探究數(shù)學(xué)思維方法的形成策略
——以“金字塔之謎”為例

廣東省深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院附屬實驗學(xué)校 于 璐

我們常說“數(shù)學(xué)是思維的體操”，也就是說數(shù)學(xué)不應(yīng)是單純的解題方法的總結(jié)，也不應(yīng)是簡單的知識技能的聚匯，而應(yīng)是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式去思考問題，形成數(shù)學(xué)的思維方式與思維習(xí)慣，去體會感悟到數(shù)學(xué)的智慧與美。

一、直覺頓悟調(diào)動知識經(jīng)驗

千百年來“直覺頓悟”作為人類解決科學(xué)問題的一種獨特方式，得到了廣泛的認(rèn)可。直覺頓悟是思維形式的一種獨特形態(tài)，它的特點是思維的停頓與飛躍。直覺頓悟不用借助邏輯推理，而是靠綜合運用已有的知識表象和經(jīng)驗來完成。頓悟前常有百思不得其解的階段，又有突如其來的靈感。形成思維結(jié)果時，似乎是迅速做出猜測、形成設(shè)想、突出頓悟。

在教學(xué)“金字塔之謎”一課時，筆者先將兩塊游戲器具擺在桌面，引導(dǎo)學(xué)生試著來拼一拼金字塔，看看學(xué)生能在玩中悟出些什么，明白些什么。此時給學(xué)生一種直覺的感官刺激，再在屏幕處呈現(xiàn)不停旋轉(zhuǎn)的金字塔，引導(dǎo)學(xué)生陷入一種深入思考。

師：我在剛才巡視的過程中，發(fā)現(xiàn)有一名同學(xué)并沒有急著去拼器具，這是為什么呢，我們請他來說一說。

生：我發(fā)現(xiàn)這個器具是個立體圖形，有5 個面，2 個面是三角形，2 個面是梯形，1 個面是正方形，這就是它的特點。

師：這個器具的特點在你細(xì)致的觀察中找到了，觀察是一切發(fā)現(xiàn)的前提，比一比，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我分別把兩個器具的正方形和正方形比了比，又把三角形和三角形比了比，最后把梯形和梯形比了比，發(fā)現(xiàn)他們都重合在一起。

生：我把每個面都比了比，發(fā)現(xiàn)這兩個立體圖形的形狀、大小完全相同。

師：看到游戲器具，先仔細(xì)觀察它的特點，再比一比建立聯(lián)系，別小看這一看、一比，在這個過程中你們一直都在思考著，感悟著。

在這個環(huán)節(jié)中，我們不難看出直覺頓悟多以形象思維的形式進行，有時還需要借助實踐操作來完成，這是學(xué)生獲得直覺頓悟的基礎(chǔ)，也為后續(xù)解決問題提供可借鑒的經(jīng)驗。

二、建模思想架構(gòu)實踐操作

數(shù)學(xué)是為現(xiàn)實生活服務(wù)的，是為了解決現(xiàn)實生活中存在的問題，它來源于生活，又服務(wù)于生活，反映的是生活中的問題。數(shù)學(xué)與生活是一個整體，互相依附，數(shù)學(xué)是思想內(nèi)涵，而生活就是外在形式。沒有思想的生活是沒有意義的，這就是數(shù)學(xué)本質(zhì)，建模思想恰恰體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)建模思想的核心是所有數(shù)學(xué)問題都能在生活中找到它的原形，是真實存在的，當(dāng)把抽象與直觀聯(lián)系起來時，數(shù)學(xué)問題也就變得簡單化了。

在“金字塔之謎”教學(xué)設(shè)計中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)游戲器具的特點與現(xiàn)實中的“金字塔”可能存在某種聯(lián)系時，筆者順勢搭建了一個“實踐操作的腳手架”，通過運用已有的數(shù)學(xué)知識—重合、平移、旋轉(zhuǎn)將抽象與直觀緊密聯(lián)系起來，形成思維方法。

師：這些游戲器具和金字塔有什么關(guān)系呢？每個小組的桌面上都有一個題卡，根據(jù)題卡來研究研究，看看，你會有什么發(fā)現(xiàn)？

題卡：

1.看一看：信封中的學(xué)具有什么發(fā)現(xiàn)？

2.擺一擺：用所給的學(xué)具最多拼幾個三角形？

3.說一說：你們是怎么擺的？

生1：我們先觀察信封中的學(xué)具發(fā)現(xiàn)，它們都是平面圖形，有4 個梯形、4 個三角形、2 個正方形，嘗試后發(fā)現(xiàn)最多能拼出4 個三角形，我們用一個小三角形和一個梯形拼出一個大的三角形，剩下的三個大三角形也是這么拼的。三角形金字塔有4 個面，4 個面是三角形，我們發(fā)現(xiàn)拼成的大三角形就是金字塔的一個面。

生2：我們也是先觀察信封中的學(xué)具，發(fā)現(xiàn)這些圖形是平面圖形，一共有10 個。再給圖形分類，發(fā)現(xiàn)有4 個梯形、4 個三角形、2 個正方形，最多能拼出4 個三角形，一個小三角形在上面，一個梯形在下面，拼出一個大的三角形，剩下的三個大三角形也是這么拼的，拼成的大三角形就是金字塔的一個面。

師：剩下的2 個正方形去哪兒了？也就是立體圖形上的2 個正方形哪去了？

生3：拼金字塔時，重合在一起，拼沒有了。

師：大家說一說，你是怎樣拼金字塔的？

學(xué)生匯報拼擺方法。

師：在拼擺的過程中，不斷嘗試操作，不知不覺地運用到了數(shù)學(xué)中的重合，平移，旋轉(zhuǎn)的知識，這一拼、一移、一轉(zhuǎn)的過程，也是讓我們眼前一亮、豁然開朗的過程。

師：剛剛通過不同的方法，每個人都收獲了一座謎一樣的三角形金字塔。在此過程中你有什么收獲呢？

生4：我們要先觀察再嘗試操作。

生5：想象出金字塔的樣子，再動手操作就會有收獲。

生6：拼金字塔時一個平著放，一個立著放，就能拼出來。

師：在玩的過程中我們發(fā)現(xiàn)了金字塔的面和體之間的關(guān)系，這是我們一年級幾何入門學(xué)習(xí)時所掌握的知識，又利用重合、平移、旋轉(zhuǎn)得到金字塔，這是進一步學(xué)習(xí)幾何知識時，所掌握的圖形運動方式，我們還通過觀察想象，不斷嘗試操作，發(fā)現(xiàn)解決問題的思考方法。思維導(dǎo)圖能清晰地展示出這些數(shù)學(xué)知識和思考問題方式之間的關(guān)系，接下來，我們還要學(xué)習(xí)更高級的思考方式。

上面的環(huán)節(jié)設(shè)計就是學(xué)生根據(jù)手中立體圖形的特點，用游戲器具擺出金字塔，再運用微課視頻，通過視覺沖擊，在頭腦中構(gòu)建金字塔的模型，讓學(xué)生明白建模思想就是解決問題的一種方法。通過教師的點撥，讓學(xué)生明白動手嘗試、運用已有的數(shù)學(xué)知識——重合、平移、旋轉(zhuǎn)也是解決問題的一種方法。教師進行歸納總結(jié)，目的是讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的價值，學(xué)會科學(xué)地思考和解決問題，能把知識的積累運用與培養(yǎng)能力、發(fā)展智力有機地統(tǒng)一起來。培養(yǎng)學(xué)生從多角度、多層次、多方式看待問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題的思維習(xí)慣，概括提升理念，總結(jié)思考方法。

三、化歸思想嘗試綜合運用

化歸思想不僅是一種重要的解題思想，還是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達(dá)到解決的一種方法?；瘹w思想的實質(zhì)就是將生疏化成熟悉，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡單，將抽象轉(zhuǎn)化成直觀，將含糊轉(zhuǎn)化成明朗。

在學(xué)生動手搭建磁力珠金字塔時，通過學(xué)生間的自主嘗試與展示匯報，再到整體互動，體會到化歸思想這種“無聲的語言”的魅力。

學(xué)生動手操作，搭金字塔。

1.出示珠子學(xué)具，搭一搭三角形金字塔。

2.學(xué)生嘗試匯報。

生：（學(xué)具在展臺上展示）我在拼的時候，先把4 個珠子放在最下邊，再擺上3 個珠子，我發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在就擺成了一個梯形，可是剛才我們知道三角形金字塔每個面都是三角形，再擺3 個珠子就可以了，但是這里沒有單獨的一個珠子，2 個珠子，我就把3 個珠子和4 個珠子立起來，再把最后這3 個珠子搭上，就拼成了金字塔。

師：通過觀察金字塔的特點，和珠子形學(xué)具進行比較，推導(dǎo)出珠子形金字塔的拼搭方法，這也是一種思考的方法-類推。

生：（學(xué)具在展臺上展示）我在拼的時候，也是先把4 個珠子放在最下邊，再擺上3 個珠子，拼成了一個梯形，我又放了一個3 個珠子，發(fā)現(xiàn)和我們剛才用的立體圖形特別像，我就用皮套把它們捆在一起，（出示立體圖形比一比）再把剩下的圖形也這么擺，搭在一起，就拼成了金字塔。

師：你們通過分析，將珠子看成點，連點成線，連線成面，組面成體。成功地搭出了金字塔，數(shù)學(xué)的神奇就在這一步步的轉(zhuǎn)化中綻放。我們也來試一試這不同的方法，搭珠子金字塔。遇到困難可以請教身邊的小伙伴。

師：你們成功了嗎？把它放在桌角處，你們又有什么收獲了？

學(xué)生總結(jié)收獲。

師：在搭金字塔的過程中，你們分析多種條件，綜合運用，搭成了珠子的金字塔。

學(xué)生動手操作珠子學(xué)具搭金字塔過程中遇到問題，是一種思維的停滯，但此時前面學(xué)習(xí)過程中滲透的思考問題的方法會潛移默化地出現(xiàn)在學(xué)生們的思維過程中，他們會運用從點到線，從線到面，從面到體的化歸思想嘗試解決，這種數(shù)學(xué)思想方法也會帶給學(xué)生們“頓悟”的喜悅。