基于循環(huán)不變式的循環(huán)結(jié)構(gòu)教學(xué)研究

曹文平 谷瓊 寧彬

摘要：以梳理程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)課程教學(xué)存在的問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，圍繞循環(huán)結(jié)構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，分析了邏輯思維和計(jì)算思維能力培養(yǎng)的必要性。文章從計(jì)算思維、邏輯思維、信息與數(shù)據(jù)的關(guān)系等方面剖析了循環(huán)結(jié)構(gòu)教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)要點(diǎn)，設(shè)計(jì)了以循環(huán)不變式為基礎(chǔ)的循環(huán)結(jié)構(gòu)教學(xué)過(guò)程及其訓(xùn)練方法，經(jīng)實(shí)踐證明可有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和計(jì)算思維能力。

關(guān)鍵詞：循環(huán)不變式；循環(huán)結(jié)構(gòu)；計(jì)算思維；邏輯思維；程序設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2023）06-0121-02

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）

循環(huán)結(jié)構(gòu)是程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)課程教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。學(xué)生在該課程學(xué)習(xí)過(guò)程中不能獨(dú)立識(shí)別并解決基本循環(huán)問(wèn)題，這與我們的課程教學(xué)方法或策略存在一定的關(guān)系。常規(guī)教學(xué)方法側(cè)重于循環(huán)結(jié)構(gòu)流程的講解，忽略了程序設(shè)計(jì)中關(guān)于邏輯思維和計(jì)算思維的能力培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解存在偏差，不能從本質(zhì)上分析基本循環(huán)問(wèn)題，從而形成了課堂聽(tīng)懂、課后模糊不清的現(xiàn)象。針對(duì)這種教學(xué)現(xiàn)象很多研究提出了相關(guān)的解決方法，其中計(jì)算思維成為程序設(shè)計(jì)課程教學(xué)研究的熱點(diǎn)。參考文獻(xiàn)[1-2]提出了以計(jì)算思維為導(dǎo)向的案例式教學(xué)方法；參考文獻(xiàn)[3]探討了以應(yīng)用需求為導(dǎo)向的程序設(shè)計(jì)課程的教學(xué)改革方法和步驟；參考文獻(xiàn)[4]提出了線上線下一體化平臺(tái)的混合教學(xué)模式；參考文獻(xiàn)[5]提出了對(duì)比教學(xué)法在程序設(shè)計(jì)課程中的應(yīng)用實(shí)踐研究。本文基于循環(huán)不變式的思想，提出輕語(yǔ)法、重邏輯，并與計(jì)算思維相結(jié)合的教學(xué)過(guò)程，培養(yǎng)或訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維和計(jì)算思維能力。此外，輔助所設(shè)計(jì)的循環(huán)結(jié)構(gòu)編程方法，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)步驟完成循環(huán)結(jié)構(gòu)程序設(shè)計(jì)，同步自證循環(huán)結(jié)構(gòu)的正確性，幫助學(xué)生識(shí)別并改正錯(cuò)誤，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)程序設(shè)計(jì)的自信和興趣。

1 循環(huán)不變式

循環(huán)不變式是從數(shù)學(xué)衍生而來(lái)的計(jì)算思維方法，本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)思想。其核心部分是根據(jù)問(wèn)題描述構(gòu)造一系列的表達(dá)式或變量依賴關(guān)系，由這些表達(dá)式或依賴關(guān)系構(gòu)成動(dòng)態(tài)循環(huán)過(guò)程中的不可變約束，最后形成循環(huán)不變式的主體，這是問(wèn)題的抽象數(shù)學(xué)表示方式。在循環(huán)的過(guò)程中保持這些約束，就能保證循環(huán)的正確。下面給出相關(guān)的定義。

定義1 循環(huán)變量：在循環(huán)過(guò)程中其值發(fā)生變化的量。所有循環(huán)變量構(gòu)成循環(huán)變量集合，記為X={xi|xi為循環(huán)變量，i=1，2，... }。如果變量值在整個(gè)程序生命周期中保持不變，則將其視為常量。

定義2 運(yùn)行環(huán)境：循環(huán)運(yùn)行過(guò)程中循環(huán)變量的取值集合。

定義3 約束：循環(huán)變量之間的一個(gè)依賴關(guān)系稱為一個(gè)約束。表現(xiàn)形式可以是語(yǔ)義關(guān)系、表達(dá)式，是描述循環(huán)變量取值變化的依賴關(guān)系，記為a->b，其中a∈X且b∈X。如果a->b，則a值的改變會(huì)引起b值的改變。所有的約束構(gòu)成約束集合，記為S={ai->bi| ai->bi }。這是循環(huán)變量之間的依賴關(guān)系。

定義4 循環(huán)控制變量：決定循環(huán)是否終止的循環(huán)變量。循環(huán)執(zhí)行的過(guò)程即是循環(huán)控制變量從初始值到結(jié)束值的變化過(guò)程。

定義5 循環(huán)邊界：循環(huán)過(guò)程開(kāi)始執(zhí)行及結(jié)束執(zhí)行時(shí)對(duì)應(yīng)的循環(huán)控制變量的取值。

循環(huán)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

1）確定循環(huán)變量集合X：將循環(huán)過(guò)程中變化的所有變量全部納入該集合X，這是整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程的基礎(chǔ)；

2）確定約束集合S：根據(jù)邏輯關(guān)系確定循環(huán)變量之間的依賴關(guān)系，是設(shè)計(jì)循環(huán)體的關(guān)鍵；

3）確定循環(huán)邊界；

4）根據(jù)約束集合完成循環(huán)體的設(shè)計(jì)。

循環(huán)執(zhí)行結(jié)束后需要驗(yàn)證循環(huán)結(jié)果的正確性，這里設(shè)計(jì)了三個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)關(guān)于循環(huán)結(jié)果的驗(yàn)證目的。

1）初次進(jìn)入循環(huán)前，運(yùn)行環(huán)境正確；

2）每次進(jìn)入循環(huán)前，運(yùn)行環(huán)境正確；

3）循環(huán)結(jié)束時(shí)，得到需要的結(jié)果。

這里運(yùn)行環(huán)境正確是指在特定時(shí)刻，所有循環(huán)變量的取值均符合約束集合，即運(yùn)行環(huán)境符合約束集合S。驗(yàn)證的三個(gè)步驟對(duì)應(yīng)循環(huán)控制結(jié)構(gòu)的三個(gè)部分：初始化、循環(huán)體和循環(huán)控制條件。如果驗(yàn)證了這三個(gè)步驟的正確性，則可以確保循環(huán)控制結(jié)構(gòu)的正確性，如圖1所示。

2 教學(xué)方案重構(gòu)

基于循環(huán)不變式的教學(xué)方案是以計(jì)算思維和邏輯思維作為基礎(chǔ)，重構(gòu)傳統(tǒng)的以語(yǔ)法和案例為主的教學(xué)方式。教學(xué)方案的重構(gòu)圍繞這兩個(gè)思維方式，是以輕語(yǔ)法、重邏輯為出發(fā)點(diǎn)，提升學(xué)生的抽象思維能力為重點(diǎn)，設(shè)計(jì)正確的循環(huán)結(jié)構(gòu)為目的，采用講練同步進(jìn)行的教學(xué)方法，幫助學(xué)生從本質(zhì)上掌握循環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵和應(yīng)用。其重構(gòu)內(nèi)容包括信息的表示和邏輯思維的訓(xùn)練兩個(gè)方面。

2.1 信息表示的訓(xùn)練

信息是邏輯思維的前提和基礎(chǔ)。從人類的思維角度看，描述待解決的問(wèn)題屬于信息范疇，而計(jì)算機(jī)加工或處理的對(duì)象是數(shù)據(jù)。計(jì)算機(jī)輔助人類解決問(wèn)題的能力，依賴于從信息到數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化程度，即在計(jì)算思維范疇用數(shù)據(jù)代替信息。我們?cè)O(shè)計(jì)的教學(xué)方案從兩個(gè)方面訓(xùn)練或提升學(xué)生的計(jì)算思維能力。一方面，從信息到數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，體現(xiàn)為編程過(guò)程中的變量定義，包括變量的含義和具體值。例如變量a表示燈的顏色，整數(shù)1或字符x表示紅色均可。這需要根據(jù)數(shù)據(jù)所賦予的信息，結(jié)合算法確定變量的數(shù)據(jù)類型及其取值。另一方面，歸納表達(dá)式所表示的信息。假設(shè)變量a表示整數(shù)，那么表達(dá)式a%2==1表示的信息“a是奇數(shù)”。

2.2 邏輯思維的訓(xùn)練

根據(jù)信息的表示進(jìn)行正確的邏輯推理，這是訓(xùn)練邏輯思維能力的主要方法。例如計(jì)算a=b+c，變量a的取值隨著程序的執(zhí)行而變化，其正確性依賴于程序邏輯的正確性。程序的正確邏輯是：程序執(zhí)行前，變量a、b和c具有獨(dú)立的存儲(chǔ)空間，b和c存放待求和的兩個(gè)值，a待存放這兩個(gè)數(shù)的和；程序執(zhí)行結(jié)束后a的取值是兩個(gè)數(shù)的和，b和c的取值保持不變。由程序邏輯的正確性，可推理變量取值執(zhí)行前后的變化，經(jīng)對(duì)比或梳理可進(jìn)一步驗(yàn)證程序執(zhí)行結(jié)果的邏輯正確性。在程序設(shè)計(jì)教學(xué)中即可正向講解程序執(zhí)行過(guò)程中每一步的邏輯，也可通過(guò)邏輯推理反向推進(jìn)程序設(shè)計(jì)，達(dá)成訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力的目的。

這是基于循環(huán)不變式面向循環(huán)控制結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)。由于循環(huán)體是不變的，其執(zhí)行邏輯也不變，即每次循環(huán)執(zhí)行前各個(gè)變量的信息表示一致。其設(shè)計(jì)的關(guān)鍵點(diǎn)在于確定循環(huán)執(zhí)行前的循環(huán)變量集合及約束集合。

3 教學(xué)案例設(shè)計(jì)

3.1 冒泡法案例設(shè)計(jì)

冒泡法是對(duì)n個(gè)元素的整型數(shù)組升序排序的典型應(yīng)用（為方便描述，采用從后向前的冒泡方式）。

步驟1：根據(jù)算法確定循環(huán)體的基本操作。第i次循環(huán)將第i小的元素放在i位置，使得0到i的元素有序；

步驟2：確定循環(huán)變量集合。i表示元素位置（或循環(huán)次數(shù)）、整型數(shù)組；

步驟3：確定循環(huán)開(kāi)始前的約束集合。只有i和整型數(shù)組之間的約束關(guān)系，即從0到i的元素已是升序排列；

步驟4：確定循環(huán)邊界。i是循環(huán)控制變量，邊界為n-1，即算法結(jié)束時(shí)0到n-1升序排列；

步驟5：設(shè)計(jì)循環(huán)結(jié)構(gòu)。

1）初始化。第一次循環(huán)前，其約束為0到0的元素有序，即i=0；

2）循環(huán)體設(shè)計(jì)。每次執(zhí)行循環(huán)體前，0到i的元素有序排列。所以循環(huán)體通過(guò)冒泡算法確定i+1位置的元素，偽代碼如下：

i++；

n-1到i冒泡；

當(dāng)進(jìn)入下一次循環(huán)結(jié)束前，保證了約束的一致性，即0到i的元素有序；

3）循環(huán)條件的設(shè)計(jì)。循環(huán)結(jié)束時(shí)應(yīng)得到有序的元素序列，即0到n-1的元素有序。因此循環(huán)結(jié)束時(shí)i的值為n-1，條件即是i

i=0；

while（i

i++;

n-1到i冒泡；

}

3.2 約瑟夫環(huán)案例設(shè)計(jì)

約瑟夫環(huán)問(wèn)題：n個(gè)按序編號(hào)的小孩圍成一圈，從1到m報(bào)數(shù)，數(shù)到m的小孩出列，下一個(gè)小孩從1繼續(xù)開(kāi)始報(bào)數(shù)，以此類推，求小孩的出列順序。

步驟1：確定信息表示。結(jié)果用數(shù)組記錄出列順序，數(shù)組下標(biāo)對(duì)應(yīng)小孩編號(hào)，數(shù)組值為0表示沒(méi)有出列；

步驟2：確定循環(huán)體的基本操作為處理一個(gè)小孩的報(bào)數(shù)（不管該小孩是否出列）；

步驟3：確定循環(huán)變量集合。數(shù)組a用來(lái)記錄結(jié)果，i表示將要處理的小孩，j表示將要報(bào)的數(shù)，k表示將要出列的順序號(hào)（從1開(kāi)始）；

步驟4：確定循環(huán)前的依賴集合。如果a[i]的值不是0，則本次循環(huán)結(jié)束；如果j的值是m，則a[i]的值賦k；

步驟5：確定循環(huán)邊界。循環(huán)結(jié)束時(shí)將要出列的順序號(hào)應(yīng)該為n+1；

步驟6：設(shè)計(jì)循環(huán)體。

1）初始化。根據(jù)循環(huán)變量含義，首次循環(huán)之前數(shù)組元素的值應(yīng)為0，i=0，j=1，k=1；

2）循環(huán)體設(shè)計(jì)。每次循環(huán)前的循環(huán)變量的含義及約束不變，因此在循環(huán)體內(nèi)改變各個(gè)循環(huán)變量邏輯的偽代碼如下：

If（a[i]==0）{ //小孩沒(méi)出列

If（j==m）{ //報(bào)數(shù)為m

a[i]=k; //小孩出列

k++;j=1;? //修改k，j的值，為下次循環(huán)做準(zhǔn)備

} }

i++; if（i==n-1）i=0;? //準(zhǔn)備處理下一個(gè)小孩

3）循環(huán)條件設(shè)計(jì)。循環(huán)結(jié)束時(shí)所有小孩都出列了，此時(shí)k等于n+1，即while（k<=n）。

需要強(qiáng)調(diào)的是，由于變量的含義是隨著其值的變化而變化，所以約束集合應(yīng)該在進(jìn)入循環(huán)之前確定。對(duì)照步驟5，即可驗(yàn)證循環(huán)結(jié)構(gòu)的正確性。實(shí)際設(shè)計(jì)中的信息表示存在多種方式，如i可以表示為0到i-1的元素有序，這需要根據(jù)具體的信息進(jìn)行邏輯推理而定，也是提升學(xué)生計(jì)算思維和邏輯思維能力的一種途徑。

4 實(shí)踐效果及結(jié)論

近三年的教學(xué)實(shí)踐表明，基于循環(huán)不變式的教學(xué)方法對(duì)學(xué)生理解循環(huán)程序設(shè)計(jì)的本質(zhì)，提高循環(huán)程序設(shè)計(jì)能力乃至程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的課程成績(jī)均有比較好的效果。學(xué)生對(duì)循環(huán)控制結(jié)構(gòu)的正確理解和應(yīng)用已不成問(wèn)題，程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)課程的平均成績(jī)由70分以下提高到80分以上，不及格人數(shù)大幅減少，明顯地提升了學(xué)生學(xué)習(xí)程序設(shè)計(jì)的自信力和興趣。由此可見(jiàn)，循環(huán)不變式的教學(xué)方法重構(gòu)了傳統(tǒng)的重語(yǔ)法輕邏輯的教學(xué)方式，從程序的內(nèi)在邏輯入手，融合學(xué)生計(jì)算思維和邏輯思維能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，實(shí)際教學(xué)效果明顯，具有推廣和應(yīng)用前景。

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【通聯(lián)編輯：王力】