改進(jìn)平衡優(yōu)化器算法在約束優(yōu)化問題中的應(yīng)用

李守玉，何慶，陳俊

貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽550025

在實(shí)際工程應(yīng)用領(lǐng)域的優(yōu)化目標(biāo)包括從連續(xù)到離散、從單目標(biāo)到多目標(biāo)、從有約束到無約束，面對(duì)這些復(fù)雜的優(yōu)化問題，傳統(tǒng)優(yōu)化算法僅能求取局部最優(yōu)值且優(yōu)化結(jié)果嚴(yán)重依賴初始值[1]。研究者們從生物和自然物理現(xiàn)象得到啟發(fā)，提出的元啟發(fā)式算法成為了一種有效且實(shí)用的優(yōu)化方案，并成功應(yīng)用于NP-Hard[2-3]、圖像分割[4]、PID參數(shù)控制[5]等問題。

平衡優(yōu)化器算法（equilibrium optimizer，EO）是由Faramarzi 等人于2020 年提出的基于物理的元啟發(fā)式算法[6]，其原理是將每一個(gè)粒子（解）及其濃度（位置）看作獨(dú)立個(gè)體，然后根據(jù)均衡候選解的濃度隨機(jī)更新個(gè)體，最終達(dá)到平衡狀態(tài)（最優(yōu)解）。它具備參數(shù)少、耗時(shí)少及易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，并且尋優(yōu)能力優(yōu)于粒子群算法[7]、遺傳算法[8]、差分進(jìn)化算法[9]、螢火蟲算法[10]。但標(biāo)準(zhǔn)EO 算法與其他智能算法一樣，存在算法容易陷入局部最優(yōu)、收斂較慢等問題，其尋優(yōu)能力仍有待提高。眾多學(xué)者對(duì)其深入研究，提出了一些有效的改進(jìn)方法。Fan等人[11]通過反向?qū)W習(xí)和新的濃度更新公式，提高算法尋優(yōu)精度。Sayed 等人[12]通過引入混沌映射構(gòu)建穩(wěn)定的搜索機(jī)制，提高算法的特征選擇效率。Dinkar 等人[13]通過拉普拉斯分布的隨機(jī)游動(dòng)更新候選解濃度，然后利用反向?qū)W習(xí)加速開發(fā)，使算法快速收斂。Ahmed等人[14]利用自動(dòng)學(xué)習(xí)機(jī)尋找合適的參數(shù)值，便于解決高維的特征選擇問題。Kardani 等人[15]利用突變機(jī)制提高搜索能力，避免陷入局部最優(yōu)，并與極限學(xué)習(xí)機(jī)和人工神經(jīng)網(wǎng)結(jié)合對(duì)致密碳酸鹽巖滲透率進(jìn)行預(yù)測(cè)。Shankar等人[16]通過對(duì)立學(xué)習(xí)的更新機(jī)制生成最優(yōu)解來尋找最優(yōu)空間。雖然上述方法取得不錯(cuò)的效果，但EO的優(yōu)化精度仍有待提高。

針對(duì)以上問題，提出改進(jìn)的平衡器優(yōu)化算法，利用正弦變化規(guī)律自適應(yīng)平衡勘探與開發(fā)；引入當(dāng)前最優(yōu)粒子信息到粒子種群，促進(jìn)種群粒子信息交流以及吸引其他粒子快速收斂到最優(yōu)解，進(jìn)一步提高和平衡勘探與開發(fā)的能力，增強(qiáng)算法逃離局部最優(yōu)的能力，避免早熟現(xiàn)象。

1 平衡優(yōu)化器算法

1.1 種群初始化

標(biāo)準(zhǔn)EO 在解空間中隨機(jī)初始化粒子的位置。種群初始化公式如下：其中，Ci,k是第k個(gè)粒子的初始位置，rk是[0,1]的隨機(jī)向量，ub和lb分別是搜索空間的上下界。k的變化范圍為[1,N]，N為種群粒子數(shù)量。

1.2 候選解和均衡池

平衡狀態(tài)是算法的最終收斂狀態(tài)。迭代前期種群沒有達(dá)到平衡狀態(tài)的依據(jù)，只有通過候選解為種群提供依據(jù)。種群初始化后，計(jì)算每個(gè)粒子適應(yīng)度值，并根據(jù)適應(yīng)度值的大小獲得四個(gè)候選解。另外，通過它們得到平均候選解，進(jìn)而構(gòu)建均衡池。四個(gè)候選解有助于開發(fā)，而平均候選解有助于勘探。

每個(gè)粒子都以相同的概率在候選粒子中進(jìn)行隨機(jī)選擇來更新其濃度。在優(yōu)化過程結(jié)束之前，每個(gè)粒子都將經(jīng)歷濃度更新過程。

1.3 濃度更新

標(biāo)準(zhǔn)EO為了進(jìn)一步平衡勘探與開發(fā)，利用指數(shù)項(xiàng)F進(jìn)行調(diào)整，數(shù)學(xué)描述如下：

其中，a1和a2均為常數(shù)，λ是[0,1]之間的隨機(jī)向量，sign(r-0.5)用來控制勘探與開發(fā)的方向，m是一個(gè)隨著迭代增加而降低的變量。t為當(dāng)前迭代次數(shù)，T為最大迭代次數(shù)。另外，利用生成率（G）改進(jìn)開發(fā)階段進(jìn)而提高提供解的精度。數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

其中，GCP為G的控制參數(shù)，主要控制粒子是否使用GCP來更新狀態(tài)。此外，GCP表達(dá)形式又由生成概率（GP）決定。m0是為降低搜索速度的同時(shí)提高算法的勘探與開發(fā)能力。Ceq是從均衡池隨機(jī)選出的一個(gè)解，R1和R2是[0,1]的隨機(jī)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)EO 濃度更新定義如下，其中V表示單位體積。算法1為標(biāo)準(zhǔn)EO算法的偽代碼。

算法1平衡優(yōu)化器算法

2 改進(jìn)平衡優(yōu)化器算法

2.1 正弦池策略

標(biāo)準(zhǔn)EO 指出，當(dāng)粒子之間距離較遠(yuǎn)時(shí)，平均候選解有助于迭代初期發(fā)現(xiàn)未知的解空間。因此，增強(qiáng)平均候選解的勘探與開發(fā)能力將提高種群粒子的尋優(yōu)能力。

元啟發(fā)式算法的核心是迭代初期對(duì)解空間內(nèi)的大部分區(qū)域進(jìn)行勘探，然后勘探階段逐漸轉(zhuǎn)化為開發(fā)階段的尋優(yōu)過程。因此，為了提高粒子的勘探與開發(fā)能力，本文提出正弦池策略。該策略主要根據(jù)迭代階段采用不同尋優(yōu)模式動(dòng)態(tài)協(xié)調(diào)粒子的全局勘探與局部開發(fā)。迭代前期，固定角頻率正弦遞減模式中固定角頻率和正弦遞減特性有助于粒子搜索空間進(jìn)行大范圍的快速搜索，尋找潛在優(yōu)質(zhì)解，同時(shí)逐漸向開發(fā)階段過渡；迭代后期，變化角頻率正弦遞增模式主要借助柯西分布的“長跳”特性使角頻率發(fā)生變化和正弦遞增性質(zhì)，使粒子的移動(dòng)步長多變，有助于粒子持續(xù)尋優(yōu)并且在優(yōu)質(zhì)解附近空間進(jìn)行精細(xì)的深度開發(fā)。正弦池策略數(shù)學(xué)公式如下：

其中，ω1為固定角頻率設(shè)為0.5，ω2是包含種群信息的柯西分布，γ為搜索維度D，φ為種群大小N。式（13）為柯西分布的概率密度函數(shù)。另外，式（14）～（16）主要利用正弦池策略對(duì)平均候選解作用，得到新的平均候選解Nave。然后將其與Ceq1～Ceq4構(gòu)成新的均衡池Np，Np從中隨機(jī)取出一個(gè)候選解得到Ceq。

2.2 自適應(yīng)優(yōu)先引力策略

標(biāo)準(zhǔn)EO尋找平衡狀態(tài)的過程中，當(dāng)前粒子僅根據(jù)均衡池中隨機(jī)選擇的候選解更新濃度，雖然能為當(dāng)前粒子提供部分信息，但因粒子進(jìn)化信息不足且有用信息量少，其他粒子無法快速收斂到當(dāng)前最優(yōu)粒子和全局最優(yōu)粒子。本文受萬有引力啟發(fā)，提出自適應(yīng)優(yōu)先引力策略。簡單來說，自適應(yīng)優(yōu)先引力策略是先找到當(dāng)前最優(yōu)粒子，將它看成吸引力最大的粒子，它能夠向其他粒子傳遞多且有用的信息吸引其向自身靠近，引導(dǎo)種群進(jìn)化。另外，當(dāng)前最優(yōu)粒子可能處于局部最優(yōu)，易導(dǎo)致算法早熟。為避免此種情況發(fā)生，采用均勻分布U(a,b)對(duì)當(dāng)前最優(yōu)粒子進(jìn)行擾動(dòng)避免陷入局部最優(yōu)，再用Beta(α,β)分布促進(jìn)其他粒子與當(dāng)前最優(yōu)粒子之間的信息流動(dòng)，增大彼此之間的引力作用。均勻分布和Beta分布的概率密度函數(shù)定義如下：

其中，a,b∈R，α,β>0。由概率密度函數(shù)得到兩者的分布函數(shù)：

為了充分傳遞粒子之間信息，采用標(biāo)準(zhǔn)均勻分布U(0,1)，B為Beta分布，α設(shè)為1，β為式（21）。自適應(yīng)優(yōu)先引力策略數(shù)學(xué)描述，Pb為當(dāng)前最優(yōu)粒子的位置：

綜上所述，首先通過正弦池策略提高平均候選解的勘探與開發(fā)能力，進(jìn)一步增強(qiáng)種群粒子尋優(yōu)能力。然后，自適應(yīng)優(yōu)先引力策略添加當(dāng)前最優(yōu)粒子的位置信息到種群中豐富其他粒子的進(jìn)化信息，加強(qiáng)粒子間信息交流，吸引其他粒子向當(dāng)前最優(yōu)粒子收斂，進(jìn)而快速收斂到全局最優(yōu)解。本文所提的MDSGEO（multi-distribution sinusoidal gravitation equalization optimizer）執(zhí)行步驟如算法2所示。

算法2改進(jìn)平衡優(yōu)化器算法

2.3 時(shí)間復(fù)雜度分析

假設(shè)種群數(shù)量為N，目標(biāo)問題維度為D，最大迭代次數(shù)為T，評(píng)估目標(biāo)問題適應(yīng)度為C。其中“O”常用來表示復(fù)雜度。

標(biāo)準(zhǔn)EO的時(shí)間復(fù)雜度：初始參數(shù)定義O(1)，種群初始化O(ND)，計(jì)算目標(biāo)問題適應(yīng)度O(TCN)，記憶存儲(chǔ)O(TN)，濃度更新O(TND)。因此，根據(jù)復(fù)雜度計(jì)算規(guī)則，標(biāo)準(zhǔn)EO總時(shí)間復(fù)雜度為：

由標(biāo)準(zhǔn)EO的復(fù)雜度可知，MDSGEO僅添加正弦池策略O(shè)(1+TND)，自適應(yīng)優(yōu)先引力策略O(shè)(ND+TND)。因此，MDSGEO總時(shí)間復(fù)雜度為：

綜上分析，MDSGEO復(fù)雜度與標(biāo)準(zhǔn)EO的復(fù)雜度同一級(jí)別，并未增加額外的時(shí)間復(fù)雜度，說明MDSGEO并未犧牲空間來提升算法性能。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)相關(guān)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Windows 7，64 位操作系統(tǒng)，CPU 為Intel Core i5-6500H，主頻3.2 GHz，內(nèi)存8 GB，算法基于MATLAB2020a編寫。

對(duì)16 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，表1 中測(cè)試函數(shù)不僅包含測(cè)試算法局部開發(fā)能力的單峰函數(shù)，還包括驗(yàn)證算法全局勘探能力的多峰函數(shù)。具體有單峰可分（US）、單峰不可分（UN）、多峰可分（MS）、多峰不可分（MN）和固定維度（FD）等多類型函數(shù)。

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Table 1 Benchmark functions

同時(shí)，元啟發(fā)式算法的參數(shù)設(shè)置對(duì)于算法尋優(yōu)將產(chǎn)生重要影響。因此，各算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 主要參數(shù)Table 2 Main parameters

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了充分驗(yàn)證MDSGEO尋找平衡狀態(tài)的有效性及魯棒性，將MDSGEO 與加入正弦池策略（記為SEO）、加入自適應(yīng)優(yōu)先引力策略（記為GEO）、灰狼算法與布谷鳥算法混合（記為GWOCS）、SCA（sine cosine algorithm）[17]、MPA（marine predators algorithm）[18]和TSA（tunicate swarm algorithm）[19]進(jìn)行對(duì)比。同時(shí)，為了保證對(duì)比的公平性，種群粒子數(shù)量N設(shè)為30，最大迭代次數(shù)設(shè)為500，總評(píng)估次數(shù)15 000。此外，所有算法在16 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次，并取30 次的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為最終的評(píng)估指標(biāo)。具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3～表5所示，其中Ave表示平均最優(yōu)適應(yīng)值，Std 表示標(biāo)準(zhǔn)差，最好的結(jié)果已加粗表示。

表3 30維實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of experimental results in 30 dimensions

表4 100維實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of experimental results in 100 dimensions

表5 固定維度實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 5 Comparison of experimental results in fixed dimensions

由表3～表5 中數(shù)據(jù)可知：在D=30，D=100 和固定維度的條件下，由于MDSGEO同時(shí)具有GEO和SEO的優(yōu)點(diǎn)，不僅可以更好地平衡勘探與開發(fā)關(guān)系，還增強(qiáng)種群進(jìn)化信息加快算法收斂。因此，MDSGEO在F1、F5、F6、F9、F11上全部收斂到理論最優(yōu)解，剩余函數(shù)上收斂精度最高。在F1～F6、F9、F11、F12上，GEO求解精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于標(biāo)準(zhǔn)EO，其余函數(shù)上也具有明顯優(yōu)勢(shì)，充分說明利用自適應(yīng)優(yōu)先引力策略豐富粒子進(jìn)化信息增加粒子的信息交流，幫助粒子逃離局部最優(yōu)快速收斂到全局最優(yōu)的方法效果顯著。在F1～F6上，SEO 相比EO 求解精度呈指數(shù)級(jí)增長，在F7、F8、F10所得最優(yōu)值精度更高，甚至在F6、F9、F11上求得理論最優(yōu)值，這證明根據(jù)迭代進(jìn)行階段采用融合增減機(jī)制和柯西分布的正弦池策略能夠?qū)崿F(xiàn)種群粒子勘探與開發(fā)的動(dòng)態(tài)平衡，將有助于粒子向著全局最優(yōu)方向移動(dòng)，提高尋得最優(yōu)解的概率。此外，MDSGEO 可以最大限度減弱維度增加帶來的負(fù)面影響，在F1～F13上能取得更高質(zhì)量的解。然而，TSA、GWOCS、SCA 和MPA 因其搜索模式中種群容易停滯更新出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，陷入局部最優(yōu)仍是它們急需解決的問題。尤其當(dāng)D=100時(shí)，SCA在F3上與理論最優(yōu)值相差1×105的精度。固定維度上，MDSGEO 求得的平均適應(yīng)度值與其他算法相似，但其標(biāo)準(zhǔn)差反映出MDSGEO在F14～F15上比其他算法更穩(wěn)定，GEO在F16上最穩(wěn)定，其次是MDSGEO。

為進(jìn)一步評(píng)估MDSGEO 的綜合性能，采用非參數(shù)估計(jì)Friedmam檢驗(yàn)分析不同維度下各算法的尋優(yōu)性能，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3～表5所示。其中，Avg.Rank表示Friedman檢驗(yàn)所得的秩均值，Rank表示排名。秩均值越小說明算法性能越好，排名越靠前。在D=30，D=100 及固定維度的條件下，MDSGEO的秩均值最小且排名第一，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度證明了MDSGEO 的性能優(yōu)于其他算法。同時(shí)，GEO 和SEO 的秩均值都比EO小，并且排名也在EO之前，再一次證明自適應(yīng)優(yōu)先引力策略和正弦池策略的有效性和魯棒性。

新改進(jìn)算法需要進(jìn)行顯著性分析，文中利用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)來判斷MDSGEO 在統(tǒng)計(jì)上的顯著性[20]。MDSGEO與對(duì)比算法0.05的顯著性水平下進(jìn)行比較，假設(shè)MDSGEO 為最佳算法，在MDSGEO vs GWOCS、MDSGEO vs TSA 等之間進(jìn)行兩兩成對(duì)比較，結(jié)果如表6所示。其中，p-value<0.05認(rèn)為拒絕零假設(shè)，表明兩對(duì)比算法之間存在顯著差異，符號(hào)“+”“-”和“=”分別表示MDSGEO 的性能優(yōu)于、劣于和相當(dāng)于對(duì)比算法，NA 表示算法獲得相同結(jié)果。從表6 最后一行結(jié)果可以得出，MDSGEO 與GWOCS、TSA、SCA、MPA、EO、SEO和GEO存在顯著差異，并且MDSGEO 的性能在多個(gè)函數(shù)上都要優(yōu)于對(duì)比算法。

表6 基準(zhǔn)函數(shù)Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 6 Comparison of experimental results of Wilcoxon rank sum test of reference functions

3.3 收斂性分析

圖1（a）～（h）為在D=30，迭代次數(shù)為500，評(píng)估次數(shù)為15 000 的條件下得到的函數(shù)平均收斂曲線圖。為了方便觀察算法收斂情況，將縱坐標(biāo)取以10為底的對(duì)數(shù)。由圖1（a）～（h）能夠看出，隨著迭代進(jìn)行，與標(biāo)準(zhǔn)EO相比，MDSGEO和GEO的收斂曲線下降快且收斂到較高精度的解，這說明通過自適應(yīng)優(yōu)先引力策略加入當(dāng)前最優(yōu)粒子，豐富種群粒子的進(jìn)化信息，能夠有效幫助粒子增強(qiáng)逃離局部最優(yōu)的能力，快速收斂到全局最優(yōu)位置；同時(shí)，SEO 的收斂曲線下降速度僅次于GEO和MDSGEO，這證明通過正弦池策略中增減機(jī)制和柯西“長跳”特性，能推動(dòng)粒子由勘探主導(dǎo)的尋優(yōu)模式向開發(fā)模式過渡，動(dòng)態(tài)平衡勘探與開發(fā)的關(guān)系，進(jìn)一步幫助粒子向更好的方向收斂。另外，MDSGEO 進(jìn)入迭代后期仍能持續(xù)尋優(yōu)，未出現(xiàn)停滯現(xiàn)象，收斂速度最快且尋到的解精度遠(yuǎn)高于其他算法，這離不開正弦池策略動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)勘探與開發(fā)關(guān)系以及自適應(yīng)優(yōu)先引力策略豐富種群進(jìn)化信息的幫助。MDSGEO 和GEO在F1、F5、F9上都尋到最優(yōu)解，但MDSGEO用到評(píng)估次數(shù)更少，又一次說明融合正弦池策略和自適應(yīng)優(yōu)先引力策略的MDSGEO可以尋到最好的解。然而，標(biāo)準(zhǔn)EO和其他對(duì)比算法在迭代前期和后期收斂曲線平緩甚至出現(xiàn)不同程度的停滯狀況，進(jìn)而導(dǎo)致出現(xiàn)早熟現(xiàn)象和求解精度低等問題。

圖1 平均收斂曲線Fig.1 Average convergence curve

結(jié)合表3～表5 和圖1 可以得出，無論是單峰可分、單峰不可分、多峰可分、多峰不可分、高維及固定維度，MDSGEO 在復(fù)雜函數(shù)上具備強(qiáng)勁的求解能力以及更快的收斂速度，驗(yàn)證了所提策略的有效性和魯棒性。

3.4 與9種改進(jìn)算法對(duì)比

為了展現(xiàn)MDSGEO 的競(jìng)爭(zhēng)性，將其與改進(jìn)的差分算法JADE[21]、jDE[22]、SaDE[23]、改進(jìn)的人工蜂群算法MPGABC[24]、GABC[25]、MABC[26]、ABVCVSS[27]、DFSABC_elite[28]、改進(jìn)的樽海鞘算法MSNSSA[29]進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)選擇3.1節(jié)中的13個(gè)典型測(cè)試函數(shù)，函數(shù)維度設(shè)置D=30，各算法參數(shù)設(shè)置參照原文獻(xiàn)并讓每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行50次，所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表7 所示。由于原文獻(xiàn)中沒有對(duì)比函數(shù)的數(shù)據(jù)，故用“—”表示。表7中，JADE（adaptive differential evolution with optional external archive）、jDE（self-adapting control parameters in differential evolution）和SaDE（self-adaptive differential evolution algorithm）的數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[21]，MPGABC（modified gbest-guided artificial bee colony）的 數(shù)據(jù)源自文獻(xiàn)[24]，GABC

表7 與9種改進(jìn)算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 7 Comparison of experimental results with 9 improved algorithms

（Gbest-guided artificial bee colony）、MABC（modified artificial bee colony）、ABCVSS（artificial bee colony algorithm with variable search strategy）和DFSABC_elite（novel artificial bee colony algorithm with depthfirst search framework and elite-guided search equation）的數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[28]，MSNSSA（multi-subpopulation based symbiosis and non-uniform Gaussian mutation salp swarm algorithm）的數(shù)據(jù)源于文獻(xiàn)[29]。由表數(shù)據(jù)可知，MDSGEO在F1、F5、F6、F9、F11共5個(gè)函數(shù)上尋得最優(yōu)解且魯棒性最好，相比其他9種改進(jìn)算法具有顯著優(yōu)勢(shì)。在F7、F10所得解的質(zhì)量及魯棒性都優(yōu)于其他改進(jìn)算法。在剩余函數(shù)上，MDSGEO 的總體尋優(yōu)遠(yuǎn)高于其他改進(jìn)算法。這表明MDSGEO不僅具有強(qiáng)大的尋優(yōu)能力，也具備出色的競(jìng)爭(zhēng)力。

3.5 與4種改進(jìn)算法在CEC2017函數(shù)集上對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證MDSGEO 的尋優(yōu)能力，采用更復(fù)雜的CEC2017 函數(shù)集來測(cè)試，其中No.2 的函數(shù)在CEC2017 函數(shù)集上被移除，即文中所用CEC2017 函數(shù)集僅有29 個(gè)。同時(shí)，將MDSGEO 與標(biāo)準(zhǔn)粒子群PSO（particle swarm optimization）[7]、改進(jìn)粒子群FFPSO（hybrid firefly and particle swarm optimization）[30]、HPSOFF（hybrid particle swarm optimization algorithm and firefly algorithm）[31]和HFPSO（hybrid firefly and particle swarm optimization）[32]進(jìn)行比較。為保證公平對(duì)比，對(duì)比數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[32]一致。函數(shù)維度D=10，種群粒子數(shù)量與函數(shù)維度一致，最大迭代次數(shù)為500，獨(dú)立運(yùn)行20次，實(shí)驗(yàn)最終結(jié)果記錄在表8中。

表8 CEC2017函數(shù)集上實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 8 Comparison of experimental results on CEC2017

由表8可知，與PSO相比，MDSGEO在24個(gè)函數(shù)上的收斂精度更高，尤其在No.1函數(shù)上遠(yuǎn)高于PSO；MDSGEO 在所有函數(shù)上獲得的收斂精度都優(yōu)于FFPSO和HPSOFF；HFPSO僅在6個(gè)函數(shù)的收斂精度高于MDSGEO；與EO相比，除了No.1函數(shù)，MDSGEO的整體收斂精度更高。MDSGEO能夠在眾多先進(jìn)算法中取得更高的優(yōu)化精度，正弦池策略和自適應(yīng)優(yōu)先引力策略扮演重要角色，前者通過動(dòng)態(tài)平衡算法的勘探與開發(fā)能力，提高算法的優(yōu)化精度；后者豐富種群進(jìn)化信息，加快算法收斂。另外，MDSGEO在所測(cè)29 個(gè)函數(shù)中，不僅在21 個(gè)函數(shù)上平均值優(yōu)勢(shì)突出，而且Friedman 檢驗(yàn)的結(jié)果也表明MDSGEO 秩均值最小且排名第一，再一次驗(yàn)證MDSGEO性能更優(yōu)。

4 工程優(yōu)化問題

4.1 約束優(yōu)化問題

約束優(yōu)化條件與工程問題結(jié)合屬于一類常見的數(shù)學(xué)優(yōu)化問題，該類問題通常很難求解，但因其在各科學(xué)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，所以研究這類問題具有重要的研究價(jià)值。約束優(yōu)化問題定義如下：

其中，f為目標(biāo)函數(shù)，hj(x)=0 是等式約束條件，gi(x)≤0 為不等式約束條件，X是實(shí)數(shù)Rn的子集且用來約束優(yōu)化問題的搜索空間，若所求解滿足約束條件，則稱為可行解；反之，稱為不可行解。約束優(yōu)化問題的難點(diǎn)在于搜索空間可行域的分布受約束影響，而優(yōu)化過程中不僅需要考慮約束對(duì)這些分布影響，還需要考慮如何平衡約束和優(yōu)化。

許多學(xué)者對(duì)約束優(yōu)化問題都有研究，主要分為傳統(tǒng)方法和元啟發(fā)式算法兩大類。傳統(tǒng)方法包含文獻(xiàn)[33]提到移動(dòng)漸進(jìn)線法（method of moving asymptotes，MMA）、廣義凸近似（generalized convex approximation，GCA），來提高算法的收斂速度，但這類算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜不易實(shí)現(xiàn)；元啟發(fā)式算法有布谷鳥算法（cuckoo search algorithm，CS）[34]、礦山爆炸算法（mine blast algorithm，MBA）[35]、具有動(dòng)態(tài)隨機(jī)選擇的差分進(jìn)化（differential evolution with dynamic stochastic selection，DEDS）[36]、人工原子算法（artificial atom algorithm，AAA）[37]等，這類算法雖結(jié)構(gòu)簡單，但算法的收斂精度不高且收斂速度慢。

為了解決上述問題，將MDSGEO 用來求解優(yōu)化問題，證明其有效性和可行性。選用三桿桁架和懸臂梁設(shè)計(jì)帶約束的工程問題進(jìn)行分析。

4.2 三桿桁架設(shè)計(jì)

三桿桁架，以使其重量最小化[34-35]。目標(biāo)函數(shù)非常簡單，但是這個(gè)問題受到了很大的限制。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題通常具有很多約束。這里的約束是應(yīng)力、撓曲和屈曲約束。

桁架的整體結(jié)構(gòu)如圖2 所示，圖中L=100 cm、P=2 kN/cm2、σ=2 kN/cm2。選擇進(jìn)行比較的算法有CS、MBA、Ray and Sain[38]、DEDS 和AAA，比較結(jié)果列于表9。

圖2 三桿桁架模型Fig.2 Three bar truss model

表9 三桿桁架實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 9 Comparison of experimental results of three bar truss

表9中Max.eval.表示最大評(píng)估次數(shù)，N/A表示原文獻(xiàn)未說明評(píng)估次數(shù)。由表9 可知，MDSGEO 算法提供了非常有競(jìng)爭(zhēng)力的結(jié)果，其獲得最佳解決方案。MDSGEO 不僅能夠有效解決實(shí)際的約束問題，而且相同評(píng)估次數(shù)下MDSGEO能夠找到最優(yōu)設(shè)計(jì)權(quán)重263.895 843，這比其他算法要少。

4.3 懸臂梁設(shè)計(jì)

懸臂梁包括5 個(gè)橫截面為正方形的空心元件。如圖3 所示，梁的自由端（節(jié)點(diǎn)6）上也施加了垂直載荷，梁的右側(cè)（節(jié)點(diǎn)1）受到了剛性支撐。其目的是使梁的重量最小。在最終的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，還存在一個(gè)不應(yīng)違反的縱向位移約束。問題表述如下：

圖3 懸梁臂模型Fig.3 Cantilever model

將MDSGEO 和EO 分別對(duì)懸臂梁設(shè)計(jì)求解最優(yōu)值，并與m-EO（modified equil optimizer）[11]、SOS（symbiotic organisms search）[34]、CS、MMA、GCA_I[33]進(jìn)行比較。表10所用符號(hào)表示與表9一致。表10的優(yōu)化結(jié)果反映出MDSGEO 優(yōu)于其他算法。這顯示了MDSGEO在逼近此問題的全局最優(yōu)值方面擁有出色的性能。

表10 懸梁臂實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 10 Comparison of experimental results of cantilever

5 結(jié)束語

為提高標(biāo)準(zhǔn)平衡優(yōu)化器算法全局尋優(yōu)能力，本文提出MDSGEO 算法。在種群粒子初始化后，利用正弦池策略自適應(yīng)平衡勘探與開發(fā)，提高算法尋優(yōu)精度。此外，通過自適應(yīng)優(yōu)先引力策略加速粒子收斂到全局最優(yōu)。同時(shí)將平衡優(yōu)化器算法應(yīng)用于多類型基準(zhǔn)函數(shù)及CEC2017 函數(shù)集進(jìn)行尋優(yōu)，使用平均值和標(biāo)準(zhǔn)差等指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估以及非參數(shù)統(tǒng)計(jì)Friedman檢驗(yàn)、Wilcoxon秩和檢驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)驗(yàn)證算法的有效性和魯棒性。最后，利用兩個(gè)帶約束的工程優(yōu)化問題測(cè)試算法的全局尋優(yōu)能力。研究結(jié)果表明，改進(jìn)平衡優(yōu)化器算法不僅能夠自適應(yīng)平衡勘探與開發(fā)，而且尋優(yōu)能力更強(qiáng)。未來研究方向準(zhǔn)備將MDSGEO應(yīng)用于多目標(biāo)的工程優(yōu)化及高維的特征選擇領(lǐng)域。