基于構(gòu)造法的高中數(shù)學(xué)解題思路探索探述

呂成杰

(陜西省西安市西光中學(xué) 710043)

隨著新課程改革的不斷深入，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中需要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，需要發(fā)揮構(gòu)造法的靈活性以及試探性等優(yōu)勢，幫助學(xué)生構(gòu)建完善的數(shù)學(xué)知識體系，拓展學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生的解題效率和準(zhǔn)確性.在研究中，需要從構(gòu)造法的含義以及應(yīng)用意義出發(fā)，通過例題分析，初步掌握構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧.同時要總結(jié)高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的應(yīng)用策略，充分發(fā)揮構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的積極作用.

1 構(gòu)造法簡介

構(gòu)造法指的是學(xué)生轉(zhuǎn)變思考問題的角度以及方式，在解決問題時避開數(shù)學(xué)障礙從而解決相關(guān)問題的方法.在我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，構(gòu)造法具有重要的應(yīng)用價值，可以突破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題，提高學(xué)生的解題效率，保證解題準(zhǔn)確度.在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題解答過程中，一般是利用正向思維對問題進(jìn)行思考，而出題人會利用這種正向思維設(shè)置一些障礙.構(gòu)造法解題主要是對相關(guān)障礙進(jìn)行規(guī)避，但是在構(gòu)造法應(yīng)用過程中，學(xué)生需要具備基本的知識結(jié)構(gòu)和洞察力.因此，對構(gòu)造法的應(yīng)用也有一定要求.

目前，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對構(gòu)造法進(jìn)行應(yīng)用的主要意義表現(xiàn)為：通過構(gòu)造法的分析和引入，可以對高中數(shù)學(xué)問題進(jìn)行全面講解，利用已知代替未知的解題思路解決在正向思維中無法解決的數(shù)學(xué)難題，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.構(gòu)造法的有效應(yīng)用可以大大提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率，對保證學(xué)生的解題準(zhǔn)確度也有積極作用.

2 基于構(gòu)造法的高中數(shù)學(xué)解題實(shí)例分析

2.1 構(gòu)造函數(shù)例題分析

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，函數(shù)以及方程是具有較強(qiáng)聯(lián)系的，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)時的重點(diǎn)和難點(diǎn).利用構(gòu)造函數(shù)的方式對相關(guān)問題進(jìn)行解決，可以開發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.函數(shù)問題是將數(shù)學(xué)問題中的常量以及變量進(jìn)行聯(lián)系，所以可以通過構(gòu)造函數(shù)，利用構(gòu)造的函數(shù)形式對一些復(fù)雜問題進(jìn)行簡單化處理，進(jìn)而達(dá)到快速解決問題的目的.

例1解不等式(y2-2)3-y3+2y2-2y-4>0.

本題在求解時，主要是獲取y的范圍.根據(jù)不等式進(jìn)行移項(xiàng)處理可以獲得(y2-2)3+2(y2-2)>y3+2y從而構(gòu)造函數(shù)f(t)=t3+2t，則不等式轉(zhuǎn)變?yōu)閒(y2-2)>f(y)，因?yàn)閒(t)為增函數(shù)，所以y2-2>y，解得y<-1或y>2.

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的知識點(diǎn)之一，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).在具體的教學(xué)過程中學(xué)生除了要掌握相關(guān)的知識點(diǎn)之外，還要對解題方式進(jìn)行全面分析.通過例1的解決可以看出，學(xué)生理解問題的本質(zhì)是保證解題準(zhǔn)確性的關(guān)鍵.利用構(gòu)造函數(shù)的方法，既可以提高學(xué)生的解題水平，也可以拓展學(xué)生的解題思維.數(shù)學(xué)題型種類比較多，在利用構(gòu)造函數(shù)法解題時，學(xué)生可能無法查找到最關(guān)鍵的信息.因此，一般解題過程會分為多個階段，在哪一個階段構(gòu)造函數(shù)可以發(fā)揮最大作用，需要學(xué)生根據(jù)具體的習(xí)題進(jìn)行深入分析.

2.2 構(gòu)造方程例題分析

在解決與方程相關(guān)的問題時，可以根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系以及具體的結(jié)構(gòu)構(gòu)建數(shù)學(xué)公式.對未知條件以及方程之間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行充分考慮，并利用恒等式進(jìn)行變相處理，可以使抽象的問題具象化.在利用構(gòu)造方程的方法解決數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生需要仔細(xì)觀察，深入分析構(gòu)造方程的具體要點(diǎn).有些數(shù)學(xué)問題可能本身與方程之間并沒有密切聯(lián)系，因此，學(xué)生需要對問題的具體內(nèi)容進(jìn)行分析并合理判斷，才能夠正確利用問題中的數(shù)量關(guān)系完成方程構(gòu)造，之后再利用方程對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行有效解決.

例2已知(m-n)2-4(n-x)(x-m)=0，證明：m，n，x為等差數(shù)列.

在解題時，可以構(gòu)造方程式(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)=0，并且F(t)=(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)，由已知可得F(1)=0， 又方程(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)=0的判別式等于零，因此，該方程有兩個相等實(shí)數(shù)根，均為1.根據(jù)韋達(dá)定理，可以得m+n=2x，因此m，n，x為等差數(shù)列.

從例2中可以看出如果利用正常方式解題會導(dǎo)致解題難度增加，學(xué)生需要進(jìn)行大量計算才能夠獲取結(jié)論.在這一過程中容易產(chǎn)生一些錯誤從而影響學(xué)生的解題效率和準(zhǔn)確性.利用構(gòu)造方程法解決這個問題，可以將結(jié)論作為已知條件進(jìn)行深入分析，并將其與前一等式進(jìn)行結(jié)合，從而簡化問題，輕松獲取最終的結(jié)論.

2.3 其他構(gòu)造法的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，除了可以構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程之外，還可以從其他角度出發(fā)對構(gòu)造法進(jìn)行應(yīng)用.

第一，構(gòu)造圖形.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)到的知識大多數(shù)為理論知識，而加上圖形后，會使問題更加具象.在高中數(shù)學(xué)問題解決過程中，如果單純利用代數(shù)方式對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行理解和解決，比較片面和抽象，會導(dǎo)致解題難度增大，而且在代數(shù)法應(yīng)用過程中，可能會受計算過程影響出現(xiàn)各種問題.教師若引導(dǎo)幫助學(xué)生將代數(shù)與幾何圖形進(jìn)行有效聯(lián)系，構(gòu)建出與學(xué)生學(xué)習(xí)能力相符的數(shù)學(xué)模型，能使學(xué)生更加直觀形象地理解數(shù)學(xué)知識，有助于學(xué)生在解答問題時理清解題思路，獲取解決問題的有效方法.

第二，構(gòu)造復(fù)數(shù).在數(shù)學(xué)課程中復(fù)數(shù)是從實(shí)數(shù)衍生出來的，在對一些比較復(fù)雜的實(shí)數(shù)問題進(jìn)行解決時，學(xué)生可以利用構(gòu)造復(fù)數(shù)的形式解決問題，有利于降低學(xué)習(xí)難度，并且可以大大縮短學(xué)生的解題時間.

3 高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的應(yīng)用策略

3.1 構(gòu)造法解題原則

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，對構(gòu)造法進(jìn)行應(yīng)用具有至關(guān)重要的意義.為了充分發(fā)揮構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價值，需要對構(gòu)造法解題原則進(jìn)行全面分析.學(xué)生對構(gòu)造法進(jìn)行應(yīng)用時，可以更加直觀形象地獲取數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，縮短學(xué)生的思考時間，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.在這一過程中教師必須發(fā)揮引導(dǎo)作用，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變解題思維，使學(xué)生能夠?qū)忸}方式和解題過程有更深入地理解.教師提出的問題需要與學(xué)生的學(xué)習(xí)水平一致，以學(xué)生為主，通過一些典型例題，幫助學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣.這樣有利于學(xué)生獲取解決問題的方式.所以，教師在引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造法解決問題時，需要對學(xué)生的整體學(xué)習(xí)水平進(jìn)行全面把握，這樣才能夠保證構(gòu)造法講解的有效性，使學(xué)生能夠正確理解構(gòu)造法，提高學(xué)生學(xué)以致用的能力.為了使學(xué)生能夠構(gòu)造出與問題相似的結(jié)構(gòu)，還可以利用歸納、概括等方式幫助學(xué)生開展問題的分析和判斷，從而解決相應(yīng)的問題.

3.2 基于等量關(guān)系的應(yīng)用

在利用構(gòu)造法解決高中數(shù)學(xué)問題時，需要對基于等量關(guān)系的應(yīng)用進(jìn)行深入分析.等量關(guān)系本身是構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)問題解決過程中的重要基礎(chǔ).在實(shí)際教學(xué)中，教師需要加強(qiáng)對學(xué)生的引導(dǎo)，確保學(xué)生在解題時可以根據(jù)已知條件利用相對的等量關(guān)系解決問題.例如學(xué)生在解決函數(shù)問題時，需要引導(dǎo)學(xué)生深入分析題目中蘊(yùn)含的信息，了解自變量與因變量之間的具體聯(lián)系，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，從而解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.而對高中學(xué)生來說，等量關(guān)系本身是方程、函數(shù)和數(shù)列等數(shù)學(xué)問題在學(xué)習(xí)過程中的基礎(chǔ)，學(xué)生必須掌握題目中不同的已知量和未知量的關(guān)系，才能夠解決問題.

例如在高中階段學(xué)習(xí)一元二次函數(shù)、方程和不等式時，教師可以對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，出示以下典型例題：某工廠需要建造長方形無蓋儲水池，整個儲水池的容量為4800m3，深度為3米，如果池底每立方米的造價為130元/m2，池壁的造價為110元/m2.如何進(jìn)行設(shè)計才能夠在最大程度上控制水池的總造價，確?？傇靸r最低，最低為多少？

在解決這一數(shù)學(xué)問題時，需要對題目中涉及的已知量和未知量關(guān)系進(jìn)行明確.可以利用總價=池底造價+池壁造價的原則構(gòu)建方程式.在利用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題時，等量關(guān)系是提高數(shù)學(xué)問題解決效率的關(guān)鍵.教師需要對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，使學(xué)生能夠及時發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生利用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 激發(fā)學(xué)生的簡化思想

為了充分發(fā)揮構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題過程中的積極作用，在構(gòu)造法解題過程中，還要盡可能激發(fā)學(xué)生的簡化思想.構(gòu)造法本身是簡單靈活的解題方法，但是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)構(gòu)造法時，并不能準(zhǔn)確掌握什么時候用構(gòu)造法或者利用構(gòu)造法解決什么樣的問題，還有一些學(xué)生不能掌握構(gòu)造法的具體應(yīng)用技巧.因此，教師需要激發(fā)學(xué)生的簡化思維，使學(xué)生在解答數(shù)學(xué)習(xí)題時能夠以簡化的思想為基礎(chǔ)進(jìn)行解題.這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生突破常規(guī)，及時查找有效的解決方法簡化問題.所以在日常的知識講授過程中，教師要注重激發(fā)學(xué)生的簡化思想.

綜上所述，利用構(gòu)造法對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡化是提高學(xué)生解題效率和解題準(zhǔn)確性的重要方法.但是需要注意構(gòu)造法并不是萬能的，在構(gòu)造法講解過程中，教師要使學(xué)生明確構(gòu)造法存在的局限性，對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)進(jìn)行科學(xué)把握，這樣學(xué)生才能夠合理利用構(gòu)造法進(jìn)行解題.在解題訓(xùn)練時可以對常規(guī)方法和構(gòu)造法進(jìn)行綜合應(yīng)用，在減少解題步驟，降低解題難度的同時，提高解題準(zhǔn)確性.