向?qū)W而教 提升學(xué)力
——由“因數(shù)和倍數(shù)”教學(xué)實(shí)踐引發(fā)的思考

江蘇省鹽城市騰飛路小學(xué) 葛秀蘭 董 郡

一、問(wèn)題緣起

“因數(shù)和倍數(shù)”是蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“數(shù)與運(yùn)算”的內(nèi)容，教學(xué)時(shí)要求學(xué)生根據(jù)數(shù)的意義、乘法算式的意義等內(nèi)容認(rèn)識(shí)因數(shù)和倍數(shù)，在1～100的自然數(shù)中，能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)、能找出一個(gè)自然數(shù)的所有因數(shù)，從而提升學(xué)生學(xué)力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。多次聽(tīng)“因數(shù)和倍數(shù)”一課，筆者發(fā)現(xiàn)經(jīng)常有學(xué)生把“10是20的因數(shù)”說(shuō)成“20是10的因數(shù)”。這樣的現(xiàn)象引起我們的深思：為什么學(xué)生會(huì)這樣表述？學(xué)生的疑問(wèn)和困惑是什么？學(xué)生認(rèn)識(shí)和思考的起點(diǎn)究竟在哪里？教師處理的方式往往是直接糾正，或者教給學(xué)生“20比10大，所以20是10的倍數(shù)；10比20小，所以10是20的因數(shù)”的判斷方法。這樣的處理方式是否將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維視為教學(xué)的中心？是否有更好的方式來(lái)凸顯學(xué)生的課堂主體地位？

二、問(wèn)題剖析

課后與學(xué)生交流時(shí)，學(xué)生提出了疑問(wèn)：為什么給這些數(shù)起名“因數(shù)和倍數(shù)”？學(xué)這些數(shù)有哪些用途？很多時(shí)候，當(dāng)學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)，教師常常會(huì)圍繞正確答案進(jìn)行解釋和講解，試圖引導(dǎo)學(xué)生按照自己的思維方式理解問(wèn)題，卻沒(méi)有真正意識(shí)到學(xué)生困惑的癥結(jié)所在，置學(xué)生內(nèi)心的疑問(wèn)而不顧。長(zhǎng)此以往，學(xué)生因思維受多方掣肘而逐漸喪失了學(xué)習(xí)“自立”的能力，習(xí)慣于被動(dòng)接受別人的想法，其思維的主動(dòng)性就會(huì)大打折扣。

為何這樣的課堂仍比比皆是？是什么因素導(dǎo)致教師的主宰地位“長(zhǎng)盛不衰”呢？

筆者以為，一直以來(lái)以講授和練習(xí)為主的數(shù)學(xué)課堂屢見(jiàn)不鮮，情境教學(xué)、導(dǎo)學(xué)單等新的教學(xué)方法，跨學(xué)科學(xué)習(xí)、項(xiàng)目化學(xué)習(xí)、主題化學(xué)習(xí)等先進(jìn)的理念已如疾風(fēng)吹進(jìn)課堂，但具體到每一節(jié)課，教師常常會(huì)感到無(wú)所適從。教師專業(yè)學(xué)習(xí)常見(jiàn)的也是講座、成果展示、公開(kāi)課觀摩等短、平、快的“快餐”式培訓(xùn)，這些雖能讓教師開(kāi)闊眼界、增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、學(xué)到本領(lǐng)，但過(guò)程的來(lái)龍去脈、問(wèn)題的突破解決、學(xué)情的精準(zhǔn)把脈、策略的變化調(diào)整等核心細(xì)節(jié)難以直接“嫁接”?，F(xiàn)代化的信息技術(shù)方便教育教學(xué)的同時(shí)，也導(dǎo)致部分一線教師過(guò)度依賴網(wǎng)上資源，不少教師疏于獨(dú)立思考，淡化深入研究，深耕素養(yǎng)課堂、促進(jìn)教學(xué)改革的內(nèi)驅(qū)力不足。目前，教學(xué)評(píng)價(jià)缺乏對(duì)學(xué)生主體性發(fā)展的強(qiáng)化，缺少對(duì)教學(xué)改革方向評(píng)估的專業(yè)指導(dǎo)，不同地區(qū)的家長(zhǎng)對(duì)學(xué)校教學(xué)改革的支持力度參差不齊，教學(xué)成果的長(zhǎng)期性和延后性得不到充分保障，導(dǎo)致教學(xué)改革面臨諸多挑戰(zhàn)。

基于新課標(biāo)提出的核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程理念，筆者認(rèn)為，構(gòu)建“向?qū)W而教”的數(shù)學(xué)課堂，更有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引領(lǐng)學(xué)生享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。所謂向?qū)W而教，即以學(xué)生為中心，實(shí)施提升學(xué)生學(xué)力的教學(xué)。向?qū)W而教的教學(xué)不僅意味著教師講授的課程要內(nèi)容清晰、結(jié)構(gòu)合理、層次分明，更意味著激發(fā)學(xué)生智慧的展示和對(duì)學(xué)生心靈的啟發(fā)，意味著開(kāi)發(fā)學(xué)生的頭腦，培養(yǎng)其形成清晰、縝密思維的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

那么，如何在數(shù)學(xué)課堂中實(shí)施向?qū)W而教，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力？以下結(jié)合教學(xué)與研究實(shí)例，試述一二。

三、問(wèn)題解決

（一）以學(xué)生為中心，激發(fā)學(xué)生的探究興趣

“為什么這些數(shù)之間的關(guān)系要用因數(shù)和倍數(shù)來(lái)表示？”這是學(xué)生在好奇心的作用下產(chǎn)生的“真”問(wèn)題，也是教師選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)依據(jù)，還是教學(xué)設(shè)計(jì)的落腳點(diǎn)。這樣的學(xué)情分析是解決“以學(xué)生為中心”的課標(biāo)理念的落實(shí)問(wèn)題。

由此，“怎么幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解因數(shù)和倍數(shù)”就是教學(xué)實(shí)踐的落地問(wèn)題。

為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)因數(shù)和倍數(shù)，教師課前可以引導(dǎo)學(xué)生查閱《新華字典》，了解“因數(shù)”和“倍數(shù)”的含義（因：①原因，緣故，事物發(fā)生前已具備的條件；②憑借；根據(jù)。倍：跟原數(shù)相等的數(shù)，某數(shù)的幾倍就是用幾乘某數(shù)）。起名是和“因數(shù)和倍數(shù)”的字面意義有關(guān)，因此“乘數(shù)”又稱作“因數(shù)”。再結(jié)合乘法算式的意義以及數(shù)軸（如圖1），指導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)的因數(shù)在它和1之間，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)是從它本身開(kāi)始，一倍一倍遞增的。在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)的意義內(nèi)涵逐步豐富，對(duì)一個(gè)數(shù)因數(shù)和倍數(shù)的特征以及為什么“10是20的因數(shù)”不能說(shuō)成“20是10的因數(shù)”的理解更直觀、更清晰、更深刻，數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更主動(dòng)、更生動(dòng)，也更有意義。

圖1

“學(xué)習(xí)因數(shù)和倍數(shù)有哪些用途”也是學(xué)生的一個(gè)疑惑，教師可以讓學(xué)生聯(lián)系60、80、100的因數(shù)個(gè)數(shù)的比較，了解為什么鐘面是60小格（源于60 的因數(shù)個(gè)數(shù)較多）以及時(shí)間進(jìn)率是60的緣由來(lái)體會(huì)“因數(shù)和倍數(shù)”學(xué)習(xí)的作用和價(jià)值，感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系以及它們?cè)谏钪械膬r(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究的欲望。

（二）以學(xué)習(xí)為內(nèi)核，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

建構(gòu)主義觀點(diǎn)認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，教師是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的忠實(shí)支持者。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，就是學(xué)生自我建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。教師要優(yōu)化教學(xué)模式，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合、聯(lián)系實(shí)際、觀察比較等學(xué)習(xí)方法，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而揭示客觀事物的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的邏輯聯(lián)系，并根據(jù)已知事實(shí)或原理，合乎邏輯地推出結(jié)論。

【案例1】“認(rèn)識(shí)面積”教學(xué)片段

師：觀察一下，這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積哪個(gè)大、哪個(gè)?。?/p>

生1：②大。

生2：我認(rèn)為①大。

生3：我覺(jué)得它們一樣大。

師：意見(jiàn)不統(tǒng)一了，到底哪個(gè)大？我們通過(guò)觀察能確定嗎？

生：不能。

師：好，剛剛學(xué)習(xí)了重疊法，我們看看重疊是否能比較出來(lái)。

生4：可以！先重疊，把①多出來(lái)的部分剪下來(lái)，再和②剩余圖形重疊。

師：你的意思就是把它剪掉是嗎？然后放在上面再重疊，多的部分再剪再重疊，是這樣嗎？但是它們已經(jīng)被破壞，再想一想有什么好辦法。

【分析】

教學(xué)“如何比較面積大小”，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)觀察已經(jīng)不能確定比較的結(jié)果時(shí)，教師希望學(xué)生對(duì)重疊法的回答也是“不能確定”，這樣便于引出數(shù)格法。但有學(xué)生認(rèn)為重疊法可以比較出圖形的大?。簩⒅丿B后①多出的部分撕下，撕下的部分接著與②進(jìn)行重疊，如果仍有多出的部分，就繼續(xù)撕下來(lái)再重疊，直到可以比較出大小。面對(duì)這樣的思考，有教師做出了“這樣太麻煩了”“屏幕上的圖形不能撕”“這樣會(huì)破壞圖形”等回應(yīng)，讓學(xué)生的想法止步于此。那么，這種方法真的不合理嗎？學(xué)生真的可以自己想到用方格紙嗎？或者教師提出用方格紙，學(xué)生就能真正理解其中的道理嗎？

課后，筆者隨機(jī)問(wèn)幾個(gè)學(xué)生為什么可以用方格的個(gè)數(shù)表示圖形的面積，學(xué)生的回答都是含混不清。這種現(xiàn)象，正是因?yàn)閷W(xué)生缺少對(duì)“撕”圖形的操作和思考，他們對(duì)“數(shù)格法”的認(rèn)知并非自己“生長(zhǎng)”出來(lái)的。其實(shí)，在撕的過(guò)程中，原來(lái)長(zhǎng)方形的面積產(chǎn)生了“分”的變化，長(zhǎng)方形被分成了若干個(gè)不同大小的小圖形，而在比較大小時(shí)又隱含了“合”的過(guò)程，在分分合合中學(xué)生感悟原來(lái)長(zhǎng)方形的面積是若干個(gè)分成的小圖形面積之和（見(jiàn)圖2），學(xué)生對(duì)面積的理解應(yīng)該會(huì)更加深刻，對(duì)數(shù)方格的運(yùn)用就會(huì)更加積極主動(dòng)，也有利于面積單位的學(xué)習(xí)。

圖2

面對(duì)新知，學(xué)生通過(guò)思考，說(shuō)出的每一種想法都是對(duì)自己已有知識(shí)的突破，這是最為可貴的學(xué)習(xí)過(guò)程。因此，讀懂學(xué)生，讀懂學(xué)生思考背后的數(shù)學(xué)邏輯；讀懂教材，掌握知識(shí)體系結(jié)構(gòu)而非某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，就顯得尤為重要。

（三）以發(fā)展為宗旨，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)力提升

基礎(chǔ)教育的根本使命是為學(xué)生奠定“學(xué)力發(fā)展”與“人格成長(zhǎng)”的基礎(chǔ)，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力迫在眉睫。教師應(yīng)從學(xué)生立場(chǎng)出發(fā)，關(guān)注學(xué)生發(fā)展，注重激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力的提升，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度掌握，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

【案例2】在“圖形的放大和縮小”一課中，學(xué)生觀察原圖和放大或縮小后的圖形，發(fā)現(xiàn)這些圖形大小變了，形狀不變，長(zhǎng)和寬的比沒(méi)有變。教師相機(jī)動(dòng)態(tài)出示圖3，讓學(xué)生感知形狀不變就是圖形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比不變，這和初中要學(xué)習(xí)的相似圖形的本質(zhì)是一致的。這樣，抓住不一樣中“一樣的本質(zhì)”，再讓學(xué)生體會(huì)電腦畫(huà)圖中鎖定縱橫比的意義，進(jìn)一步理解圖形放大與縮小的內(nèi)涵，同時(shí)應(yīng)用意識(shí)得以增強(qiáng)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為一次真正的奇妙旅行。

圖3

【案例3】“圖形的放大和縮小”教學(xué)片段

師：按1∶3的比例畫(huà)出直角三角形縮小后的圖形。

（生操作）

生1：將三角形按1∶3縮小，一條直角邊長(zhǎng)是6÷3=2（格），另一條直角邊是3÷3=1（格）。

生2：將三角形按1∶3縮小?？s小后每條邊長(zhǎng)都是原來(lái)圖形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的

1—3 。

師：怎么能證明縮小后斜邊的長(zhǎng)度和原來(lái)對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比也是1∶3？

生3：測(cè)量。（測(cè)量的過(guò)程很認(rèn)真，匯報(bào)的測(cè)量結(jié)果有小誤差，有些學(xué)生將信將疑。）

[一個(gè)學(xué)生很著急舉手，并匯報(bào)展示用畫(huà)圖方法（見(jiàn)圖4）說(shuō)明縮小后三角形斜邊和原來(lái)三角形斜邊的比是1：3。]

圖4

【分析】

有了畫(huà)長(zhǎng)方形和正方形的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自然地想到用測(cè)量來(lái)證明“縮小后三角形的斜邊和原來(lái)三角形斜邊的比也是1∶3”，但因?yàn)闇y(cè)量的數(shù)據(jù)不是整數(shù)，產(chǎn)生了不一致的結(jié)果，有的教師會(huì)以“測(cè)量會(huì)出現(xiàn)誤差”繼續(xù)課堂教學(xué)，也有的教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度解決問(wèn)題，在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展思維，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求真的科學(xué)態(tài)度、推理意識(shí)、空間觀念。這也提醒教師在帶領(lǐng)學(xué)生探究“圖形的放大和縮小”的規(guī)律時(shí)，不僅要根據(jù)具體數(shù)據(jù)去分析對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，還要從圖形本身的對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系上去比較，可以引進(jìn)尺規(guī)作圖，促進(jìn)概念理解，讓數(shù)形結(jié)合思想自然產(chǎn)生。

數(shù)學(xué)學(xué)力的提升是學(xué)生核心素養(yǎng)進(jìn)一步成長(zhǎng)的基礎(chǔ)，是學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。通過(guò)對(duì)向?qū)W而教、提升學(xué)力的教學(xué)研究，關(guān)注學(xué)生學(xué)力提升，使其在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂中得到重視，從而改進(jìn)一線教師的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，賦予學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的厚度、廣度和深度，促進(jìn)學(xué)生的情意維度（興趣、態(tài)度和意志等）、意識(shí)維度（問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等）、能力維度（學(xué)科核心知識(shí)與能力、高階學(xué)習(xí)能力和多元思維方式等）交融式螺旋上升。