表面波紋度及粗糙度對(duì)微氣體軸承性能的影響*

李 祥 張小青 司麗娜 田 斌

(1.北京工商大學(xué)人工智能學(xué)院 北京 100048；2.北方工業(yè)大學(xué)機(jī)械與材料工程學(xué)院 北京 100144)

微氣體潤(rùn)滑軸承具有精密度高、摩擦損耗小、無(wú)污染、壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，在MEMS器件特別是微旋轉(zhuǎn)機(jī)械中有廣泛的應(yīng)用前景。微氣體軸承的氣膜厚度通常在1～20 μm之間，與氣體平均分子自由程(λ)的量級(jí)接近，處于滑移流范圍[1]。黃海等人[1-2]分別采用一階滑移流、二階滑移流模型研究了具有光滑表面的微氣體軸承性能，發(fā)現(xiàn)滑移流效應(yīng)降低了軸承的承載力，并減弱了其抗擾動(dòng)能力。除滑移流模型外，適用于任意努森數(shù)的Fukui-Kaneko(F-K)模型[3-4]及WU新滑移模型[5]也逐漸應(yīng)用于對(duì)微氣體軸承的研究中，它們的結(jié)果與線性玻爾茲曼方程解更接近。

無(wú)論何種加工方法，都難以保證加工表面絕對(duì)光滑，軸承的表面往往存在微凸峰和凹谷，即存在形狀誤差。那些周期性重復(fù)出現(xiàn)的、波距在1～10 mm之間的形狀誤差，稱為波紋度，簡(jiǎn)稱波度；那些沒(méi)有明顯的周期性、波距小于1 mm的形狀誤差，稱為表面粗糙度[6]。對(duì)于間隙在微米級(jí)的微氣體軸承而言，表面形貌的影響非常重要。DIMOFTE[7-8]研究了波紋度對(duì)徑向軸承性能的影響，發(fā)現(xiàn)波的幅值和位置會(huì)明顯影響軸承的性能。WANG等[9]發(fā)現(xiàn)表面波紋度的幅值增大(由1 μm增至3 μm)時(shí)，軸承承載力、流速均隨之增小，而摩擦因數(shù)則會(huì)增大；同時(shí)，波紋度對(duì)軸承動(dòng)特性也有一定的影響。TURAGA等[10]、LIN等[11]用CHRISTENSEN和TONDER[12]的隨機(jī)粗糙理論模型研究了表面粗糙度對(duì)動(dòng)壓軸承的影響，發(fā)現(xiàn)同光滑軸承相比，橫向粗糙度的存在可顯著提高軸承的承載力和穩(wěn)定性，而縱向粗糙度則相反。張文明等[13-14]則采用分形函數(shù)表征粗糙表面，探究了表面粗糙度對(duì)徑向氣體軸承性能的影響，發(fā)現(xiàn)表面存在粗糙度時(shí)，壓力分布和承載能力會(huì)發(fā)生不規(guī)則的波動(dòng)，和光滑表面軸承有很大差別。王玉娟等[15]、史寶軍等[16]研究了表面粗糙度對(duì)磁盤系統(tǒng)靜態(tài)特性的影響，發(fā)現(xiàn)表面粗糙度對(duì)承載能力的影響很大，但是對(duì)壓力中心的影響較小。

事實(shí)上，表面波紋度和表面粗糙度往往不是獨(dú)立存在的，然而目前針對(duì)復(fù)合粗糙表面對(duì)微氣體軸承性能影響的研究報(bào)道還很少，因此，研究在兩者共同作用下的微氣體軸承性能是非常有意義的。本文作者基于考慮稀薄氣體效應(yīng)的F-K模型，采用WEIERSTRASS-MANDELBROT(W-M)分形函數(shù)表征表面粗糙度，用正弦波近似表示表面波紋度，探討了不同周期、幅值、相位角條件下的波紋度與不同表面粗糙度對(duì)徑向微氣體軸承壓力分布、承載能力、壓力中心等性能的影響。

1 控制方程及數(shù)值求解方法

楔形滑塊常作為推力軸承的組成元件，許多氣體潤(rùn)滑模型也可以簡(jiǎn)化或者近似成楔形滑塊模型，且對(duì)楔形滑塊的分析有助于了解潤(rùn)滑的基本特性[6，17]，故文中以無(wú)限長(zhǎng)楔形滑塊為分析對(duì)象，研究表面波紋度及表面粗糙度對(duì)微氣體軸承潤(rùn)滑特性的影響。

1.1 超薄氣膜潤(rùn)滑 Reynolds方程

在氣體潤(rùn)滑軸承中，由于氣體存在可壓縮性，故氣體的密度不是常量，應(yīng)采用可變密度的雷諾方程。微氣體軸承的氣膜間隙只有幾微米甚至更小，參考F-K模型，引入流量修正因子Q來(lái)修正雷諾方程。假設(shè)氣體為等溫理想氣體，且氣體具有黏度，則適合于超薄氣膜潤(rùn)滑的Reynolds修正方程[18]為

(1)

流量修正因子Q的表達(dá)式為

(2)

式中：Dk為逆努森系數(shù)；pa為環(huán)境壓力；R是氣體常數(shù)；T是環(huán)境溫度；μ為氣體動(dòng)力黏度。

對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)楔形滑塊的穩(wěn)態(tài)分析，沒(méi)有y向速度，并且不考慮時(shí)間項(xiàng)，則在稀薄效應(yīng)下的雷諾方程為

(3)

定義量綱一化參數(shù)如下：

(4)

將式(4)代入方程(3)可得直角坐標(biāo)系下的量綱一化Reynolds方程：

(5)

1.2 膜厚方程

式(3)中的h為氣膜厚度，與軸承的結(jié)構(gòu)及尺寸有關(guān)。圖1給出了楔形滑塊軸承的結(jié)構(gòu)模型，當(dāng)組成楔形滑塊的兩個(gè)表面都光滑時(shí)，如圖1(a)所示，其膜厚是隨坐標(biāo)x線性變化的，其表達(dá)式為

圖1 具有不同表面形貌的楔形滑塊

hs(x)=(L-x)tanθ+h0

(6)

當(dāng)表面存在加工誤差時(shí)，不妨設(shè)滑塊上表面為光滑，下表面為粗糙表面，如圖1所示。當(dāng)表面僅存在粗糙度時(shí)，如圖1(b)所示，由于分形函數(shù)中分形維數(shù)和尺度系數(shù)聯(lián)系在一起具備表征粗糙度的唯一性和直觀性[19]，為此，文中采用W-M分形函數(shù)表征表面輪廓高度曲線hr，即：

(7)

式中：G為分形特征尺度系數(shù)；D(1

此時(shí)，膜厚方程變?yōu)?/p>

h=hs-hr

(8)

引入相對(duì)粗糙度δ來(lái)表征粗糙度的尺度，

(9)

其中Rq為均方根粗糙度，

(10)

相對(duì)粗糙度δ的大小可以通過(guò)調(diào)整特征尺度系數(shù)G和分形維數(shù)D來(lái)控制。

當(dāng)軸承表面僅存在波紋度誤差時(shí)，如圖1(c)所示，假設(shè)軸承的表面波紋度為正弦曲線，則表面輪廓曲線可以表示為

(11)

式中：A為波紋幅值；T為波紋的周期；φ為相位角。

僅存在波紋度加工誤差時(shí)的膜厚方程為

h=hs-hw

(12)

當(dāng)軸承表面同時(shí)存在粗糙度及波紋度誤差時(shí)，如圖1(d)所示，表面輪廓相當(dāng)于二者的疊加，此時(shí)膜厚方程為

h=hs-(hr+hw)

(13)

1.3 數(shù)值方法

有限差分法是一種求解微分方程的常用算法，在雷諾方程的求解中得到了廣泛的運(yùn)用。文中采取精度最高的中差分形式對(duì)修正的Reynolds方程進(jìn)行離散，得到一個(gè)關(guān)于壓力P的非線性方程組，接著用Newton-Raphson方法對(duì)其進(jìn)行求解，即可求得對(duì)應(yīng)于各節(jié)點(diǎn)的壓力值，即壓力分布。則氣體潤(rùn)滑膜的承載力可以根據(jù)式(14)利用復(fù)合Simpson方法求得：

(14)

壓力中心就是載荷的作用點(diǎn)，可以通過(guò)對(duì)原點(diǎn)取矩求得。設(shè)原點(diǎn)與壓力中心的距離為x0，則有：

(15)

式(15)也是利用復(fù)合Simpson方法積分。

式(13)中的hs、hr、hw，通過(guò)式(4)量綱一化為Hs、Hr、Hw。

2 結(jié)果與討論

文中研究的楔形滑塊的基本參數(shù)如表1所示。

表1 楔形滑塊軸承基本參數(shù)

2.1 壓力分布分析

首先計(jì)算了僅存在表面粗糙度、僅存在波紋度及二者都存在3種情況下沿X向的壓力分布，如圖2所示。圖2(a)給出了不同相對(duì)粗糙度值δ下的壓力分布曲線，在計(jì)算中，δ值不能超過(guò)20%，否則會(huì)造成局部膜厚h<0，即發(fā)生碰磨。從圖2(a)可見(jiàn)，僅存在表面粗糙度時(shí)，軸承的氣膜壓力高于表面光滑時(shí)的壓力，表面相對(duì)粗糙度δ值越大，氣膜壓力越高；受表面粗糙度的影響，壓力曲線出現(xiàn)微小波動(dòng)，在粗糙度值大時(shí)及壓力峰值附近，這種波動(dòng)比較明顯。圖2(b)給出了周期T=1/3、相位角φ=0時(shí)不同幅值的波紋度下的壓力分布情況。可以看出，當(dāng)A較小時(shí)(如A=0.05)，存在波紋度情況下的氣膜壓力小于光滑表面氣膜壓力；隨著幅值A(chǔ)的逐漸增大，壓力曲線沿X向呈現(xiàn)明顯波動(dòng)，壓力值時(shí)而高于光滑表面，時(shí)而低于光滑表面，且壓力峰值較光滑表面左移，在Xc=0.7附近，這是由于受波紋度的影響，該處膜厚較??；在A>0.1時(shí)，存在波紋度情況下的壓力峰值高于光滑表面，但在出口附近壓力迅速降低，低于光滑表面，這是由于在出口附近，波紋度的存在增大了氣膜厚度。圖2(c)給出了相對(duì)粗糙度δ=10%并存在不同幅值(A=0.1，0.2，0.3)波紋度情況下的壓力分布情況。與表面光滑、僅存在粗糙度及僅存在波紋度下的壓力分布進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，粗糙度及波紋度均存在時(shí)，壓力曲線的整體趨勢(shì)與僅存在波紋度的情況大體一致，但由于表面粗糙度的存在，其壓力值更高。

圖2 不同表面輪廓及對(duì)應(yīng)的壓力分布(Λ=10，H1=1.8)

總體而言，表面粗糙度對(duì)壓力分布的影響主要體現(xiàn)在壓力值大小上，粗糙度的存在提高了壓力值，對(duì)壓力分布曲線形態(tài)影響不大；波紋度則對(duì)壓力分布曲線的形狀有較大影響，壓力曲線也具有波紋狀的波動(dòng)特點(diǎn)，在幅值A(chǔ)較大時(shí)更為明顯。從圖2(b)可以看出，當(dāng)僅波紋度幅值不同而相位及周期相同時(shí)，其對(duì)應(yīng)的壓力分布曲線形狀接近，只是幅值不同。文中對(duì)其他周期(T=1，1/5，1/9)情況進(jìn)行了研究，如圖3所示，得到的結(jié)論是一致的。

圖3 不同波紋周期和幅值條件下的壓力分布

通過(guò)圖3中不同波紋周期與幅值下軸承壓力分布曲線的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)波紋周期T=1時(shí)，波紋度會(huì)降低軸承的氣膜壓力值，且幅值A(chǔ)越大，氣膜壓力下降越明顯；當(dāng)波紋周期T=1/5時(shí)，隨著幅值A(chǔ)的增大，氣膜壓力峰值逐漸增大，但在靠近氣體出口處，壓力驟降較為明顯；當(dāng)波紋周期T=1/9時(shí)，雖然存在波紋度情況下壓力分布仍有波動(dòng)，但在0

軸承的波紋表面幾何形態(tài)不僅與幅值和周期有關(guān)，還受到波紋相位角(即波紋的起始位置)變化的影響。取波紋幅值A(chǔ)=0.1、周期T=1/3，計(jì)算了φ=0、φ=π/2、φ=π、φ=3π/2時(shí)的壓力分布，結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯觯瑝毫Ψ植寂c波形有一定的相似性，不同的相位角對(duì)壓力分布影響較大。對(duì)于文中算例，φ=0時(shí)的氣膜壓力低于軸承表面光滑時(shí)的值；φ=π時(shí)，軸承的氣膜壓力最大，其峰值位置較其他3種情況明顯后移。因此，除幅值和周期外，波紋度的相位角對(duì)軸承的壓力分布也有明顯的影響。

圖4 相位角對(duì)壓力分布的影響

2.2 承載力及壓力中心分析

圖5給出了不同軸承數(shù)時(shí)承載力和壓力中心隨表面粗糙度的變化曲線。由圖5(a)可見(jiàn)，當(dāng)軸承數(shù)相同時(shí)，表面粗糙度的存在可以提高軸承的承載力，且相對(duì)粗糙度值越大，軸承的承載力越高；粗糙度值相同時(shí)，軸承數(shù)越大，承載力越高。從圖5(b)可以看出，在軸承數(shù)較小時(shí)，隨著粗糙度值增大，軸承的壓力中心的坐標(biāo)Xc逐漸減小，即向入口區(qū)移動(dòng)；當(dāng)軸承數(shù)在30～100范圍內(nèi)時(shí)，表面粗糙度值對(duì)軸承的壓力中心影響不大；當(dāng)軸承數(shù)較大時(shí)(如Λ=150)，隨著粗糙度值增大，壓力中心略微向出口區(qū)移動(dòng)；在同一粗糙度值下，軸承數(shù)越大，系統(tǒng)的壓力中心越靠近出口。

圖5 不同軸承數(shù)時(shí)表面粗糙度對(duì)軸承性能的影響

從2.1節(jié)的分析可知，軸承表面波紋度的幅值、周期、相位角對(duì)軸承壓力分布都有較大影響。為了進(jìn)一步探究上述參數(shù)對(duì)軸承潤(rùn)滑特性的影響，計(jì)算了不同參數(shù)下的軸承承載力和壓力中心，如圖6及圖7所示。從圖6中可以看出，波紋度周期相同時(shí)，隨著相位角的增大，軸承承載力先升高再減小，呈現(xiàn)出周期性的變化，在相位角φ=3π/4附近時(shí)，承載力最高；且波紋度的幅值越大，承載力越大；軸承壓力中心隨相位角的變化趨勢(shì)與承載力相似，隨著相位角的增大，壓力中心坐標(biāo)值Xc逐漸增大，在相位角φ=3π/4附近時(shí)，達(dá)到最大，之后逐漸減?。辉讦?4<φ<5π/4范圍內(nèi)，波紋度幅值越大，壓力中心越靠近壓力出口，其他范圍則相反。

圖6 相位角對(duì)軸承承載力及壓力中心的影響(T=1/3)

從圖7中可以看出，波紋度的相位角相同時(shí)，隨著周期的逐漸增大，軸承承載力的變化不是單調(diào)的，周期T從1/9增至1的過(guò)程中，時(shí)而增大，時(shí)而減小，在0.4及0.8附近分別出現(xiàn)峰值；當(dāng)波紋度的相位角相同時(shí)，與承載力類似，軸承的壓力中心隨周期增大也呈現(xiàn)出不規(guī)則的變化趨勢(shì)。

圖7 周期對(duì)軸承承載力及壓力中心的影響(φ=0)

從2.1節(jié)的研究可知，復(fù)合粗糙表面對(duì)軸承的壓力分布有較大影響，為了進(jìn)一步探究其對(duì)軸承潤(rùn)滑性能的影響，分別計(jì)算了光滑表面、僅存在波紋度、僅存在粗糙度及二者并存情況下承載力及壓力中心隨軸承數(shù)的變化曲線，結(jié)果如圖8所示。從圖8(a)可以看出，僅存在波紋度的表面對(duì)應(yīng)的承載力最小，小于光滑表面；復(fù)合粗糙表面可以彌補(bǔ)表面波紋度帶來(lái)的承載力的降低，且軸承數(shù)越大，效果越明顯；僅存在粗糙度的表面，承載力最高，且粗糙度越大，承載力越大。從圖8(b)可以看出，當(dāng)軸承數(shù)Λ<40時(shí)，由于表面粗糙度對(duì)壓力中心影響較小，圖中壓力中心曲線大致分成兩組：復(fù)合粗糙表面和波紋表面壓力中心的值很接近，而僅粗糙表面情況下的壓力中心則與光滑表面很接近；在Λ>40以后，逐漸分化，復(fù)合粗糙表面使軸承壓力中心向出口處移動(dòng)。

圖8 不同表面形貌下軸承的承載力及壓力中心隨軸承數(shù)的變化曲線

3 結(jié)論

(1)在一定范圍內(nèi)，表面相對(duì)粗糙度的增大有助于提高承載力和氣膜壓力；表面波紋度的存在會(huì)使軸承的壓力分布呈現(xiàn)明顯波動(dòng)，波紋幅值越大，波動(dòng)越明顯；復(fù)合粗糙表面可以彌補(bǔ)表面波紋度所引起的承載力和壓力的降低，隨著軸承數(shù)的增大，效果逐漸明顯。

(2)波紋周期在0.4及0.8附近時(shí)承載力和壓力中心分別達(dá)到峰值；波紋相位角在φ=3π/4附近時(shí)，軸承的承載力達(dá)到最大，并且壓力中心也處于距離壓力出口最近處。

(3)表面粗糙度對(duì)軸承壓力中心的影響較小，而表面波紋度對(duì)軸承壓力中心的影響較大，在Λ>40以后，復(fù)合粗糙表面對(duì)壓力中心的影響逐漸變大，使得軸承壓力中心向出口處移動(dòng)。