干式摩擦元件的熱彈不穩(wěn)定性分析*

郭 超 張 昱 楊 凱

(1.中國航空發(fā)動(dòng)機(jī)研究院 北京 101304；2.北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院 北京 100191；3.北京衛(wèi)星制造廠 北京 100094)

摩擦元件的熱彈不穩(wěn)定性是指由于其制造、安裝、結(jié)構(gòu)、控制等方面的不足，制動(dòng)器內(nèi)部的物理場存在一定的初始非均勻性，當(dāng)制動(dòng)速度超過臨界值時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)熱彈性不穩(wěn)定(Thermoelastic Instability)狀態(tài)，簡稱TEI[1]。制動(dòng)器出現(xiàn)熱彈性不穩(wěn)定(TEI)現(xiàn)象，加速了材料的磨損及熱疲勞破壞，另外還引入了“熱顫振”(Hot Judder)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生摩擦振動(dòng)與噪聲的可能性加大，因此，TEI是影響制動(dòng)器穩(wěn)定性能的關(guān)鍵因素之一，必須深入研究。

PEI等[2]分析了摩擦系統(tǒng)中摩擦熱導(dǎo)致的熱機(jī)械失穩(wěn)機(jī)制，提出一種熱邊界控制方法，并研究了轉(zhuǎn)盤在氣流下的氣動(dòng)彈性不穩(wěn)定性問題。ABDULLAH等[3]用Perturbation方法研究了2個(gè)摩擦面接觸的穩(wěn)定性問題。對于熱彈性失穩(wěn)的研究，需要分析臨界轉(zhuǎn)速，超過臨界轉(zhuǎn)速是熱彈性失穩(wěn)的主要原因。TANG等[4]采用有限元法建立了離合器熱彈性不穩(wěn)定性的瞬態(tài)模型。馬彪、于亮等人[5- 6]建立離合器接合過程的二維理論模型，分別求解了采用不同摩擦材料的離合器發(fā)生TEI時(shí)的臨界速度等。SHPENEV[7]通過有限差分方法建模分析各向異性圓盤樣品在非定常摩擦下引發(fā)熱彈性失穩(wěn)的問題。HAN和GU[8]采用數(shù)值方法研究TEI問題，將求解臨界速度問題轉(zhuǎn)化為求解系統(tǒng)矩陣特征值問題。YU等[9]首次采用擾動(dòng)法研究了系統(tǒng)的TEI問題。WALIA等[10]研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)相對滑動(dòng)速度較高時(shí)，擾動(dòng)會(huì)向表層集中。擾動(dòng)的來源往往是多方面的，與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、溫度場、磨損量、壓力分布以及應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。

拋開系統(tǒng)狀態(tài)說系統(tǒng)穩(wěn)定性問題是不全面的，WANG等[11-13]從定性和定量2個(gè)方面對制動(dòng)器工作過程中接觸摩擦生熱、瞬態(tài)溫度場、對偶件的變形和應(yīng)力及接觸壓力分布等制動(dòng)器熱彈性耦合分析的基本問題，進(jìn)行了較為廣泛的研究。

本文作者在上述研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討干式摩擦元件熱彈性失穩(wěn)的原因，將理論分析和有限元仿真相結(jié)合，對干式摩擦元件進(jìn)行熱彈不穩(wěn)定分析。

1 干式摩擦元件熱彈不穩(wěn)定分析模型

當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體產(chǎn)生相對滑動(dòng)時(shí)，由于表面不規(guī)則粗糙，真實(shí)接觸面積是由名義接觸區(qū)域內(nèi)許多微凸體接觸產(chǎn)生的。因此界面上壓力分布本質(zhì)上是不均勻的，這種微觀的不均勻是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定性的根本原因。相對摩擦所產(chǎn)生的熱將引起接觸體的熱彈性變形，進(jìn)而改變接觸面之間的壓力分布。反之，接觸面間壓力分布不均勻，又使局部產(chǎn)熱更加不均勻，當(dāng)系統(tǒng)能量輸入超過其能量耗散時(shí)，該過程將不可逆轉(zhuǎn)地惡化下去，使得微觀尺度下的不均勻性會(huì)隨著溫度累計(jì)形成宏觀的局部高溫點(diǎn)。因此，對于給定的摩擦因數(shù)，將存在著某個(gè)滑動(dòng)速度，當(dāng)高于此數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)將變得不穩(wěn)定，即產(chǎn)生TEI現(xiàn)象[14]。

所以對摩擦元件熱彈性不穩(wěn)定性問題的研究，主要集中在求解摩擦系統(tǒng)進(jìn)入熱彈性不穩(wěn)定狀態(tài)的臨界速度，分析摩擦元件在熱彈性不穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)摩擦表面的溫度場分布，熱點(diǎn)分布規(guī)律，系統(tǒng)參數(shù)對熱彈性不穩(wěn)定性的影響等方面。在理論方面對于干式摩擦系統(tǒng)的TEI問題研究一般采用擾動(dòng)法，在Barber和Burton模型的基礎(chǔ)上，改進(jìn)模型參數(shù)，利用伽遼金法[15]，分別建立摩擦副系統(tǒng)二維有限元模型，通過求解TEI矩陣的特征值得到摩擦副在不同滑摩速度下的擾動(dòng)增長系數(shù)，并確定TEI臨界速度。

首先建立摩擦副熱二維TEI有限元模型(如圖1所示)，通過有限元研究結(jié)果與解析法研究結(jié)果的對比，證明有限元模型計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。材料1、2分別表示摩擦材料與對偶材料，面積分別為A1、A2，邊界分別為C1、C2。2種材料接觸邊界為C3，材料1以速度v、沿X軸正方向運(yùn)動(dòng)。

圖1 2D有限元TEI模型示意

首先假設(shè)摩擦副內(nèi)的溫度場、應(yīng)力場、熱流密度、熱彈性變形等物理場的擾動(dòng)均可以表示成余弦形式，擾動(dòng)的幅值隨時(shí)間呈指數(shù)變化，在笛卡爾坐標(biāo)系下可以表示為

R{F(y)exp(bt+iλx)}

(1)

同樣的溫度擾動(dòng)為

R{T(y)exp(bt+iλx)}

(2)

式中：R表示公式取實(shí)部；F(y)表示應(yīng)力；T(y)表示溫度；b表示擾動(dòng)增長系數(shù)；λ表示擾動(dòng)空間頻率，i=-1的開方。

考慮對流，那么熱傳導(dǎo)方程存在對流項(xiàng)，表示成：

(3)

式中：K為材料的導(dǎo)熱系數(shù)；ρ為密度；cp表示比熱容。

將擾動(dòng)代入熱傳導(dǎo)方程可得：

(4)

然后對表面進(jìn)行積分，表面考慮權(quán)函數(shù)w(y)可得：

(5)

利用分步積分法，

(6)

將其化簡得到：

(7)

熱流密度對溫度場的擾動(dòng)可以表示成：

(8)

將其代入熱傳導(dǎo)方程中，得：

(9)

將其離散化，引入有限元形函數(shù)，

(10)

式中：Nj表示材料的節(jié)點(diǎn)數(shù)；Tm表示第m個(gè)節(jié)點(diǎn)上的溫度擾動(dòng)值；Wm(y)表示形函數(shù)。

在伽遼金方法中，權(quán)函數(shù)與形函數(shù)相等，所以可以得到：

(11)

式中：Wm和Wn分別表示形函數(shù)和權(quán)函數(shù)；WmWn表示一個(gè)Nj×Nj的矩陣，表示成矩陣為WmWn=WWT。至此文中就建立了基于擾動(dòng)關(guān)系的二維有限元熱傳導(dǎo)模型。

形函數(shù)可以表示為

Wm=[W1，…，WNj]T

(12)

以上方程可以改為矩陣形式：

(K+G+bL)T+Q=0

(13)

式中：矩陣K為N維傳導(dǎo)矩陣；G為N維系數(shù)矩陣；L為N維質(zhì)量矩陣；T表示溫度向量；Q為熱流向量。

各矩陣和向量的表達(dá)式為

(14)

G=?Aj(Kjλ2+ρjcpjiλvj)WWTdAj

(15)

L=?Aj(ρjcpj)WWTdAj

(16)

(17)

綜上，建立干式制動(dòng)器摩擦副系統(tǒng)熱彈不穩(wěn)定分析模型。模型的求解，關(guān)鍵是確定過渡矩陣H，它是一個(gè)Nc×N矩陣。利用有限元分析軟件ABAQUS，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)溫度場和接觸壓力，從而推導(dǎo)過渡矩陣。

2 干式摩擦元件熱彈不穩(wěn)定分析結(jié)果

系統(tǒng)矩陣與特征值解法，根據(jù)邊界特征可知，2個(gè)表面之間的熱流只存在于接觸表面。所以接觸表面節(jié)點(diǎn)數(shù)為Nc時(shí)，如果另一個(gè)方向也是Nc，則Nc=N，否則Nc=N1+N2-N。那么此時(shí)一定存在矩陣S滿足：

Q=SQc

(18)

(19)

式中：Qc、I分別為接觸熱流密度Nc維向量、Nc×Nc單位矩陣；矩陣S為N×Nc矩陣。

根據(jù)熱流計(jì)算公式：

q=μvp

(20)

式中：p為壓力；v是相對滑動(dòng)速度；μ為摩擦因數(shù)。

將式(20)寫成矩陣代入方程(18)中可得：

Q=SQc=μvSHT

(21)

代入方程(13)中可得：

(K+G+bL+μvSH)T=0

(22)

構(gòu)造矩陣U，使得：

UT=bT

(23)

則矩陣U的特征值，就是擾動(dòng)增長系數(shù)b。從式(22)中可以看到，擾動(dòng)增長與摩擦因數(shù)和滑動(dòng)速度相關(guān)。當(dāng)擾動(dòng)增長系數(shù)恰好為0時(shí)，對應(yīng)的摩擦副的相對滑動(dòng)速度v即為熱彈不穩(wěn)定的臨界速度。根據(jù)制動(dòng)器摩擦副熱固耦合有限元仿真計(jì)算結(jié)果，導(dǎo)出接觸表面的溫度矩陣T和壓力矩陣pc，所以過渡矩陣可以寫成如下形式：

pc=HT

(24)

摩擦副部分的熱固耦合有限元計(jì)算結(jié)果如圖2所示，其中圖2(a)所示為一對摩擦副(對偶片和摩擦片各一組)相互貼合下的正應(yīng)力分布結(jié)果；圖2(b)所示為溫度場分布；圖2(c)所示為應(yīng)力場分布。仿真工況如表1所示。

圖2 摩擦副熱固耦合有限元分析結(jié)果

表1 仿真工況

根據(jù)圖3所示的有限元的計(jì)算結(jié)果，輸出二維接觸表面的溫度和壓力矩陣。文中構(gòu)造了一個(gè)接觸表面15×15的過渡矩陣，如表2所示。按照矢量關(guān)系提取摩擦副的壓力與溫度云圖中的數(shù)據(jù)，得到每一條路徑上的值，其結(jié)果如圖4所示。

圖3 不同階段摩擦副表面應(yīng)力與溫度

圖4 摩擦副表面接觸壓力提取

提取表面節(jié)點(diǎn)沿自定義向量方向的取值，然后根據(jù)節(jié)點(diǎn)的取值結(jié)果，計(jì)算過渡矩陣。根據(jù)溫度場分布結(jié)果計(jì)算出來的過渡矩陣如表2所示。

表2 過渡矩陣(×105)

將過渡矩陣代入式(22)中計(jì)算獲取臨界速度的值，其計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 臨界速度典型曲線

臨界速度先減小，后增大。在臨界速度產(chǎn)生極小值之后，隨著擾動(dòng)頻率的增加，臨界速度是增大的，當(dāng)擾動(dòng)減小時(shí)系統(tǒng)的臨界速度也會(huì)增大。當(dāng)沒有擾動(dòng)時(shí)，理論上就不會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)失穩(wěn)，那么臨界速度理論上是無限大。也就是說無論轉(zhuǎn)速多大，都不會(huì)超過臨界速度，系統(tǒng)也就不會(huì)產(chǎn)生失穩(wěn)。但是這在實(shí)際當(dāng)中是不可能的，因?yàn)閿_動(dòng)必然存在。

針對典型工況，研究溫度造成熱應(yīng)力、壓力變化等對臨界速度的影響。由于系統(tǒng)的輸入就是由溫度-壓力計(jì)算獲得的過渡矩陣，所以溫度對于熱應(yīng)力的影響會(huì)通過壓力矩陣傳遞到過渡矩陣H上。根據(jù)摩擦元件的常用工作狀態(tài)，文中制定了6種典型工況參數(shù)(如表3所示)。這6種典型工況涵蓋了制動(dòng)器工作過程的大部分的運(yùn)作狀態(tài)。

表3 6種典型工況的參數(shù)

根據(jù)熱固耦合的有限元計(jì)算結(jié)果，結(jié)合6種工況獲得了不同工況下的臨界速度曲線，如圖6所示。可以看到，并不是熱流密度越高的工況造成系統(tǒng)失穩(wěn)的可能越大。在散熱條件一定的情況下，熱流密度越大會(huì)造成制動(dòng)器熱功率越大，那么在制動(dòng)器使用過程中產(chǎn)生的溫度一般也越高。從圖中可以看到工況1和工況5的最小臨界速度較大，但是工況1的溫度最高，工況5的溫度最低(如圖7所示)，這說明臨界速度跟摩擦片整體的溫度高低沒有必然關(guān)系。6種工況中，工況6更容易產(chǎn)生系統(tǒng)失穩(wěn)，這是因?yàn)楣r6的制動(dòng)時(shí)間更短，熱量的集中釋放比較明顯，造成了較為明顯的局部溫差。

圖6 不同工況下臨界速度變化

圖7顯示了6種工況下摩擦副表面溫度分布曲線和局部溫度的差異。圖7(a)所示為6種工況的最高與最低溫度曲線，可見工況1的溫度最高，工況5和工況6的溫度較低。

圖7(b)所示為不同工況下的摩擦片溫度差，左側(cè)的縱坐標(biāo)代表絕對溫差，右側(cè)的縱坐標(biāo)代表相對溫差，相對溫差為絕對溫差與最高溫度的比值?？梢姽r6的絕對溫差和相對溫差都比較大，工況2和工況4相對溫差高于工況1和工況5，這與臨界速度結(jié)果一致。這進(jìn)一步說明了臨界速度跟摩擦片整體的溫度高低沒有必然關(guān)系，而是與局部溫差尤其是相對溫差相關(guān)。因此，引起失穩(wěn)的重要原因之一是局部溫差，因?yàn)榫植繙夭钤龃罅四Σ疗瑹釓椥宰冃?，所以系統(tǒng)也更加容易失穩(wěn)。

圖7 不同工況下摩擦片表面溫度分布曲線和表面溫差

3 結(jié)論

提出一種理論和仿真相結(jié)合的計(jì)算方法，可以將系統(tǒng)擾動(dòng)因素和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)因素相統(tǒng)一，計(jì)算結(jié)果可以直接用來指導(dǎo)摩擦片熱彈性失穩(wěn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。主要結(jié)論如下：

(1)擾動(dòng)頻率通過臨界轉(zhuǎn)速影響系統(tǒng)失穩(wěn)，造成系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界速度存在一個(gè)極小值點(diǎn)，在該點(diǎn)系統(tǒng)最容易產(chǎn)生失穩(wěn)，高頻擾動(dòng)和低頻擾動(dòng)對系統(tǒng)失穩(wěn)的影響較小。

(2)摩擦副局部熱應(yīng)力過大是造成系統(tǒng)失穩(wěn)的主要原因，摩擦副整體溫度的高低與系統(tǒng)失穩(wěn)之間不存在必然的聯(lián)系。

(3)摩擦片結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)失穩(wěn)也有明顯影響，對于文中所研究的摩擦片結(jié)構(gòu)，其在通常摩擦片的線速度范圍內(nèi)(一般不超過50 m/s)，容易引起系統(tǒng)失穩(wěn)的擾動(dòng)頻率區(qū)間為50～550 Hz?？梢酝ㄟ^改變設(shè)計(jì)工況，或者改變摩擦片結(jié)構(gòu)的方法進(jìn)行調(diào)整，以避免系統(tǒng)失穩(wěn)。