探尋圖形本質(zhì) 獲取解題方法

文／孫靚

圖形的旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)的重難點，也是考查的熱點。我們只有對教材例題進行深入分析，探尋圖形本質(zhì)，才能合理利用模型快速切入問題，獲得解題思路。

原題呈現(xiàn)（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第60 頁例5）如圖1，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點F，點E在BD上，且

（1）∠1與∠2相等嗎？為什么？

（2）△ABE與△ACD是否相似？并說明理由。

圖1

【分析】在第（1）問中，根據(jù)已知條件，通過三邊成比例可證明△ABC∽△AED，得到∠BAC=∠EAD，等式兩邊同時減去公共角∠EAF，得∠1 與∠2 相等。在第（2）問中，對已知條件進行適當(dāng)變形，再根據(jù)第（1）問結(jié)論證明兩個三角形相似。詳細(xì)解答過程見教材。

圖2

本題中所涉及的基本圖形是兩個相似的三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)形成。如圖2，在△ABC和△AED中，我們將點B和點E分別看作兩個三角形的左手，將點C和點D分別看作兩個三角形的右手，左手與左手相連，右手與右手相連。我們通常將此模型稱為“手拉手”模型，以此模型結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的問題可謂是琳瑯滿目，下面我們一起來看一看。

變式1如圖3，在△ABC與△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，連接BD、CE。

求證：（1）△ABC∽△ADE；（2）若AC∶BC=3∶4，求BD∶CE為多少？

圖3

【分析】（1）根據(jù)題目給的兩組角相等即可得相似；（2）根據(jù)（1）中相似可證△AEC∽△ADB，進而可求其相似比。

（1）證明：∵∠ACB=∠AED，∠ABC=∠ADE，

∴△ABC∽△ADE。

（2）解：∵AC∶BC=3∶4，

設(shè)AC=3x，則BC=4x。

變式2【問題呈現(xiàn)】如圖4，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD、CE，求證：BD=CE。

圖4

圖5

【類比探究】如圖5，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、CE，請直接寫出的值。

【拓展提升】如圖6，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且，連接BD、CE。

圖6

【分析】問題呈現(xiàn)：證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；類比探究：證明△BAD∽△CAE，進而得出結(jié)果；拓展提升：（1）先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結(jié)果；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得出∠ACE=∠ABD，進而∠BFC=∠BAC，進一步得出結(jié)果。

解：【問題呈現(xiàn)】

∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°。

∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE。

∴∠BAD=∠CAE。

∴△BAD≌△CAE（SAS）。

∴BD=CE。

【類比探究】

【拓展提升】

（2）由（1）得△CAE∽△BAD。

“手拉手”模型是解決三角形全等或相似問題常用的模型。大家要多感受此類方法，遇到類似問題要多思考、多總結(jié)，長此以往才能達到“會一題，通一類”的效果。