有限元軟件的仿真預(yù)示結(jié)果一致，表明文中所提基于FBSM 的隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示方法正確可行。

圖6 隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示結(jié)果對(duì)比情況Fig.6 Comparison of prediction results of random vibration environment: a) node 1;b) node 2;c) node 3;d) node 4;e) node 6;f) node 8;g) node 9;h) node 10

4 結(jié)論

1）基于SMW 公式，對(duì)考慮彈性連接的FBSM進(jìn)行了重新推導(dǎo)，解決了現(xiàn)有方法無(wú)法直接處理具有奇異性位移阻抗矩陣彈性連接系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)耦合問(wèn)題。

2）推導(dǎo)獲得了復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移頻響函數(shù)與加速度傳遞函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并據(jù)此形成了基于FBSM 的隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境高效預(yù)示方法。

3）設(shè)計(jì)了“模擬實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)”的仿真算例，仿真驗(yàn)證了文中方法的正確性，對(duì)于裝備的隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境預(yù)示具有參考意義。