基于二項分布近似運(yùn)算的課程思政探究

寧明明

（蘇州大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 通識教育學(xué)院）

一、引言

堅持中國特色社會主義教育發(fā)展道路，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人是教育的根本任務(wù)[1]。2020年印發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》強(qiáng)調(diào)各高校要深化教育體制改革，把立德樹人放在教育的中心環(huán)節(jié)，把思想政治教育貫穿整個人才培養(yǎng)過程中。指導(dǎo)綱要有關(guān)教育的重要論述指明了高校工作的重心，在課程建設(shè)中挖掘思政元素，結(jié)合專業(yè)背景，培養(yǎng)出高質(zhì)量、有愛國情懷、有政治認(rèn)同、有理想、有道德、有文化、有紀(jì)律的社會主義建設(shè)者和接班人。

要在高校落實立德樹人任務(wù)，就要發(fā)揮好每一門課程的育人作用，概率統(tǒng)計作為高校的一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程就要發(fā)揮好它培養(yǎng)人的作用。概率統(tǒng)計有其公理化體系，從假定條件出發(fā)通過定理、定義有著嚴(yán)密的推理計算過程，同時它又是面向數(shù)據(jù)的學(xué)科，它受制于數(shù)據(jù)的總量、統(tǒng)計手段和方法等諸多因素。傳統(tǒng)的教學(xué)方法形式重理論輕實際，理論灌輸式教學(xué)，讓學(xué)生對這門抽象的課程理解更加模糊。數(shù)學(xué)課程中的理論思想很多都是來自于生活的，所以教師要結(jié)合專業(yè)背景挖掘思政元素，將思政教育融入課程，將思政元素滲入案例分析中。本文中主要以二項分布及其兩個近似運(yùn)算為例，理論運(yùn)用到實際中去，讓學(xué)生認(rèn)識事物發(fā)展規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生勿以善小而不為，勸誡學(xué)生勿以惡小而為之，激發(fā)學(xué)生的家國情懷和使命擔(dān)當(dāng)。

二、教學(xué)現(xiàn)狀及思政融入

（一）改變重理論輕實際現(xiàn)狀

二項分布作為伯努利試驗結(jié)果發(fā)生次數(shù)的分布，學(xué)生在實際生活中會遇到許

多類似的案例，但過去單一的教學(xué)手段、重視理論的講解、只進(jìn)行定理的證明推導(dǎo)這都使學(xué)生感觸不到生活中的數(shù)學(xué)，也就違背了立德樹人的教學(xué)理念。因此在這一部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時需要結(jié)合實際案例，融入思政元素到課程中去，例如講到伯努利模型時可以解釋其中體現(xiàn)出的量變與質(zhì)變的規(guī)律，量變是引發(fā)質(zhì)變的前提條件，質(zhì)變是量變的最終結(jié)果。常言道“常走山林必遇虎、常走河邊鞋必濕”；“不積跬步無以至千里，不積小流無以致江海”這些名言警句都是不無道理的。在日常生活中學(xué)生既要重視日積月累不要好高騖遠(yuǎn)，也要警醒自己勿以惡小而為之，不要存在僥幸心理小問題最終也會釀成大錯。二項分布的教學(xué)過程中應(yīng)融入這些思政元素，幫學(xué)生樹立正確的三觀。

（二）追根溯源解決問題

學(xué)生在學(xué)完概率統(tǒng)計這門課后總是無法深刻理解二項分布所帶來的啟發(fā)，追其根本原因是引發(fā)質(zhì)變的前提——“量變”是需要大量的試驗次數(shù)和數(shù)據(jù)來支撐，但二項分布公式計算對于試驗次數(shù)較高的情況下要得到結(jié)果是很復(fù)雜的，所以學(xué)生也就無法理解這其中“量變與質(zhì)變”的規(guī)律。因此，教師應(yīng)該把二項分布的兩種近似運(yùn)算“泊松逼近”“正態(tài)逼近”在教學(xué)設(shè)計中結(jié)合在一起作為教學(xué)重點，這樣在各類情況下都可以得到一個比較精確的近似值，也能讓學(xué)生更容易結(jié)合實際案例理解課程思想。

三、教學(xué)過程實踐探究

（一）思政案例引入

案例一：持之以恒、日積月累，積跬步行千里、積小流成江海，有一個正確的人生觀、價值觀待人以誠，哪怕再微小的戀愛概率都有很大的機(jī)會收獲愛情，轉(zhuǎn)角遇到愛的場景也會在現(xiàn)實發(fā)生。

案例二：常走山林必遇虎、常走河邊鞋必濕，勿以惡小而為之。在宿舍使用大功率電器，無論做的保護(hù)措施多么好，都有很大可能引發(fā)火災(zāi)。

上述兩個案例是與學(xué)生的生活有著緊密聯(lián)系的容易使學(xué)生共鳴，所以需要在二項分布的教學(xué)設(shè)計中融入思政元素，引導(dǎo)學(xué)生重視積累，養(yǎng)好習(xí)慣，勿以善小而不為，懂得聚沙成塔海納百川的道理；勸導(dǎo)學(xué)生注重細(xì)節(jié)，防微杜漸，勿以惡小而為之，明白千里之堤潰于蟻穴的道理。在課程設(shè)計中把二項分布及二項分布的兩個近似計算放在一起去進(jìn)行比較講解，讓學(xué)生能更容易理解量變引發(fā)質(zhì)變的規(guī)律。

（二）內(nèi)容講解

1.二項分布介紹二項分布又稱伯努利分布是由瑞士數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家雅各布·伯努利提出的概念，這一離散型隨機(jī)變量的分布在經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、醫(yī)學(xué)等都有著廣泛的用途。雅各布·伯努利的一生的經(jīng)歷可以說是非常豐富，17歲獲得“自由藝術(shù)”碩士學(xué)位，22歲獲得神學(xué)碩士學(xué)位但他卻醉心于數(shù)學(xué)與天文學(xué)。24歲之后的3年游歷多個國家學(xué)習(xí)，豐富的閱歷也為他之后的成就打下了牢固的基礎(chǔ)。

雅各布·伯努利在數(shù)學(xué)上的成就有很多，例如“伯努利微分方程”“懸鏈線問題”“曲率半徑公式”“伯努利雙紐線”這些都與他有聯(lián)系，當(dāng)然伯努利在概率方面的成就對后人在概率領(lǐng)域有著及其重要的作用，伯努利一生最具代表的著作《猜度術(shù)》，這是概率論及組合數(shù)學(xué)的一本經(jīng)典著作，其中就提出了大數(shù)定律的早期形式“伯努利定律”，表明在重復(fù)試驗過程中隨著次數(shù)的增加頻率會逐漸趨向穩(wěn)定——“概率”，這一結(jié)果也成為了概率統(tǒng)計的基石。

我們的學(xué)生同樣也需要有這樣拼搏努力的精神，窮極一生致力于一件事的研究終將有所成就。下面介紹伯努利提出的離散型分布定義。

二項分布定義[2]：將只有兩種結(jié)果A和發(fā)生的隨機(jī)事件E， 獨立重復(fù)n次，并且P(A)=p, 0＜p＜1， 則 有=1-p，設(shè)X為n次試驗中A發(fā)生的次數(shù)，X可能取值為0，1，…,n，則X是一個離散型隨機(jī)變量，對任意k=0,1,…,n，有

上述分布稱為二項分布，記為b(n,p)。若隨機(jī)變量X滿足上述條件，則

稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布，并記作X～b(n,p)。當(dāng)參數(shù)n很大時，二項分布公式計算十分復(fù)雜，所以我們選取它的兩個近似運(yùn)算，在合適的條件下不僅能簡化計算，也可以得到較精確的結(jié)果。

2.二項分布的逼近-泊松分布

泊松分布是經(jīng)典離散概率分布之一，1838年由法國數(shù)學(xué)家西莫恩·德尼·泊松提出的。泊松作為一個科學(xué)工作者，他的成就很少有人能與之相比較，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、固體力學(xué)、引力學(xué)方面都有很高的成就。泊松能在數(shù)學(xué)與物理方面有所成就與他自己的堅持和善于發(fā)現(xiàn)有著很大關(guān)系，正因為他的堅持才讓他走到了數(shù)學(xué)的高峰。作為新時大學(xué)生也應(yīng)該學(xué)習(xí)泊松堅持不懈的精神，愿意為自己的熱愛奉獻(xiàn)一生。

定理1[3]（泊松定理） 在n重伯努利試驗中，用Pn（與試驗總數(shù)n有關(guān)）

作為每次試驗事件A發(fā)生的概率，且有為正數(shù)，則對任意k≥0有

定理1證明參考文獻(xiàn)[3]37-38頁。

在二項分布中當(dāng)n很大時，計算十分復(fù)雜，依據(jù)泊松定理可做到近似計算，

若試驗次數(shù)n很大，p較小，np較合適(p≤ 0.1,np≤5)，可用λ=np泊松分布近似計算。

3.二項分布的逼近-正態(tài)分布

正態(tài)分布的提出者亞伯拉罕·棣莫弗曾著概率史上三部里程碑著作之一的《機(jī)會的學(xué)說》，他對概率統(tǒng)計最大的貢獻(xiàn)莫過于中心極限定理的提出了，中心極限定理本質(zhì)上說明許多不屬于正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在他們共同作用下形成的新的隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)分布。

棣莫弗對科研的熱愛，對真理的渴望值得所有學(xué)生學(xué)習(xí)，借此培養(yǎng)學(xué)生精益求精的工匠精神，激發(fā)學(xué)生科技報國的家國情懷和使命擔(dān)當(dāng)[1].

定理2[4]（棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量Xn～b(n,p)，0＜p＜1，則 對 任意x，有證 明： 設(shè)ξ1～b(1,p)， 令則Xn～b(n,p)，因 此 有E(Xn)=np，D(Xn)=np(1-p)，根據(jù)參 考文獻(xiàn)[4]131頁林德伯格-萊維中心極限定理可知定理成立。

上述定理可以用來近似計算二項分布，當(dāng)np≥5和n(1-p)≥5都成立時，

對于二項分布可由式（2）近似計算概率：

對于固定的p和k，n→∞時，(1-p)n-k→0，因此對于概率,P(a＜Xn≤b)，P(a≤Xn≤b)，P(a≤Xn＜b)，P(a＜Xn＜b)均可以利用上述方法近似計算。

綜上當(dāng)p≤ 0.1,np≤5時用泊松分布近似計算二項分布較精確，當(dāng)np≥5和n(1-p)≥5時，用正態(tài)分布近似計算二項分布較精確，下面利用兩個實際案例給學(xué)生進(jìn)行分析。

（）案例分析

案例一：持之以恒，量變會引發(fā)質(zhì)變

例1 據(jù)科學(xué)數(shù)據(jù)顯示，人一生會遇到2920萬人，在青春歲月遇到近30萬青年異性，按照大學(xué)生四年大約1/3的青春時光，在校園中遇到并有交流接觸的占比8%，因此大學(xué)生每年在校園里大約會和2000名青年異性有交流。善良、真誠、積極陽光的人總會容易獲得別人的好感，假設(shè)這類人與年齡相仿的單身異性相處時有0.001的概率會獲得對方的表白，與每一個人相遇的過程都是相互獨立的，問一年內(nèi)一位善良、真誠、積極陽光的大學(xué)生至少會獲得2次表白的概率是多少？

解析：對于這個案例，與每個人相遇都是相互獨立的，獲表白率為0.001，

即不被表白率為0.999，問至少有2次發(fā)生的概率。

思路一：學(xué)生首先會想到這是一個與二項分布有關(guān)的問題，設(shè)Y表示“獲

得表白的次數(shù)”，則Y～b(2000,0.001)，利用二項分布式計算概率即可。

按照思路一做如下計算：

思路一雖然也可以求出最終近似結(jié)果，但是計算過程比較復(fù)雜，若所求為至

少10次、100次發(fā)生的概率，那過程會更加繁瑣，繼續(xù)做如下思考。

思路二：根據(jù)二項分布的泊松逼近，λ=np=2000 × 0.001= 2 ＜5，滿足

定理1的要求，由式（1）計算概率得：

兩次計算結(jié)果近似一致，但是思路二采用二項分布泊松計算過程可查泊松分布表，過程簡便很多。

上述案例中一位善良而又積極向上的大學(xué)生被表白的概率是0.001，這已經(jīng)是一個相當(dāng)小的概率，但只要持之以恒最終每年獲得兩次以上被表白的概率達(dá)到60%，由此可見不要忽視任何一個小概率事件，量變終會引發(fā)質(zhì)變。每天把自己打扮得精神、得體出門是有必要的，教育學(xué)生注重儀表、精神面貌，有個好的修養(yǎng)，那么轉(zhuǎn)角遇見愛偶像劇場景現(xiàn)實生活也是會發(fā)生的。

案例二：常走河邊鞋必濕，常走山林必遇虎

例2 大學(xué)生宿舍安全隱患一直都是學(xué)校重點關(guān)注的問題，對于學(xué)生私自使用大功率電器導(dǎo)致火災(zāi)的情況近些年也是時常出現(xiàn)，某高校宿舍有100名學(xué)生偷偷使用大功率電器，每名學(xué)生每次使用大功率電器都相互獨立的，假設(shè)每次使用大功率發(fā)生短路、過負(fù)荷、設(shè)備問題等故障的概率是0.001，據(jù)消防救局統(tǒng)計電器短路，亂拉電線導(dǎo)致過負(fù)荷是引發(fā)火災(zāi)的最大兇手，學(xué)生宿舍發(fā)生電路故障后約有60%的可能會引發(fā)火災(zāi)，用Y表示一學(xué)期內(nèi)（120天）大功率電器發(fā)生故障的次數(shù)。

（1）求一學(xué)期內(nèi)使用大功率故障數(shù)超過5次的概率；

（2）求一學(xué)期內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的概率是多少？

解析：（1）在這個案例中對于電器故障次數(shù)Y可看作一個隨機(jī)變量，

Y～b(12000,0.001)，由n= 1 2000,p=0.001直接利用二項分布做計算會比較復(fù)雜，又因為np=12＞5滿足二項分布正態(tài)逼近條件，所以可以使用二項分布正態(tài)逼近式（3）做近似計算：

（2）用X記作“一學(xué)期內(nèi)電器引發(fā)火災(zāi)”的次數(shù)，則X～b(12000,0.0006)，

由式（3）電器發(fā)生火災(zāi)的概率為：

案例二中一學(xué)期內(nèi)發(fā)生大功率電器故障數(shù)超過5次的概率達(dá)到97%，發(fā)生火災(zāi)的概率達(dá)到99.6%，這幾乎已經(jīng)接近必然事件了，可見無論學(xué)生在宿舍使用大功率電器有多么小心，但是如果不去重視這件事情，最終都會釀成很嚴(yán)重的后果。因此，不要忽視小事情、小錯誤，河邊常走，鞋哪能不濕，養(yǎng)成良好習(xí)慣及時改正，惡小不為，善小為之。

四、結(jié)束語

思政教育是國家培養(yǎng)人才必不可少的方式，重要性日益凸顯，因此一位合格的高校老師不僅僅是一個單純灌輸知識的教書匠，還要是學(xué)生思想教育的引導(dǎo)著，在知識傳授及能力提升培養(yǎng)中塑造正確的世界觀、人生觀、價值觀。作為一名新時代數(shù)學(xué)老師更需要在枯燥的理論教學(xué)中挖掘可以融入的思政元素，圍繞立德樹人這一根本教育中心，培養(yǎng)出一批有豐富學(xué)識、有文化信念、有家國情懷、有使命擔(dān)當(dāng)?shù)钠床Φ纳鐣髁x接班人。

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蘇州大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院（Applied Technology College of Soochow University，其前身為蘇州大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）成立于1997年，是蘇州大學(xué)的二級學(xué)院。2002年1月由原公辦二級學(xué)院改為公有民辦二級學(xué)院。 2003年11月學(xué)院正式更名為蘇州大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院。

2005年5月按照教育部2003（8）號文件精神，由蘇州大學(xué)申辦，經(jīng)國家教育部批準(zhǔn)為新機(jī)制、新模式舉辦的本科二級學(xué)院——獨立學(xué)院。