立體幾何“動(dòng)態(tài)”之折疊問題

■胥子伍

立體幾何中常求一些固定不變的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,若給靜態(tài)的立體幾何問題賦予“活力”,滲透了“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面元素,在點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)變化的幾何圖形中,探尋點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系或進(jìn)行有關(guān)角與距離的計(jì)算,立意會(huì)更新穎、更靈活,能很好地培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象能力。

一、折疊之軌跡問題

例1如圖1,在正四棱錐S-ABCD中,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總是保持PE//平面SBD。

圖1

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形最有可能是( )。

解：分別取CD,SC的中點(diǎn)M,N。

因?yàn)镋是BC的中點(diǎn),所以EM//BD,EN//SB。因?yàn)镋M,EN?平面SBD,BD,SB?平面SBD,所以EM//平面SBD,EN//平面SBD。

又因?yàn)镋M∩EN=E,EM,EN?平面EMN,所以平面EMN//平面SBD,所以當(dāng)P在線段MN上移動(dòng)時(shí),PE?平面EMN,此時(shí)能保持PE//平面SBD,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形符合選項(xiàng)A。應(yīng)選A。

點(diǎn)評(píng)

變量的變化引發(fā)空間位置關(guān)系的變化,將一些變化的線與角合理轉(zhuǎn)化,集中到一個(gè)平面內(nèi),則可將空間的“動(dòng)態(tài)”問題轉(zhuǎn)化為平面的“動(dòng)態(tài)”問題,再利用平面幾何知識(shí)加以解決。本題利用線面平行、面面平行,在動(dòng)態(tài)問題中提煉一些不變的“靜態(tài)”的量,建立“不變量”與“動(dòng)點(diǎn)”之間的關(guān)系,從而確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡。

二、折疊之范圍問題

例2在如圖2 所示的長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點(diǎn),F為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)?，F(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面AFD⊥平面ABCF,得到如圖3所示的四棱錐。在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB,垂足為K。設(shè)AK=t,則t的取值范圍是_____。

圖2

圖3

解：過點(diǎn)F作FM⊥AB,交AB于點(diǎn)M。設(shè)FC=x,0＜x＜1,則MF=BC=1,MB=FC=x。易知AK＜AD=1。因?yàn)锳B=2,所以點(diǎn)K一定在點(diǎn)M的左邊,則MK=2-t-x。在Rt △ADK中,DK2=1-t2,在Rt△FMK中,FK2=1+(2-t-x)2。

點(diǎn)評(píng)

“動(dòng)”與“靜”是相對(duì)的,在運(yùn)動(dòng)變化過程中,要善于尋找或構(gòu)造與之相關(guān)的一些不變因素,建立變量與不變量的有機(jī)統(tǒng)一體。本題是一個(gè)動(dòng)態(tài)的翻折問題,需要同學(xué)們發(fā)現(xiàn)其中不變的垂直關(guān)系,從而得出相關(guān)變量間的關(guān)系,最終轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題求解。

三、折疊之最值問題

例3設(shè)矩形ABCD(AB＞BC)的周長(zhǎng)為定值2a,把△ABC沿AC向△ADC折疊,AB折過去后交DC于點(diǎn)P,如圖4,則下列說法正確的是( )。

圖4

A.矩形ABCD的面積有最大值

B.△APD的周長(zhǎng)為定值

C.△APD的面積有最大值

D.線段PC有最大值

點(diǎn)評(píng)

一般地,位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面間的位置和數(shù)量關(guān)系不變,而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化;對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理,而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決。

感悟與提高

已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1(如圖5),∠BAD=60°,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O。將菱形ABCD沿對(duì)角線BD折成平面角為θ的二面角(如圖6),若θ∈[60 °,120°],則折后點(diǎn)O到直線AC距離的最值是( )。

圖5

圖6