基于對稱非線性函數(shù)的變步長LMS 自適應(yīng)濾波算法*

肖 瑋，劉思蔚，2，唐宇龍，李 明

（1.陸軍勤務(wù)學(xué)院，重慶 401311；2.解放軍63798 部隊，四川 西昌 615000）

0 引言

自適應(yīng)最小均方誤差（least mean squares，LMS）濾波算法是1960 年由Widrow 和Hoff 首次提出的。其原理是基于最速下降法，沿權(quán)值梯度估計值的負(fù)方向進(jìn)行搜索，直到達(dá)到權(quán)值最優(yōu)為止。算法原理簡單、魯棒性好、計算量小、易于實現(xiàn)，廣泛應(yīng)用于導(dǎo)彈引信、雷達(dá)、聲納、通信、導(dǎo)航和工業(yè)控制領(lǐng)域的信號處理中［1-5］。步長因子是影響LMS 自適應(yīng)濾波算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的一個重要因素［5-7］。步長因子較大時，算法雖然收斂速度快，但穩(wěn)態(tài)誤差亦較大；反之，穩(wěn)態(tài)誤差雖小，但收斂速度也較慢。上述矛盾一直制約著LMS 自適應(yīng)濾波算法的進(jìn)一步推廣應(yīng)用。為此，學(xué)術(shù)界開展了大量變步長LMS 自適應(yīng)濾波算法的研究［8-14］?；舅悸肥峭ㄟ^構(gòu)造步長因子與穩(wěn)態(tài)誤差的非線性關(guān)系，使收斂初始階段的步長因子較大，以便獲得更快的收斂速度；當(dāng)算法收斂后，則以較小的步長因子確保獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

Sigmoid 函數(shù)表達(dá)式如式（1）所示，是一個在值域（0，1）之間、形如S 曲線的非線性函數(shù)［15］。當(dāng)自變量x＞0 時，Sigmoid 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)先變大再變小，十分符合LMS 自適應(yīng)濾波算法對步長因子的動態(tài)變化要求。文獻(xiàn)［12］通過設(shè)計步長因子μ（k）是誤差e（k）的Sigmoid 函數(shù)（如式（2）所示），提出了基于Sigmoid 函數(shù)的變步長LMS（sigmoid variable step LMS，SVSLMS）自適應(yīng)濾波算法。仿真表明SVSLMS算法在計算量增加不多的前提下，能同時獲得較快的收斂和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。但當(dāng)誤差趨向于零處時，SVSLMS 算法存在步長因子波動過大、不穩(wěn)定的問題。文獻(xiàn)［12］提出變步長歸一化LMS（variable step normalized LMS，VSNLMS）算法，設(shè)計了式（3）所示的步長因子與誤差的函數(shù)關(guān)系，新函數(shù)比Sigmoid函數(shù)簡單，且在誤差接近零處具有緩慢變化的特性，從一定程度上克服了SVSLMS 算法的不足。但式（3）中參數(shù)α 和β 需通過實驗獲得。文獻(xiàn)［16］結(jié)合SVSLMS 算法收斂快和歸一化最小均方算法（normalized LMS，NLMS）［17］誤差低的特性，提出了一種改進(jìn)的變步長VSNLMS 算法，設(shè)計了如式（4）所示的步長因子與誤差的新關(guān)系。式（4）中相關(guān)參數(shù)同樣需要大量仿真實驗選取。

綜上所述，變步長LMS 自適應(yīng)濾波算法雖然從一定程度上解決了LMS 自適應(yīng)濾波算法穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度難以兼顧的問題，具有重要研究意義和應(yīng)用價值，但在構(gòu)造步長因子與誤差的非線性關(guān)系中仍存在上述諸多問題。為此，本文提出一種基于對稱非線性函數(shù)的變步長LMS 自適應(yīng)濾波算法。通過自變量取絕對值、疊加非線性拉伸量改進(jìn)Sigmoid函數(shù)，構(gòu)造一個對稱非線性函數(shù)用于表示步長因子與穩(wěn)態(tài)誤差的非線性關(guān)系。該對稱非線性函數(shù)具有能夠根據(jù)誤差動態(tài)調(diào)整步長、更快達(dá)到收斂狀態(tài)的特點。然后根據(jù)構(gòu)造的對稱非線性函數(shù)和輸入信號功率生成歸一化變步長因子，解決噪聲逐級放大的問題，進(jìn)一步提高算法的濾波效果。本文重點對構(gòu)造對稱非線性函數(shù)和生成歸一化變步長因子等關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了闡述，并通過大量對比仿真實驗驗證了算法的有效性。

1 算法思想

基于對稱非線性函數(shù)的變步長LMS 自適應(yīng)濾波算法的基本思想如下頁圖1 所示。

圖1 基于對稱非線性函數(shù)的變步長LMS 自適應(yīng)濾波算法Fig.1 Variable step size LMS adaptive filter algorithm based on symmetric non-linear function

1）輸入采樣信號x（k），0＜k＜N，N 表示采樣點數(shù)。

3）構(gòu)造期望信號d（k）［18］。首先對輸入信號x（k）采樣延遲m 點，得到采樣延遲信號x（m+k），m∈（0，N）。然后對x（m+k）求自相關(guān)得到rx（m）。最后將rx（m）作為濾波器的期望信號，完成d（k）的構(gòu)造。

式中，rsn（m）和rns（m）分別表示周期為T 的信號s（k）和隨機(jī)噪聲n（k）的互相關(guān)。由于n（k）為隨機(jī)噪聲，因此，n（k）與s（k）不相關(guān)，rsn（m）和rns（m）近似為零。rn（m）是隨機(jī)噪聲n（k）的自相關(guān)函數(shù)，當(dāng)m＞M 時，rn（m）衰減很快，近似為零。由自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)可知，rs（m）是以T 為周期的周期函數(shù)時，rx（m）也呈現(xiàn)以周期為T 的變化。

4）得到誤差信號。通過k 時刻的輸出信號y（k）與期望信號d（k）相減，得到k 時刻的誤差信號e（k）。

5）構(gòu)造對稱非線性函數(shù)（如式（8）所示）。對Sigmoid 函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，解決Sigmoid 函數(shù)在自變量趨于0 時，其函數(shù)值波動過大的問題。

2 關(guān)鍵技術(shù)

重點介紹算法中對稱非線性函數(shù)的構(gòu)造和歸一化變步長因子的生成等關(guān)鍵技術(shù)。

2.1 對稱非線性函數(shù)的構(gòu)造

為繼承Sigmoid 函數(shù)能根據(jù)誤差動態(tài)調(diào)整步長的優(yōu)點，解決其在誤差趨向于零時，步長因子波動過大、不穩(wěn)定的問題，本文基于Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)構(gòu)造一個對稱非線性函數(shù)用于表示步長因子與穩(wěn)態(tài)誤差的非線性關(guān)系。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（8）所示。具體步驟如下：

圖2 對稱非線性函數(shù)構(gòu)造示意圖Fig.2 Sketch map of strucure of symmetric non-linear function

2.2 歸一化變步長因子生成

度，避免濾波器收斂時步長發(fā)生較大變化。圖4 給出了β 分別取0.5、1、1.5、2，α=1 時，誤差和步長因子的仿真關(guān)系圖。由圖4 可知，當(dāng)誤差為2、β 為1.5和2 時，步長因子的取值最大，即此時濾波器收斂速度快，正朝著誤差減小的方向快速收斂；隨著誤差逐漸減小，步長因子變化由快到慢，特別是當(dāng)臨近收斂狀態(tài)時，步長因子逐步減小到零。因此，該參數(shù)條件下濾波器性能較好。當(dāng)誤差為2、β=1 時，較β為1.5 和2 的仿真結(jié)果，其整體變化趨勢相同，只是當(dāng)誤差較大時，步長因子變化略慢；當(dāng)誤差接近零時，步長因子變化略快。當(dāng)誤差值為2、β=0.5 時，步長因子近乎以固定速率變化，在誤差較大時，存在收斂速度慢的問題；但當(dāng)誤差臨近零時，又因收斂速度過快對穩(wěn)態(tài)誤差造成較大影響引起系統(tǒng)振蕩，因此，β=0.5 不可取。通過以上分析及圖3 可知，β 越大，模型性能越優(yōu)。但當(dāng)β 取值過大（大于3）時將導(dǎo)致計算量陡增，系統(tǒng)處理時間變長。且過大的β 將使步長因子在誤差較大時減小到一個較小值，導(dǎo)致系統(tǒng)的收斂速度變慢。當(dāng)β≥1 時，才能使系統(tǒng)在接近收斂時不會由于步長因子的變化造成穩(wěn)態(tài)失調(diào)。綜上，算法中β 的取值范圍為［1，3］。

圖3 步長因子與誤差的函數(shù)模型曲線圖（β=1，α=0.5、1、5、10）Fig.3 Function model curve of step factor and error（β=1，α=0.5、1、5、10）

圖4 步長因子與誤差的函數(shù)模型曲線圖（α=1，β=0.5、1、1.5、2）Fig.4 Function model curve of step factor and error（α=1，β=0.5、1、1.5、2）

3 實驗驗證

為驗證算法有效性，在MATLAB 環(huán)境中對本文算法、SVSLMS 算法和VSNLMS 算法從以下方面進(jìn)行了對比實驗：1）低信噪比；2）信噪比變化；3）信號頻率變化；4）濾波器階數(shù)變化；5）延遲采樣點數(shù)變化。實驗以目標(biāo)距離為7.000 m 的線性調(diào)頻連續(xù)波（linear frequency modulated continuous wave，LFMCW）雷達(dá)差拍信號為實驗對象，相關(guān)參數(shù)如表1 所示，對應(yīng)差拍信號頻率約為10.85 kHz。所加噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比設(shè)置為-10 dB，濾波器延遲50 個采樣點，階數(shù)為128。濾波后的信號采用快速傅立葉變換（fast fourier transformation，F(xiàn)FT）進(jìn)行頻率估計。共進(jìn)行了1 000 次Monte_Carlo 實驗。

表1 LFMCW 雷達(dá)參數(shù)設(shè)定表Table 1 LFMCW radar parameter setting table

3.1 低信噪比條件下

3.1.1 去噪性能

圖5 給出了本文算法、SVSLMS 算法和VSNLMS 算法在-10 dB 低信噪比條件下的去噪性能對比圖。由圖5 可知：較經(jīng)SVSLMS 算法和VSNLMS 算法濾波后的信號，經(jīng)本文算法濾波后的信號突出的毛刺更少，信號波形更貼合無噪聲信號波形，表明本文算法在實驗所示的低信噪比條件下去噪效果優(yōu)于其他兩種算法。

圖5 SNR=-10 dB 時濾波前后波形對比圖Fig.5 Front and back waveform comparision figure with SNR=-10 dB

3.1.2 收斂速度

圖6 給出了本文算法、SVSLMS 算法、VSNLMS算法以及固定步長LMS 算法在-10 dB 低信噪比條件下的收斂速度對比圖。由圖6 可知：本文算法的均方誤差較其余3 種算法能更快到達(dá)收斂狀態(tài)，且收斂狀態(tài)的均方誤差更小。表明本文算法去噪效果較其他3 種算法有所提高且穩(wěn)定性好。同時，4 種算法達(dá)到收斂狀態(tài)的迭代次數(shù)依次為［6、15、10、180］次，表明本文算法的收斂速度快于其他3 種算法。

圖6 均方誤差隨迭代次數(shù)變化圖Fig.6 Variation figure of mean square error with iteration times

3.1.3 步長因子變化條件下

圖7 給出了本文算法、SVSLMS 算法和VSNLMS 算法在-10 dB 低信噪比條件下步長因子的變化對比圖。由圖7 可知：在算法到達(dá)穩(wěn)態(tài)前，本文算法的步長因子更大，即具有更快的收斂速度。在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，較其余兩種算法，本文算法的步長因子波動幅度更小，能更快到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。

圖7 步長因子隨迭代次數(shù)變化圖Fig.7 Variation figure of step factor with iteration times

3.2 信噪比變化條件下

為比較本文算法、SVSLMS 算法、VSNLMS 算法以及固定步長LMS 算法在不同信噪比條件下的去噪性能，在信噪比依次設(shè)定為［-13、-11、-9、-7、-5、-3、-1、1、3、5、7］dB 的條件下進(jìn)行了11 組實驗。

由圖8 所示的實驗結(jié)果可知：經(jīng)上述4 種算法濾波后，信號頻率估計值的均方根誤差（root mean square error，RMSE）均隨著信噪比的增大而減小，但經(jīng)本文算法濾波的均小于其他3 種算法，且沒有出現(xiàn)較大波動，更貼近克拉美羅下限（cramer-rao lower bound，CRLB）。表明本文算法在實驗所示不同信噪比條件下均有較好的濾波效果，且性能穩(wěn)定。

圖8 信噪比變化條件下RMSE 變化曲線圖Fig.8 RMSE variation curve under the signal-to-noise ratio change condition

3.3 信號頻率變化條件下

為比較本文算法、SVSLMS 算法、VSNLMS 算法以及固定步長LMS 自適應(yīng)濾波算法在信號頻率變化條件下的去噪性能，通過改變目標(biāo)距離實現(xiàn)差拍信號頻率變化，在圖9 所示的信號頻率變化條件下進(jìn)行了11 組仿真實驗。由圖9 可知：經(jīng)本文算法濾波后，在信號不同頻率點的RMSE 維持在1.20 Hz左右，SVSLMS 算法、VSNLMS 算法和固定步長LMS自適應(yīng)濾波算法的RMSE 分別為2.80 Hz、1.70 Hz和3.90 Hz 左右。經(jīng)4 種算法濾波后，信號頻率估計值的RMSE 隨著信號頻率的增加略有增加，但經(jīng)本文算法濾波后信號頻率估計值的RMSE 明顯小于其他3 種算法，表明本文算法在不同頻率點均有較好的濾波效果，且性能穩(wěn)定。

圖9 信號頻率變化條件下RMSE 變化曲線圖Fig.9 RMSE variation curve under the signal frequency change condition

3.4 濾波器階數(shù)變化條件下

為比較本文算法、SVSLMS 算法、VSNLMS 算法以及固定步長LMS 自適應(yīng)濾波算法在濾波器階數(shù)變化條件下的去噪性能，在濾波器階數(shù)依次設(shè)定為［32、64、96、128、160、192、224、256、288］條件下進(jìn)行9 組實驗。由圖10 所示的實驗結(jié)果可知：經(jīng)4 種算法濾波后，信號頻率估計值的RMSE 均隨著濾波器階數(shù)的增加而減小，經(jīng)本文算法濾波后信號頻率估計值的RMSE 在上述濾波器階數(shù)條件下均小于其他3 種方法，且沒有出現(xiàn)較大的波動，濾波性能較穩(wěn)定。

圖10 濾波器階數(shù)變化條件下RMSE 變化曲線圖Fig.10 RMSE variation curve under the filter order change condition

3.5 延遲采樣點數(shù)變化條件下

為比較本文算法、SVSLMS 算法、VSNLMS 算法以及固定步長LMS 自適應(yīng)濾波算法在延遲采樣點數(shù)變化條件下的去噪性能，在濾波器延遲采樣點數(shù)依次設(shè)置為［30、40、50、60、70、80、90、100、110］的條件下進(jìn)行了9 組實驗。由圖11 所示的實驗結(jié)果可知，本文算法在不同延遲采樣點數(shù)的RMSE 基本維持在1.10 Hz 左右，SVSLMS 算法、VSNLMS 算法和固定步長LMS 自適應(yīng)濾波算法的均方根誤差RMSE 分別為2.80 Hz、1.80 Hz 和3.80 Hz 左右。經(jīng)4種算法濾波后，信號頻率估計值的RMSE 隨著延遲采樣點數(shù)的增加略有減小，但經(jīng)本文算法濾波后，信號頻率估計值的RMSE 明顯小于其他3 種算法，表明本文算法在各延遲采樣點數(shù)均有較好的濾波效果，且在不同延遲采樣點數(shù)性能穩(wěn)定。

圖11 延遲采樣點數(shù)變化條件下RMSE 變化曲線圖Fig.11 RMSE curve under the condition of the different delay sampling point

4 結(jié)論

針對LMS 自適應(yīng)濾波算法的收斂速度和濾波性能難以同時達(dá)到最佳的問題，本文設(shè)計了一種基于對稱非線性函數(shù)的變步長LMS 自適應(yīng)濾波算法。重點對對稱非線性函數(shù)的構(gòu)造和歸一化變步長因子的生成等關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了闡述。為繼承Sigmoid 函數(shù)能夠根據(jù)誤差動態(tài)調(diào)整步長的優(yōu)點，首先通過自變量取絕對值、疊加非線性拉伸量對Sigmoid 函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)造一個對稱非線性函數(shù)用于刻畫步長因子與穩(wěn)態(tài)誤差的非線性關(guān)系。構(gòu)造的對稱非線性函數(shù)具有能夠根據(jù)誤差動態(tài)調(diào)整步長、更快達(dá)到收斂狀態(tài)的特點。然后根據(jù)構(gòu)造的對稱非線性函數(shù)和輸入信號功率生成歸一化變步長因子，解決噪聲逐級放大的問題，進(jìn)一步提高算法的濾波效果同時，加速收斂。最后，將本文算法和幾種典型LMS 算法在MATLAB 中進(jìn)行了對比實驗。實驗結(jié)果表明：較幾種典型LMS 算法，本文算法在低信噪比條件下、信噪比變化條件下、信號頻率變化條件下、濾波器階數(shù)變化條件下、延遲采樣點數(shù)變化條件下，具有更好的濾波效果、更優(yōu)的穩(wěn)定性和更快的收斂速度。