繩驅動萬向關節(jié)的綁線機構優(yōu)化

陳正隆,李同杰,李曉貞

(安徽科技學院 機械工程學院,安徽 鳳陽 233100)

隨著科學技術的發(fā)展,仿生學和智能機器人技術越發(fā)成熟,關節(jié)作為機器人運動的重要部件,結構和尺寸越來越精密,由仿生學引起的機器人熱點分類——柔性機器人,被學術界視為最有可能的新一代機器人發(fā)展方向[1-2]。傳統(tǒng)關節(jié)主要是以剛性結構為主,靈活性、安全性較差,基于此原因人們開始研究具有彎曲性、靈活性的關節(jié),并將這類關節(jié)稱為柔性關節(jié)[3-4]。

柔性關節(jié)廣泛地在工業(yè)、醫(yī)療等各個領域內(nèi)應用,驅動繩和形狀記憶合金是目前廣泛采用小型柔性關節(jié)驅動方式[5]。Dong等[6]已研制一種由3根柔性的繩索來驅動關節(jié)運動的蛇形臂機器人;李法民等[7]利用指數(shù)積(POE)公式建立繩驅動機器人的運動學模型;薛贊等[8]提出一種具有更強環(huán)境適應性、更高自由度和更大工作空間的冗繩驅動機械臂。在形狀記憶合金方面,王魯炳等[9]基于形狀記憶合金絲設計了一種多關節(jié)可彎曲柔性機械臂。形狀記憶合金由于制造復雜、安裝要求高,所以在工程化開發(fā)中一般使用繩驅動作為小型柔性關節(jié)驅動方式[10-11]。

繩驅動的結構原理是將驅動繩的一端固定在綁線機構上,另一端固定在運動機構上,并在二者之間設置驅動繩的限位通道,限位通道使得驅動繩按照設定的方向運動;通過綁線機構的運動,帶動驅動繩在限位通道中的運動,驅動繩在綁線機構中的繩長發(fā)生變化,從而使得運動機構中的驅動繩繩長發(fā)生變化,進而帶動運動機構發(fā)生運動。繞圓運動的特性導致綁線機構在彎曲運動時內(nèi)側和外側的驅動繩長的變化值不同,使得運動機構中對應綁線機構的彎曲內(nèi)外側的驅動繩長變化值也不同,即彎曲一側的驅動繩繃緊,另一側放松,導致綁線機構和運動機構存在運動不同步的情況[12-13]。因此,需要對綁線機構進行設計優(yōu)化,使用三維軟件建數(shù)學模型,Matlab軟件進行數(shù)值模擬等方法來分析模型[14],旨在減少綁線機構造成的驅動繩繩長變化差值,提高運動的同步性。

繩驅動作為小型柔性關節(jié)的一種驅動方式,應用的結構中柔性關節(jié)的直徑普遍小于20 mm,由于結構的設計,驅動繩直徑選擇在1 mm以下,應用的結構受力不超過50 N,已知直徑0.3 mm的尼龍線拉力為187 N,遠遠超出結構最大受力,產(chǎn)生的拉伸變形可以忽略不計;由于運動機構的運動方向是由若干個限位通道的軸線方向擬合而成的弧線,驅動繩安裝在限位通道中,運動方向沿著限位通道的軸線方向前后運動,驅動繩對限位通道壁的壓力可以忽略,即忽略摩擦力。本研究在模型的建立和計算結果的分析中均設為理想狀態(tài)下,不考慮驅動繩拉伸變形和驅動繩與綁線結構之間摩擦的情況。

1 繩驅動萬向關節(jié)綁線機構數(shù)學模型的建立

1.1 綁線機構的三維模型

綁線機構由1個二自由度球關節(jié)作為主要部分,如圖1所示,為限制三自由度球關節(jié)的自由度,球關節(jié)底座上的球體單方向在徑向處設有凹槽讓位腔,球關節(jié)搖桿上的外球體相對應位置處設有凸臺限位塊[15-17];球關節(jié)底座運動時固定,球關節(jié)搖桿在平面兩方向上自由運動,疊加形成萬向運動,控制萬向關節(jié)的萬向運動;萬向關節(jié)一般由4根驅動繩控制,驅動繩的穿線點分布在萬向關節(jié)圓截面上,4個穿線點均分由穿線點到關節(jié)圓心為半徑的圓,1組穿線點之間的連線經(jīng)過凹槽讓位腔和凸臺限位塊的對稱中心;軸截面上的2根驅動繩為1組控制1個方向,球關節(jié)搖桿單向運動時,同組的2根驅動繩同步運動,處于萬向關節(jié)彎曲內(nèi)側的繩子收緊變短,彎曲外側的繩子放松變長,使得萬向關節(jié)同步彎曲。球關節(jié)因為凹槽讓位腔和凸臺限位塊的存在不發(fā)生相對自轉,不打亂驅動繩的分布;凹槽讓位腔和凸臺限位塊使得球關節(jié)在萬向運動時2個方向上的運動軌跡并不相同,2組驅動繩繩長的變化也不同,因此建立數(shù)學模型時將2組驅動繩分別計算分析。

圖1 綁線機構三維模型Fig.1 Three-dimensional model of the wire tying mechanism

1.2 綁線機構的數(shù)學模型

1.2.1 三維模型簡化 將綁線機構的三維模型進行分析、簡化,簡化后的模型如圖2所示,三維模型中繩長轉換成簡化模型中2點之間的距離,數(shù)學模型中體現(xiàn)為距離的數(shù)值大小。簡化后的綁線機構模型由綁線球、限位圓盤、驅動線組成,綁線球是半徑為r的球體,位于XaYaZa坐標系中,球心為XaYaZa坐標系原點,原模型中凹槽讓位腔和凸臺限位塊位于XaZa平面。XaYa平面圓周均分設4個綁線點A1、B1、C1、D1。綁線球正下方放置1個限位圓盤,圓盤的半徑為R,圓盤的圓心和球體的球心的距離為L,設圓盤平面為XY平面,限位圓盤指向綁線球的方向為Z軸正方向,XY平面上圓周均分4個出線點A、B、C、D。在XaYaZa坐標系的坐標為：A(0,-R,-L)、B(R,0,-L)、C(0,R,-L)、D(-R,0,-L)。XaYaZa坐標系經(jīng)過繞Ya軸和Xb軸分別旋轉α度和β度后變換為XbYbZb坐標系、XcYcZc坐標系,綁線點A1在旋轉后為點A2、A3,B1、C1、D1點同理。驅動繩為連接對應綁線點和出線點之間的線段,根據(jù)角度變換導致驅動繩繩長的變化。將驅動繩分為BD側驅動繩和AC側驅動繩：B和D點的驅動繩經(jīng)過1次角度的變化,控制1個方向的運動且位于同一軸截面上;A和C點的驅動繩經(jīng)過2次角度的變化,控制1個方向的運動且位于同一軸截面上。

圖2 簡化后的綁線機構模型Fig.2 Simplified model of the wire tying mechanism

1.2.2 數(shù)學模型建立 使用旋轉矩陣求A3點在XaYaZa坐標系的坐標：A3點在XcYcZc坐標系中的坐標為(0,-r,0),首先通過繞Xc軸旋轉β度得到XbYbZb坐標系,其次通過Yb軸旋轉α度得到XaYaZa坐標系;用齊次方程法將A3點在XcYcZc坐標系中的坐標轉換成(0,-r,0,1),寫成矩陣的格式。

(1)

XcYcZc坐標系繞Xc軸旋轉β度得到A3點在XbYbZb坐標系中的坐標：

A3b=RX×A3

(2)

XbYbZb坐標系繞Yb軸旋轉α度得到A3點在XaYaZa坐標系中的坐標：

A3a=RY×A3b

(3)

聯(lián)立式(2)～(3)得：

A3a=RY×RX×A3=R×A3

(4)

總的旋轉矩陣R：

(5)

聯(lián)立式(1)、(4)、(5)得：

(6)

即A3點在XaYaZa坐標系中的坐標：

A3：(-rsinαsinβ,-rcosβ,-rcosαsinβ)

同理可得B1、C1、D1等3點在經(jīng)過旋轉變換后的B3、C3、D3等3點的坐標：

B3：(rcosα,0,-rsinα)

C3：(rsinαsinβ,rcosβ,rcosαsinβ)

D3：(-rcosα,0,rsinα)

三維坐標系中兩點之間的距離公式：

(7)

將得到的4個點的坐標帶入式(7),得到經(jīng)過旋轉變換后4個綁線點對應圓盤出線點的距離：

(8)

(9)

(10)

(11)

聯(lián)合式(8)、(10)得到AC側2根驅動繩繩長變化值的差值：

(12)

聯(lián)合式(9)、(11)得到BD側2根驅動繩繩長變化值的差值：

(13)

2 數(shù)字模型計算分析

分析數(shù)學模型發(fā)現(xiàn)同組驅動繩繩長的差值只和綁線球半徑r、限位圓盤半徑R和綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L相關,原模型中綁線球半徑r和限位圓盤半徑R相等,綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L在不同應用結構中變化,將數(shù)學模型導入Matlab軟件中進行數(shù)值分析計算,計算2組驅動繩在不同的綁線球半徑r、限位圓盤半徑R和綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L之間的關系導致的驅動繩繩長差值大小。綁線球半徑設為r=50,旋轉角度α和β設為0°～30°。

2.1 BD側驅動繩繩長差值

BD側驅動繩繩長經(jīng)過1次旋轉變換,設限位圓盤半徑R和距離L為綁線球半徑r的倍數(shù)來進行數(shù)值分析。

2.1.1 原模型繩長差值 原綁線機構模型中限位圓盤半徑R等于綁線球半徑r,取不同長度的距離L,得到BD側繩長差值與角度的折線圖。由圖3可知,限位圓盤半徑R等于綁線球半徑r時,在同一根折線上α=30°時差值最大,隨著距離L的不斷增大,驅動繩繩長的差值越來越小,但折線的變化趨勢不變,表示距離L不是影響結果的主要參數(shù)。

圖3 R=r時BD側驅動繩繩長變化Fig.3 Change of BD side drive rope length when R=r

2.1.2 優(yōu)化模型繩長差值 距離L不是影響驅動繩繩長差值變化趨勢的主要參數(shù),因此取不同的限位圓盤半徑R值來分析計算結果的變化趨勢,取限位圓盤半徑R等于1.2r和0.8r時,得到差值折線圖。由圖4可知,同根折線上在α=30°時差值最大;由圖4(a)可以明顯發(fā)現(xiàn)在R=1.2r時,繩長差值的變化明顯的提高了2倍以上;由圖4(b)可知當限位圓盤半徑R等于0.8r時,繩長的差值變成了負值,但繩長差值極值的絕對值與原模型接近。結合圖3～4中折線的發(fā)展趨勢和數(shù)值大小分析易知：在限位圓盤半徑R的值(0.8～1)r,BD側驅動繩繩長變化的差值從正值變?yōu)樨撝登医^對值接近,表明當R取值范圍在此區(qū)間內(nèi)時,模型的BD側驅動繩繩長變化的差值小于原模型。該取值范圍減小了繩長差值,優(yōu)化了萬向關節(jié)運動的同步性。

圖4 R=1.2r和R=0.8r時BD側驅動繩繩長變化Fig.4 Change of BD side drive rope length when R=1.2r and R=0.8r

2.1.3 二次優(yōu)化模型繩長差值 為進一步優(yōu)化繩長的差值,將特定參數(shù)帶入數(shù)學模型,反求出R和r的關系。將L=r、α=30°帶入模型中得到折線圖(圖5),當R和r的比值在0.9～0.95時,差值存在零點;將差值0帶入圖5,得到R=0.928r。將該參數(shù)下的模型進行數(shù)值分析,得到差值的折線圖(圖6)。由圖3～6和表1可知,影響計算結果變化趨勢的主要參數(shù)是限位圓盤半徑R和綁線球半徑r的比值;當R=0.928r時,BD側繩長變化的差值明顯小于其他情況,也驗證了優(yōu)化的限位圓盤半徑R的取值范圍。

圖5 30°時差值隨R與r比值變化Fig.5 Variation of the difference with the ratio of R to r at 30°

圖6 R=0.928r時BD側驅動繩繩長變化Fig.6 Variation of BD side drive rope length when R=0.928r

表1 不同R、L值下BD側繩長差值的極值Table 1 Extreme values of rope length difference on BD side with different values of R and L

2.2 AC側繩長差值

AC側的驅動繩繩長經(jīng)過2次角度的變換,由于距離L不是影響結構的主要參數(shù),因此只取L=r的參數(shù)進行分析。

2.2.1 原模型繩長差值 取限位圓盤半徑等于綁線球半徑的情況,由圖7可知,AC側驅動繩繩長變化的差值因為經(jīng)過2次變化,形成的變化圖是曲面,隨著α和β角度的變大而越來越大,差值的最大值在2個參數(shù)的最大值處。

2.2.2 優(yōu)化模型繩長差值 取不同的取限位圓盤半徑R來分析結果的變化趨勢,由圖8(a)發(fā)現(xiàn),在R=1.2r時,AC側繩長差值的變化趨勢明顯提高;由圖8(b)、8(c)可知,當限位圓盤半徑R小于綁線球半徑r時,繩長的差值部分變成了負值,且繩長差值的極差小于原模型,在R=0.8r和R=0.928r時繩長差值的極差接近。結合圖7～8和表2可知,AC側驅動繩繩長變化差值的大小隨著R的變大而變大,因此R的取值應該小于r,AC側驅動繩分析結果驗證了BD側驅動繩分析的結果,反證了數(shù)學模型和數(shù)值模擬的合理性。

圖8 R=1.2r、R=0.8r和R=0.928r時AC側驅動繩繩長變化Fig.8 Variation of AC side drive rope length when R=1.2r,R=0.8r and R=0.928r

表2 不同R值下AC側繩長差值的極差Table 2 Polar difference of rope length difference on AC side with different R values

3 結論

本研究通過將綁線機構的三維模型簡化后重建為數(shù)學模型,并對其進行了數(shù)值模擬計算,對計算結果進行分析研究從而優(yōu)化模型,發(fā)現(xiàn)驅動繩繩長變化的差值只和綁線球半徑r、限位圓盤半徑R和綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L相關。距離L只影響驅動繩繩長變化的差值數(shù)值大小,不影響變化趨勢,因此不是主要參數(shù)。限位圓盤半徑R的取值為(0.8～1)r時,BD側驅動繩繩長變化的差值比原模型的差值小;在R=0.928r時差值最小。限位圓盤半徑R的取值大于綁線球半徑r時,AC側驅動繩繩長變化的差值比原模型的差值大,且數(shù)值變化快、幅度大;限位圓盤半徑R的取值小于綁線球半徑r時,AC側驅動繩繩長變化的差值比原模型的差值小,且數(shù)值變化慢、幅度慢。限位圓盤半徑R為0.928r、距離L為機構允許的最大值時,繩長變化的差值最小,提高了萬向關節(jié)運動的同步性,達到優(yōu)化綁線結構的目的。