基于對數(shù)—雙曲正切函數(shù)的自適應(yīng)濾波算法及異常點(diǎn)識別

凌俊，黃卓群，李陶勝，王淑芳，夏燕玲

（1.安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽安慶，246003；2.安徽電信規(guī)劃設(shè)計(jì)有限責(zé)任公司，安徽合肥，230031）

0 引言

輪式移動(dòng)機(jī)器人通常采用磁條導(dǎo)航來預(yù)設(shè)行駛路線，將磁條粘貼在地面上，機(jī)器人循跡磁條來進(jìn)行移動(dòng)。在行駛過程中，由于實(shí)際環(huán)境較為復(fù)雜，例如磁條兩側(cè)會有各種不同的磁性物質(zhì)而導(dǎo)致的磁條磁場發(fā)生變化使得傳感器獲取到包含異常點(diǎn)的信號，從而降低了機(jī)器人的行駛平穩(wěn)性，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)鹈撥壃F(xiàn)象。目前基于最小均方誤差LMS 算法的自適應(yīng)濾波器被廣泛的應(yīng)用于系統(tǒng)辨識或系統(tǒng)建模、信號處理等多個(gè)領(lǐng)域，但在具體的應(yīng)用中，始終存在收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差兩者之間的矛盾，為了解決這一矛盾，多種改進(jìn)的LMS 變步長算法被提出[1～7]，包括基于Sigmoid 函數(shù)變步長最小均方算法、歸一化的最小均方算法(NLMS)等，主要可以歸結(jié)為用誤差來控制濾波器迭代步長和利用梯度向量來控制步長。文獻(xiàn)[8]提出了一類基于Sigmoid 函數(shù)的魯棒自適應(yīng)濾波算法，該算法優(yōu)于相應(yīng)階數(shù)的廣義最大熵準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)了Prob-LMS 算法的均值偏差和均方偏差，給出了算法的蒙特卡洛仿真，表明算法的優(yōu)勢。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于審查回歸的可變步長LMS，該算法的收斂速度相對于D-LMS 有所提升。文獻(xiàn)[11]提出了一種可變步進(jìn)大小仿射投影符號算法(APSA)，其魯棒性可抑制脈沖噪聲。文獻(xiàn)[12]提出了一種魯棒的可變步長NLMS 算法，優(yōu)化了后驗(yàn)誤差的平方。另外，在文獻(xiàn)[13～17]中，研究了各種不同算法對自適應(yīng)濾波的影響。表1 給出了幾種常見變步長權(quán)值更新的表達(dá)式。本文提出了一類基于對數(shù)-雙曲正切代價(jià)函數(shù)的魯棒自適應(yīng)濾波算法，其權(quán)重更新是基于梯度最速下降法， 在所提出的代價(jià)函數(shù)框架的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)濾波器更快的收斂速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差[18～20]。本文的工作主要包括：提出了一類基于對數(shù)-雙曲線正切代價(jià)的魯棒自適應(yīng)濾波算法，驗(yàn)證該算法的穩(wěn)定性，以及用仿真結(jié)果表明該算法的性能。

表1 常見變步長權(quán)值更新

1 代價(jià)函數(shù)設(shè)計(jì)

自適應(yīng)濾波器的期望輸出定義如下：

定義估計(jì)誤差ke為：

其中 1kw-是optw在第 1k- 次迭代時(shí)的估計(jì)值。我們利用雙曲正切函數(shù) tanh(x)和一個(gè)正常數(shù)α( 0 ＜α＜ 1)來定義所提出的代價(jià)函數(shù)，我們根據(jù)對數(shù)—雙曲正切函數(shù)，將新的代價(jià)函數(shù)JT(k)定義為：

其中，J(ek)是具有高階統(tǒng)計(jì)量的不同自適應(yīng)濾波的常規(guī)代價(jià)函數(shù)。(4)中定義的tanh 代價(jià)函數(shù)框架關(guān)于權(quán)重向量wk-1的導(dǎo)數(shù)為：

其中， ?wk-1J(ek)是常規(guī)代價(jià)函數(shù)的梯度。當(dāng)參數(shù)α選擇不同數(shù)值時(shí)，對數(shù)—雙曲正切代價(jià)函數(shù)JT(k)與誤差信號ek之間的關(guān)系如圖1 所示，梯度函數(shù) ?wk-1J(ek)和誤差信號ek的關(guān)系如圖2 所示。

圖1 α 不同時(shí)代價(jià)函數(shù)和誤差信號關(guān)系

圖2 α 不同時(shí)梯度函數(shù)和誤差信號關(guān)系

另外，代價(jià)函數(shù)JT(k)有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1：代價(jià)函數(shù)JT(k)在ek∈( -∞,+∞ )上是凹函數(shù)

2 對數(shù)—雙曲正切最速下降算法

本文提出的魯棒自適應(yīng)濾波算法的權(quán)重向量的更新方程可以表示為：

其中，μ是濾波器的步長，0 1μ＜ ＜ ，將式(5)帶入(6)可得：

根據(jù)不同的常規(guī)代價(jià)函數(shù)，我們可以基于提出的代價(jià)函數(shù)框架得出不同的魯棒自適應(yīng)濾波算法。

權(quán)重更新公式可以統(tǒng)一表示為：

其中，f(ek)是非線性誤差函數(shù)。fcon(ek)是相應(yīng)的常規(guī)誤差非線性函數(shù)。使用不同的代價(jià)函數(shù)J(ek)，我們可以得到不同的誤差更新方法和自適應(yīng)濾波器，其中包括對數(shù)-雙曲正切最小均方(LHTLMS)算法，對數(shù)-雙曲正切絕對(LHTA)算法，對數(shù)-雙曲正切均值第四(LHTF)算法。將這幾種算法進(jìn)行對比，對比結(jié)果如表2 所示。

表2 比較基于LHT成本的自適應(yīng)濾波器

3 性能分析

為了驗(yàn)證算法的效果，并使后文的分析易于處理，我們先給出以下五個(gè)假設(shè)：

(1)測量噪聲kv是零均值獨(dú)立且均等分布高斯隨機(jī)序列，并且與輸入信號kX無關(guān)。

(2)先驗(yàn)誤差ea,k為零均值，并且獨(dú)立于測量噪聲vk。

(3)自適應(yīng)濾波器足夠長，使得對于任何常數(shù)矩陣∑以及對于所有k、都為高斯聯(lián)合，而f2(ek)不相關(guān)。

(4)輸入信號{Xk}為零均值，即具有自相關(guān)矩陣

3.1 穩(wěn)定性分析

我們定義權(quán)重向量誤差，先驗(yàn)誤差、加權(quán)先驗(yàn)誤差分別為：

其中∑表示對稱正定權(quán)矩陣。 因此，系統(tǒng)輸出誤差與先驗(yàn)誤差之間的關(guān)系為：

根據(jù)上式(15)能夠得到需要估計(jì)的穩(wěn)態(tài)超額均方誤差（EMSE）。對(15)式取極限k→∞，再帶入其中可求得EMSE，為了便于表達(dá),我們將得到的穩(wěn)態(tài)EMSE 通過ξ表示為：

其中ξT表示所提出算法的穩(wěn)態(tài)EMSE，而ξcon表示相應(yīng)常規(guī)算法的穩(wěn)態(tài)EMSE。因?yàn)槲覀冎?- 1 ＜ tanh (αek2)＜ 1，所以能夠得到：

接下來，我們研究穩(wěn)態(tài)均方差（MSD）。首先，將MSD 定義為：

選擇 ∑ =R-1，再運(yùn)用假設(shè)(4)，MSD 可以表示為：

其中L 是濾波器長度，Tr(R)是矩陣R 的跡，當(dāng)MSD滿足上述條件時(shí)，濾波器能夠達(dá)到穩(wěn)定。

3.2 均方穩(wěn)定性

將濾波器的形式表示為：

其中：λ是與使用估計(jì)隨機(jī)量的相關(guān)的克拉美-羅下界。將常數(shù)矩陣∑設(shè)置為I,最終可以得到：

當(dāng)濾波器的步長滿足上述條件時(shí)，濾波器能夠達(dá)到均方穩(wěn)定。

4 算法驗(yàn)證

在本文的設(shè)計(jì)中，我們選取的輪式搬運(yùn)機(jī)器人的簡易模型如圖3 所示。

圖3 整車樣機(jī)圖

在本節(jié)中，我們通過仿真來驗(yàn)證LHTLMS 算法，學(xué)習(xí)曲線與迭代次數(shù)之間的關(guān)系如圖4 所示。根據(jù)仿真結(jié)果可以看出，在選取 =1α?xí)r，曲線的效果較好，且迅速下降并趨于穩(wěn)定。

圖4 LHTLMS 算法在α=1 時(shí)的學(xué)習(xí)曲線

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果仿真圖，可以看出，對于LHTLMS 算法，當(dāng) =1α?xí)r，算法的收斂速度要比 =0.1α?xí)r更快，在達(dá)到收斂后的曲線平穩(wěn)性更好，并且權(quán)值w更新在達(dá)到一個(gè)相對穩(wěn)定的狀態(tài)后的效果是要優(yōu)于 =0.1α?xí)r的效果的，在 =0.1α?xí)r，權(quán)值迭代后的曲線并不是很穩(wěn)定，產(chǎn)生的波動(dòng)較大。在相同的環(huán)境下，對LHTA 和LHTF 算法仿真后，根據(jù)仿真結(jié)果，可以得出，在改進(jìn)的這一類算法中，對數(shù)-雙曲正切均值第四算法（LHTF）的收斂速度和穩(wěn)定性都要優(yōu)于另外兩個(gè)算法，在進(jìn)行少數(shù)迭代之后，學(xué)習(xí)曲線就能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，不產(chǎn)生任何波動(dòng)，并且權(quán)值更新的穩(wěn)定性也更好，曲線更加平穩(wěn)，接近于直線。因此在對磁導(dǎo)航信號的濾波過程中，LHT類算法能夠起到較好的濾波效果，在這類算法中，LHTF 算法能的較于另外兩種算法更好。

圖5 LHTLMS 算法在α=1 時(shí)權(quán)值更新

將所提出的算法與具有相同迭代次數(shù)的LMS算法比較，可以看出，在相同的迭代次數(shù)下，與傳統(tǒng)的LMS 算法相比，新提出的算法具有更好的收斂性和穩(wěn)定性，能在迭代次數(shù)很小時(shí)就達(dá)到較小的穩(wěn)定誤差和收斂條件。

5 總結(jié)

在本文中，根據(jù)仿真結(jié)果，與LHT 類算法對比,在相同的模擬含野點(diǎn)信號的混合信號的采集情況下，LHT 類算法的收斂速度是要優(yōu)于LMS 和signLMS 的速度，尤其是LHTF 算法的收斂速度，且在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之前，LHT 類算法的波動(dòng)是小于LMS 和signLMS 算法的。LMS 算法的權(quán)值w更新的速度和效果比LHTLMS 更快，但效果與LHTF算法在 =1α?xí)r相比時(shí)相差無幾，且優(yōu)于signLMS 算法。signLMS 算法的權(quán)值更新結(jié)果在達(dá)到穩(wěn)定后仍然會在一個(gè)小范圍內(nèi)波動(dòng)，當(dāng)α取0.1 和1 時(shí)，算法的權(quán)值更新結(jié)果基本相同，但 =1α?xí)r的收斂速度是快于 =0.1α的，這個(gè)結(jié)果與LMS 算法的結(jié)果是相似的。另外，我們對提出的算法進(jìn)行了均方誤差分析，求解出均方穩(wěn)定性的條件。同時(shí)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性。仿真結(jié)果表明，新提出的一類算法的穩(wěn)態(tài)誤差保持在一個(gè)較小的區(qū)間，比LMS 算法等具有更好的穩(wěn)定性和更快的收斂速度。

圖6 LHTLMS 算法在α=0.1 時(shí)的學(xué)習(xí)曲線

圖7 LMS 算法在α=1 時(shí)的學(xué)習(xí)曲線