非線性欠驅(qū)動(dòng)不穩(wěn)定系統(tǒng)的自耦PID控制方法

熊屹林, 曾喆昭, 王 偉

長(zhǎng)沙理工大學(xué), 長(zhǎng)沙 410076

0 引 言

非線性欠驅(qū)動(dòng)不穩(wěn)定系統(tǒng)廣泛存在于航空航天、地質(zhì)勘探、國(guó)防軍事等領(lǐng)域,一直是國(guó)內(nèi)外控制領(lǐng)域?qū)W者關(guān)注的重點(diǎn)[1-6].目前,非線性欠驅(qū)動(dòng)不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制方法主要有:比例-積分-微分(proportional-integration-differential,PID)控制方法[7-8]、線性二次型(linear-quadratic-regulator, LQR)最優(yōu)控制方法[9-12]、模糊控制方法[13-14]、滑模變結(jié)構(gòu)控制方法[15-17]、自抗擾控制方法[18-20]等.盡管現(xiàn)有這些控制方法都獲得了有效的控制效果,然而卻存在各自的局限性:如PID控制方法盡管結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,卻存在增益魯棒性差與抗擾動(dòng)魯棒性差的問(wèn)題,對(duì)非線性時(shí)變系統(tǒng)控制而言,其控制效果較差;LQR最優(yōu)控制方法不僅依賴于精確的被控系統(tǒng)模型,而且計(jì)算量大,不便于實(shí)際應(yīng)用;模糊控制方法盡管不依賴于被控對(duì)象模型,然而對(duì)積分環(huán)節(jié)無(wú)法建立模糊規(guī)則,穩(wěn)態(tài)控制精度不高;滑模變結(jié)構(gòu)控制方法盡管不依賴于被控對(duì)象模型,控制器的增益魯棒性與抗擾動(dòng)魯棒性都較好,然而卻存在固有的高頻抖振現(xiàn)象,不利于執(zhí)行機(jī)構(gòu),而且控制精度不高;為了抑制滑?？刂频母哳l抖振現(xiàn)象,則需要增加冪次趨近律或雙冪次趨近律,因而增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性;自抗擾控制方法盡管不依賴于被控對(duì)象模型,控制器的增益魯棒性與抗擾動(dòng)魯棒性都較好,然而涉及的控制器參數(shù)較多、控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量大、難以分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

為了解決現(xiàn)有控制方法存在的各種局限性問(wèn)題,本文擬使用ACPID控制理論方法[21-22].曾喆昭教授認(rèn)為:PID的比例、積分、微分3個(gè)不同環(huán)節(jié)都與誤差有關(guān),三者之間一定存在內(nèi)在的必然關(guān)系,而不是相互獨(dú)立的關(guān)系,因而提出了以速度因子為核心聯(lián)系因子的ACPID控制理論方法[21],科學(xué)建立了基于速度因子的PID增益鎮(zhèn)定規(guī)則(量綱換算規(guī)則),解決了傳統(tǒng)PID增益魯棒性差與抗擾動(dòng)魯棒性差的問(wèn)題.然而,文獻(xiàn)[21]只是定性質(zhì)疑PID存在理論問(wèn)題,沒(méi)有科學(xué)解釋引起PID存在增益魯棒性差與抗擾動(dòng)魯棒性差的理論根源.為此,曾喆昭教授在文獻(xiàn)[22]中根據(jù)PID控制系統(tǒng)的物理屬性分析,發(fā)現(xiàn)了傳統(tǒng)PID因無(wú)量綱的比例增益形成的控制力只具有廣義位移的量綱屬性,而任意一階線性或非線性系統(tǒng)的控制輸入則要求廣義速度的量綱屬性;任意二階線性或非線性系統(tǒng)的控制輸入則要求廣義加速度的量綱屬性,以此類推,因而傳統(tǒng)PID形成的控制力與任意一階或二階被控系統(tǒng)的控制輸入之間的同一物理量卻存在量綱沖突的矛盾,而且還發(fā)現(xiàn)了無(wú)量綱的比例增益引起PID比例、積分、微分等3個(gè)不同環(huán)節(jié)形成的控制力在控制過(guò)程中存在相互獨(dú)立的不協(xié)調(diào)控制的矛盾.作者認(rèn)為曾喆昭教授在文獻(xiàn)[22]中科學(xué)發(fā)現(xiàn)并解釋了無(wú)量綱比例增益是引起PID存在增益魯棒性差與抗擾動(dòng)魯棒性差的理論根源,創(chuàng)造了ACPID控制理論[21],提出了遵循量綱匹配規(guī)則的控制理論方法.與現(xiàn)有控制方法相比,ACPID控制理論方法的主要優(yōu)勢(shì)如下:

1) ACPID控制器不僅保留了PID控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)勢(shì),而且只根據(jù)一個(gè)速度因子的鎮(zhèn)定數(shù)值即可形成比例-積分-微分等3個(gè)增益的鎮(zhèn)定規(guī)則,簡(jiǎn)單實(shí)用.

2) 由過(guò)渡過(guò)程時(shí)間tr來(lái)鎮(zhèn)定速度因子,簡(jiǎn)單實(shí)用[22]:①ACPID的速度因子鎮(zhèn)定規(guī)則:zc=10α/tr,1<α<10;②ACPD (auto-coupling proportional-differential)與ACPI (auto-coupling proportional-integration)的速度因子鎮(zhèn)定規(guī)則:zc=20α/tr,1<α≤10.

3) ACPID包括ACPD與ACPI控制系統(tǒng)具有良好的魯棒穩(wěn)定性和良好的抗擾動(dòng)魯棒性.

4) ACPID控制理論通過(guò)總擾動(dòng)定義, 可以將任意復(fù)雜的非線性系統(tǒng)等價(jià)映射為線性擾動(dòng)系統(tǒng), 因而淡化了線性與非線性系統(tǒng)分類的概念.

1 問(wèn)題背景

為了便于理論聯(lián)系實(shí)際,本文以兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)為例,對(duì)非線性欠驅(qū)動(dòng)不穩(wěn)定系統(tǒng)進(jìn)行理論分析與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì).兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)模型如圖1所示.

該系統(tǒng)由機(jī)器人車身本體(包括連接軸、擺桿、負(fù)載和直流電機(jī))和左右車輪3個(gè)部分組成,在2個(gè)獨(dú)立電機(jī)的驅(qū)動(dòng)作用下,左右2個(gè)車輪形成獨(dú)立扭矩,由此構(gòu)成了一種可以控制平衡、行走、轉(zhuǎn)向的兩輪式倒立擺系統(tǒng).此外,機(jī)器人的行走運(yùn)動(dòng)與轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)間的干擾非常小,其側(cè)視圖與俯視圖如圖2所示.

1.1 兩輪自平衡機(jī)器人數(shù)學(xué)模型

機(jī)器人行走運(yùn)動(dòng)與轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型如下[6-12]:

1)行走運(yùn)動(dòng)模型

(1)

其中,x=Rθ,T=(TL+TR)/2,m11=(m+M)R+Jw/R,m12=MlR,m22=MlR2+Jb,Gb=Mgl.

2)轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)模型

(2)

其中,Tδ=TR-TL為機(jī)器人轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)時(shí)的等效力矩.

1.2 模型映射

將式(1)和式(2)結(jié)合在一起,則可表示為

(3)

由式(3)可知,兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)有3個(gè)自由度x、α與δ,而只有2個(gè)控制輸入T與Tδ,因而是一個(gè)典型的非線性欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),而且是一個(gè)強(qiáng)耦合時(shí)變系統(tǒng).針對(duì)該復(fù)雜系統(tǒng)的控制問(wèn)題,現(xiàn)有控制方法遇到的主要問(wèn)題如下:

1) 傳統(tǒng)PID因其增益魯棒性差與抗擾動(dòng)魯棒性差的因素難以獨(dú)立實(shí)現(xiàn)有效控制.

2) LQR最優(yōu)控制方法需要對(duì)非線性系統(tǒng)(3)做線性化處理,并根據(jù)線性系統(tǒng)來(lái)尋找一個(gè)最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器來(lái)達(dá)到控制目的.然而,該方法涉及16個(gè)參數(shù)的鎮(zhèn)定,控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量很大.

3) 自抗擾控制具有良好的魯棒穩(wěn)定性和抗擾動(dòng)魯棒性,然而該方法涉及參數(shù)過(guò)多、控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量很大.

4) 滑?？刂凭哂辛己玫聂敯舴€(wěn)定性和抗擾動(dòng)魯棒性,然而,該方法存在固有的高頻抖振現(xiàn)象,不利于執(zhí)行機(jī)構(gòu).為了抑制高頻抖振,則要求引入單冪次或多冪次趨近律,使得控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量大.

(4)

2 ACPD控制系統(tǒng)

ACPID的主要特點(diǎn)在于通過(guò)速度因子zc將比例、積分、微分3個(gè)不同屬性物理環(huán)節(jié)自行耦合在一起, 進(jìn)而形成一個(gè)功能各異、目標(biāo)一致的協(xié)同控制力[21-22].在忽略積分環(huán)節(jié)的情況下,本文擬使用ACPD控制方法進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì).

2.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

兩輪自平衡機(jī)器人控制系統(tǒng)由行走控制和轉(zhuǎn)向控制組成,如圖3所示.

圖3 ACPD控制結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 ACPD control structure diagram

2.2 行走控制系統(tǒng)

(1)位移環(huán)過(guò)阻尼ACPDx控制器設(shè)計(jì)

(5)

考慮到兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)是一個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定的系統(tǒng),因而在ACPD控制理論[21-22]的基礎(chǔ)上,對(duì)微分控制力使用過(guò)阻尼的方法來(lái)抑制超調(diào)與振蕩現(xiàn)象,即本文設(shè)計(jì)的過(guò)阻尼虛擬控制器ACPDx為

(6)

(2)傾角環(huán)ACPDα控制器設(shè)計(jì)

(7)

為使受控誤差系統(tǒng)(7)的傾角跟蹤誤差e21趨近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)零點(diǎn),在忽略積分環(huán)節(jié)的情況下,根據(jù)ACPID控制理論[21-22],本文設(shè)計(jì)的傾角環(huán)ACPDα控制器為

(8)

其中,0

2.3 轉(zhuǎn)向控制系統(tǒng)

(9)

為使轉(zhuǎn)向控制系統(tǒng)(9)的跟蹤誤差e31趨近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)零點(diǎn),在忽略積分環(huán)節(jié)的情況下,根據(jù)ACPID控制理論[21-22],本文設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)向環(huán)ACPDδ控制器為

(10)

其中,0

2.4 控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析

為了節(jié)省篇幅,以上定理的證明請(qǐng)參照文獻(xiàn)[21-22],本文不贅述.

2.5 速度因子鎮(zhèn)定

考慮到兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)是一個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定的系統(tǒng),在文獻(xiàn)[22]的基礎(chǔ)上,本文定義的最小速度因子則為

(11)

其中,1

3 仿真分析

為了便于比較,取機(jī)器人模型參數(shù)和初始狀態(tài)與文獻(xiàn)[12]相同,模型參數(shù):M=0.6 kg,m=0.03 kg,R=0.04 m,D=0.14 m,l=0.072 m,g=9.81 m/s2,JW=2.4×10-5kg·m2,Jb=7.5×10-5kg·m2,Jδ=1.1×10-3kg·m2;初始狀態(tài):x(0)=0,α(0)=π/18,δ(0)=0.

下列仿真實(shí)驗(yàn)中,采樣頻率為4000 Hz,仿真時(shí)間為70 s.

仿真實(shí)驗(yàn)1勻速直線運(yùn)動(dòng)

圖4 勻速直線運(yùn)動(dòng)控制結(jié)果Fig.4 Uniform linear motion control results

圖5 文獻(xiàn)[12]控制結(jié)果Fig.5 Control results in [12]

比較圖4與圖5的位置角跟蹤誤差可知, ACPD控制方法的最大絕對(duì)誤差小于12 rad,而文獻(xiàn)[12]的最大絕對(duì)誤差則小于30 rad,表明ACPD控制方法的跟蹤控制精度是文獻(xiàn)[12]的2.5倍.

此外,文獻(xiàn)[12]是基于精確模型的狀態(tài)全反饋控制方法,整個(gè)控制系統(tǒng)涉及多達(dá)16個(gè)控制器參數(shù),結(jié)構(gòu)復(fù)雜,計(jì)算量大;而本文的3個(gè)控制器只需要鎮(zhèn)定3個(gè)速度因子,且其中的2個(gè)速度因子完全相同:z1c=z3c,另一個(gè)速度因子則為z2c=(15～25)z1c,因而本文的ACPD控制方法實(shí)際上只需要鎮(zhèn)定一個(gè)速度因子即可,不僅結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,便于實(shí)際應(yīng)用,而且不依賴于被控對(duì)象的模型.

仿真實(shí)驗(yàn)2勻速圓周運(yùn)動(dòng)

設(shè)機(jī)器人做半徑為4 m,線速度為4 m/s的勻速圓周運(yùn)動(dòng),則位移期望值xd=4t,轉(zhuǎn)向角期望值δd=t.當(dāng)z1c=z3c=9,z2c=16z1c=144時(shí),本文使用ACPD控制方法的仿真結(jié)果如圖6所示,文獻(xiàn)[12]的結(jié)果如圖7所示.

由圖6～7可知,本文使用ACPD控制方法,位置角和轉(zhuǎn)向角的最大絕對(duì)跟蹤誤差分別小于8.6 rad和0.02 rad,而文獻(xiàn)[12]的則分別小于28 rad和0.28 rad,表明本文的ACPD控制方法獲得的跟蹤控制精度分別是文獻(xiàn)[12]的3倍和14倍,再次表明了本文ACPD控制方法在跟蹤控制精度方面具有明顯優(yōu)勢(shì).

圖6 勻速圓周運(yùn)動(dòng)控制結(jié)果Fig.6 Uniform circular motion control results

圖7 文獻(xiàn)[12]控制結(jié)果Fig.7 Control results in [12]

4 結(jié) 論

針對(duì)非線性欠驅(qū)動(dòng)不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制問(wèn)題,提出了一種基于ACPID控制理論的控制方法.該方法的主要特色是在外環(huán)引入一個(gè)虛擬控制力來(lái)形成內(nèi)環(huán)的虛擬指令,從而使欠驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)等價(jià)映射為虛擬全驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng),有效解決了欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制難題;使用了一種具有良好魯棒穩(wěn)定性和抗擾動(dòng)魯棒性的ACPD控制方法,并對(duì)速度因子模型做了改進(jìn);通過(guò)引入總擾動(dòng)概念,使非線性復(fù)雜系統(tǒng)等價(jià)映射為線性擾動(dòng)系統(tǒng),因而淡化了線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)分類的概念,高度統(tǒng)一了線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的控制理論思想.仿真結(jié)果表明了本文控制方法的有效性,與文獻(xiàn)[12]相比,本文的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、便于實(shí)際應(yīng)用,而且跟蹤控制精度更高,在非線性欠驅(qū)動(dòng)復(fù)雜系統(tǒng)控制領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用價(jià)值.