習(xí)題教學(xué)也可積累經(jīng)驗(yàn)

江蘇省建湖縣湖陽路小學(xué) 瞿德軍

經(jīng)驗(yàn)積累的重要性已經(jīng)得到廣大教師的認(rèn)同，并且得到一定程度的推廣和落實(shí)。但是，經(jīng)過調(diào)研，筆者還是發(fā)現(xiàn)一些問題：教師只是片面地對(duì)數(shù)學(xué)思想方法滲透、數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)、空間觀念發(fā)展、邏輯思維訓(xùn)練等進(jìn)行大力推進(jìn)，但是，這些動(dòng)作只停留在新授環(huán)節(jié)。教師在新授環(huán)節(jié)還是可以做到盡心盡責(zé)的，但是一到了習(xí)題練習(xí)環(huán)節(jié)就松懈了，面對(duì)習(xí)題教學(xué)，大家普遍認(rèn)為測(cè)評(píng)方式只是注重結(jié)果，也就是最終的得數(shù)，于是覺得吃力不討好，既然無論怎么努力都無法將新理念設(shè)計(jì)到練習(xí)題教學(xué)中，那么干脆走老路繼續(xù)之前的教法。這種風(fēng)氣，從根本上否認(rèn)了習(xí)題教學(xué)中可以滲透新理念的可能，也忽視了習(xí)題對(duì)積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積極作用。教師如果一直抱著這種心態(tài)去處理習(xí)題教學(xué)，那么就無法發(fā)揮習(xí)題教學(xué)的巨大潛力。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)教學(xué)是離不開習(xí)題的，沒有習(xí)題的數(shù)學(xué)就不再是真正的數(shù)學(xué)，習(xí)題的重要地位不單體現(xiàn)在它有檢驗(yàn)、反饋、評(píng)判學(xué)生課堂所學(xué)的功用，從長遠(yuǎn)發(fā)展來看，長期練習(xí)可以改善學(xué)生的思維品質(zhì)，積累大量的邏輯推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)化思考模型。從經(jīng)驗(yàn)的形成機(jī)制來看，經(jīng)驗(yàn)不是一蹴而就的，其形成需要對(duì)一個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行深入的反思和分析以及不斷地批判和歸納。這樣，思維經(jīng)過多條路徑的探索，經(jīng)過正誤難易的辨析、權(quán)衡、取舍，最終對(duì)有價(jià)值的部分反復(fù)印證，獲得思維經(jīng)驗(yàn)。下次遇到類似的問題和情境時(shí)，回顧反思，提取經(jīng)驗(yàn)，解決問題時(shí)再運(yùn)用、檢驗(yàn)、加工、豐富，并產(chǎn)生新的經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)的積累就是在循環(huán)往復(fù)中慢慢完成的。因此，習(xí)題教學(xué)對(duì)經(jīng)驗(yàn)的積累、修正、完善起到了舉足輕重的作用。從教材的編寫來看，習(xí)題中滲透了大量的數(shù)學(xué)思想，融合數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的設(shè)計(jì)屢見不鮮。因?yàn)閷W(xué)生知識(shí)體系的構(gòu)建單靠一節(jié)課的講授和一道例題的示范是無法實(shí)現(xiàn)的，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是需要長期堅(jiān)持的，而且需要方方面面執(zhí)行到位。

一、猜想驗(yàn)證，催化經(jīng)驗(yàn)再生長

許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)結(jié)論是可以通過觀察總結(jié)出來的，而不是依靠邏輯推理一步步證明出來的。這種通過觀察總結(jié)出來的結(jié)論雖然有一定的依據(jù)，但是很大程度上還是靠直覺，未必正確，卻還是有其合理性，且符合人的認(rèn)知規(guī)律和思維習(xí)慣，因此，這種結(jié)論有時(shí)為我們指明了研究的方向，也提供了參考。在觀察總結(jié)的過程中，由于缺乏嚴(yán)密、可靠、詳細(xì)的理論依據(jù)，學(xué)生的思路中會(huì)出現(xiàn)很大的“真空地帶”，這些“真空地帶”就需要學(xué)生用自己的合理想象和創(chuàng)造元素去填補(bǔ)，這也正是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的一種重要途徑。

在教學(xué)中，教師組織學(xué)生進(jìn)行觀察，學(xué)生通過觀察和初步思考，得出一些模糊、抽象、片面的結(jié)論，然后帶著這些結(jié)論片段去交流評(píng)析、引發(fā)猜想，再結(jié)合各方面的信息猜想出完整的結(jié)論。這個(gè)過程培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，更重要的是，學(xué)生在猜想時(shí)，原有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)被激活并運(yùn)用，且在反思質(zhì)疑中得到修正補(bǔ)充，而對(duì)猜想結(jié)論的驗(yàn)證，又催生了新的經(jīng)驗(yàn)。

例如，筆者執(zhí)教的“小數(shù)乘整數(shù)”一課（蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)P56“練一練”第1題）：

編者的原意是通過練習(xí)讓學(xué)生直觀地看出因數(shù)小數(shù)位數(shù)與積小數(shù)位數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后初步猜想出完整結(jié)論。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，一個(gè)問題反復(fù)浮現(xiàn)在筆者腦海里：如何實(shí)現(xiàn)這道題的價(jià)值最大化？那就要給這道題增加一點(diǎn)額外“職能”，這個(gè)附加“職能”雖然是無形的，但是有利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。

于是，筆者打亂了出題順序，最先出示較為復(fù)雜的算式：14.8×23=。面對(duì)這個(gè)“下馬威”，學(xué)生倍感吃力，于是忙不迭用筆算，此時(shí)筆者出面解圍：“大家可以不用筆算就知道結(jié)果，老師可以事先告知某一個(gè)算式的乘積?！?/p>

當(dāng)筆者出示148×23=3404時(shí)，學(xué)生豁然開朗，不僅做出了第一道例題，而且脫口而出0.148×23與148×（ ）=34.04的結(jié)果。此時(shí)，筆者再趁熱打鐵，出示小數(shù)乘小數(shù)的算式14.8×2.3，引導(dǎo)學(xué)生有依據(jù)地猜想。筆者出示正確結(jié)果后，再次讓學(xué)生猜測(cè)小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算法則。這里的兩次猜想截然不同：第一次猜想是憑借先前的經(jīng)驗(yàn)靠著直覺和創(chuàng)新精神大膽推測(cè)，所有的經(jīng)驗(yàn)都是來自小數(shù)乘整數(shù)的探究經(jīng)歷，是對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)的補(bǔ)充和再生，增長新經(jīng)驗(yàn)；第二次猜想則完全是對(duì)猜想的驗(yàn)證，是對(duì)前一次經(jīng)驗(yàn)的回顧、審視、修正和完善。兩次猜想讓學(xué)生感知到猜想其實(shí)是一種創(chuàng)造性思維活動(dòng)，而不是瞎蒙、亂猜，他們逐漸形成數(shù)學(xué)猜想的意識(shí)。

二、數(shù)形結(jié)合，注重思維方式的培養(yǎng)

學(xué)習(xí)數(shù)時(shí)，離不開形的直觀演示；學(xué)習(xí)形時(shí)，少不了數(shù)的精確印證。這是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征。而小學(xué)生的心理規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn)又決定了他們對(duì)圖形的依賴性。因此，一旦遇到非常抽象且數(shù)量關(guān)系又特別復(fù)雜的題目時(shí)，教師務(wù)必幫助學(xué)生畫出圖形。但是，這只是教師的一種強(qiáng)制性行為，不是學(xué)生的一項(xiàng)技能。如何將數(shù)形結(jié)合的思想植入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，讓數(shù)形結(jié)合成為學(xué)生的一種內(nèi)在意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系繪圖或者根據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)量分析的動(dòng)手能力呢？

例如，以下這道拓展題：

此題旨在引導(dǎo)學(xué)生將梯形面積公式與等差數(shù)列求和掛鉤，也就是通過知識(shí)遷移，將面積公式與數(shù)列求和公式統(tǒng)一起來，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，發(fā)散學(xué)生的思維。如果教師只是按照常規(guī)教學(xué)，分別總結(jié)出兩個(gè)公式后，再進(jìn)行形式上的對(duì)比歸納，就題論題，那么學(xué)生只會(huì)生硬機(jī)械地套用公式，達(dá)到表面上的數(shù)形結(jié)合，而且很快就會(huì)遺忘，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也沒有得到很好的訓(xùn)練。

如果按照常規(guī)教學(xué)，聽懂的學(xué)生只是少數(shù)，一個(gè)經(jīng)典題型也就成為擺設(shè)。因此，教師如何充分挖掘題目價(jià)值，才能讓全體學(xué)生都有所獲益，都能對(duì)梯形面積公式與等差數(shù)列求和的共通之處有清醒的認(rèn)知？

筆者嘗試改編原題，創(chuàng)作出一個(gè)梯形，將梯形的上底分成若干單位長度，下底也分成若干單位長度，如上底為4、下底為8、高為5的梯形（見圖1），我們可以將上底分為4條線段，將下底分為8條線段，然后將高分成5層，這樣梯形就被分成一個(gè)個(gè)“磚塊”，這些磚塊的數(shù)量就是梯形的面積。于是，梯形的面積首次實(shí)現(xiàn)數(shù)字化，再將這些“磚塊”一層一層相加，磚塊數(shù)層層遞增，每層增加1個(gè)，得出總數(shù)，然后得出梯形的總“磚塊數(shù)”為4+5+6+7+8=30。此時(shí)，學(xué)生就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，這就是一個(gè)等差數(shù)列，等差數(shù)列的和等于梯形面積。

圖1

雖然“磚塊”拼湊成的不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的梯形，有一條斜腰“凹凸不平”，但是，用凸出三角形去割補(bǔ)對(duì)應(yīng)的凹入三角形（A割補(bǔ)A1，B割補(bǔ)B1，C割補(bǔ)C1），剛好可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的梯形。

三、捕捉生成，比較反思中積累經(jīng)驗(yàn)

課堂永遠(yuǎn)是生成的，習(xí)題教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常會(huì)想出一些稀奇古怪的解法，也許這種思路與正常思路大相徑庭，甚至匪夷所思。這時(shí)，教師就要釋放更大的空間，讓學(xué)生來反思和改造自己的經(jīng)驗(yàn)，或者重新組合原有的經(jīng)驗(yàn)。教師也要機(jī)智地捕捉生成性資源，對(duì)教學(xué)過程中的“節(jié)外生枝”因勢(shì)利導(dǎo)，將一些打亂正常秩序、超出預(yù)設(shè)的想法及時(shí)引入正軌。

因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累需要注重教學(xué)過程的寬松度，放慢教學(xué)的節(jié)奏，釋放開放、個(gè)性化思考的空間，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間去活動(dòng)、感悟、反思。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“觀察物體”一課中有這樣一道題：

針對(duì)第（2）問，學(xué)生想出了四種擺法（見圖2）。

圖2

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概括分類，在形成有序錯(cuò)位拼擺的思維過程中，學(xué)生想到增加錯(cuò)誤幅度，改一個(gè)側(cè)面重合為一條棱重合，于是催生了擺法5（見圖3）。

圖3

此時(shí)，筆者對(duì)學(xué)生的這種擺法大加贊賞，并且肯定他們的思維路徑，因?yàn)閺膶W(xué)生的思維出發(fā)，只要有一條棱相連，這些方塊還算是一個(gè)整體，是一個(gè)有機(jī)組合?！耙皇て鹎永恕?，受此啟發(fā)，更多新奇的擺法如雨后春筍般冒出來（見圖4）：

圖4

面對(duì)這些充滿創(chuàng)造性的想法，筆者引導(dǎo)學(xué)生再次進(jìn)行分類、比較、總結(jié)，最終，他們列舉了所有合乎要求的擺法。在此過程中，交流、展示和質(zhì)疑、評(píng)價(jià)，都能促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

總之，對(duì)于習(xí)題教學(xué)，教師要一改以往只追求結(jié)果的思想，要更多關(guān)注過程中的活力與寬容度，在此過程中錘煉學(xué)生的思維品質(zhì)，同時(shí)不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。