二維蜂窩狀光子晶體能帶的數(shù)學(xué)模型與仿真研究

楊 之

（北京郵電大學(xué)，北京 100876）

光子晶體是由宏觀光學(xué)介質(zhì)代替微觀粒子按一定規(guī)律周期性排列的人工微觀結(jié)構(gòu)，其周期陣列限制了電磁波在光子晶體中的傳播，對特定波長的光子具有阻擋作用，從而形成了光子帶隙[1]。根據(jù)應(yīng)用需要設(shè)計光子晶體的結(jié)構(gòu)，由于光子帶隙的存在可以禁止光在一定頻率范圍內(nèi)的傳播，使得光子晶體有著廣泛的應(yīng)用，其應(yīng)用包括窄帶濾波器、分復(fù)用器等[2-5]。獲得寬的光子晶體帶隙是設(shè)計高性能光子晶體器件的基礎(chǔ)[6]，所以如何設(shè)計光子晶體結(jié)構(gòu)來獲得更寬的帶隙一直是光子晶體領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。

已有研究結(jié)果表明，二維蜂窩狀光子晶體具有較大的帶隙[7]，且?guī)洞笮『徒橘|(zhì)柱的半徑大小與介電常數(shù)密切相關(guān)[8-9]。改變光子晶體的晶格結(jié)構(gòu)、降低結(jié)構(gòu)對稱性和引入新材料等措施都可以增大光子晶體的帶隙，但是由于直接進(jìn)行實驗來設(shè)計新型光子晶體結(jié)構(gòu)的成本巨大，現(xiàn)在一般先采用數(shù)值模擬方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計，以期獲得結(jié)構(gòu)設(shè)計的指導(dǎo)。目前，數(shù)值模擬二維光子晶體帶隙的常用方法有平面波展開法[10-11]、時域有限差分法[2，12]和有限元方法[13]，其中有限元方法因其計算效率較高，常用于三角晶格光子晶體和正方晶格光子晶體的數(shù)值模擬，但目前在蜂窩狀光子晶體領(lǐng)域研究較少。

本文采用有限元法研究二維蜂窩狀光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，以往在對蜂窩晶格光子晶體進(jìn)行建模時通常選擇正六邊形結(jié)構(gòu)作為單元晶格，本文在數(shù)值模擬過程中直接采用了易于操作的三角晶格胞元，使建模仿真和邊界處理更加容易。并利用COMSOL 軟件計算了二維蜂窩狀光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，通過對比文獻(xiàn)[14]的結(jié)果，驗證了方法的正確性和有效性。進(jìn)一步，本文采用數(shù)值模擬的方法探究了二維蜂窩狀光子晶體的參數(shù)與帶隙的關(guān)系，并通過在蜂窩狀光子晶體中應(yīng)用新型材料構(gòu)造了寬帶隙的新型二維蜂窩狀光子晶體結(jié)構(gòu)。

1 能帶結(jié)構(gòu)計算的數(shù)學(xué)模型

在本節(jié)中，將介紹二維蜂窩狀光子晶體能帶求解的數(shù)學(xué)模型?？紤]由周期介電圓柱組成的二維蜂窩狀光子晶體陣列，如圖1（a）所示，a0為晶格常數(shù)，即相鄰2 個正六邊形中心的距離，a1和a2是長度a0的向量。放大的單個六角蜂窩晶格如圖1（b）所示，其中R 為六邊形的邊長，d 為圓柱體的直徑，εa和εb分別是周圍背景和介電圓柱的介電常數(shù)。本文采用三角晶格胞元進(jìn)行數(shù)值計算，光子晶體等效至xoy 平面后選取的三角形晶格胞元，如圖1（c）所示，其邊長為a0。

圖1 蜂窩狀光子晶體示意圖

圖2 三角晶格第一布里淵區(qū)

下面根據(jù)圖1（c）所示的三角單元晶格，推導(dǎo)光子晶體特征值問題。在經(jīng)典電磁理論中，電磁現(xiàn)象可由Maxwell 方程組（1）描述。在光子晶體中，研究的對象是電磁波，其在光子晶體中傳播時滿足Maxwell 方程組

式中：E 是電場強(qiáng)度；H 是磁場強(qiáng)度。對于二維光子晶體，直接對Maxwell 方程進(jìn)行求解比較困難，由于電磁波可分解為簡諧波，即有E（r，t）=E（r）e-iωt，H（r，t）=H（r）e-iωt，這里ω 是頻率。代入式（1）可得到與時間變量無關(guān)的Helmholtz 方程，即電場方程（2）和磁場方程（3）

考慮二維光子晶體帶隙問題時，可簡化為TM 和TE 兩種偏振情形。在TM 模式下，有E（r）=（0，0，ER（））；在TE 模式下，有H（r）=（0，0，HR（））。這里是二維坐標(biāo)（x，y）。代入式（2）和（3），分別可以得到TM 模的電場波動方程（4）和TE 模的磁場波動方程（5）

由于二維光子晶體的周期性，滿足Bloch 定理，可將上述波動方程化至單位原胞上再進(jìn)行數(shù)值實驗。在二維情況下，記，k=（a，b）表示的是二維平面空間內(nèi)的波矢矢量，其取值范圍為不可約布里淵區(qū)B。首先考慮TM 模

Ω 是求解的二維集合區(qū)域，在單位原胞邊界∏=?Ω上，滿足邊界條件

式中：Γ1和Γ3是單位原胞的一組對邊；Γ2和Γ4是單位原胞的另一組對邊。求解區(qū)域如圖1（c）三角單元晶格所示。

求解TE 模的過程類似，為方便討論變分過程，可將2 種模式統(tǒng)一記成如下特征值形式，給定矢量k，求λ 和uR使得

uR表示待求場量即特征向量。只要矢量k 遍歷第一不可約布里淵區(qū)域的邊界，就能夠繪制出能帶結(jié)構(gòu)圖。

下面針對式（8），給出其有限元變分過程和離散過程。首先，定義Sobolev 空間

對于固定的波矢k，當(dāng)求解區(qū)域是線性三角元時，u、v在單元e 內(nèi)的近似ue、ve，取線性三角元的基函數(shù)和的線性組合，這里所說的基函數(shù)是關(guān)于（x，y）的勢函數(shù)，不妨取試探函數(shù)ve為單元基函數(shù)，則有

這里x 取值{i，j，k}，而ui，uj，uk是待定常數(shù)。

根據(jù)SRSS評分,擬定療效評定標(biāo)準(zhǔn),分為顯效、有效、無效3個指標(biāo):(1)顯效:治療后,SRSS評分降低>50%。(2)有效:治療后,SRSS評分降低25%-50%。(3)無效:治療后,SRSS評分降低<25%[3]。

由此得到單元剛度矩陣，然后根據(jù)線性三角元局部編號和整體編號關(guān)系，生成總剛度矩陣A 和B，得到變分問題對應(yīng)的離散特征值問題：

在求解廣義特征值問題時，還需要考慮周期邊界條件（7），從而得到最終的待求解廣義特征值問題

對于形如（14）的廣義特征值問題，在二維蜂窩狀光子晶體帶隙模型中，矩陣A 和B 常具有正定性，則有Cholesky 三角分解

則對式（14）兩側(cè)的左側(cè)乘L-1，并在右側(cè)整理提出因子LT得

式（16）可以看成以λ 為特征值，LT為特征向量的特征值問題，并且式（16）和（14）具有相同的特征值，系數(shù)矩陣仍滿足正定性，這樣就將廣義特征值問題（14）轉(zhuǎn)化為特征值問題（16），可利用直接法或迭代法進(jìn)行求解特征值問題（16）。

2 數(shù)值仿真結(jié)果

2.1 算例1：二維蜂窩狀光子晶體仿真

本節(jié)考慮圖1 所示的二維蜂窩狀光子晶體，周圍背景的介電常數(shù)是εa=1，圓柱體的介電常數(shù)是εb=11.7，六邊形的長度為R，圓柱體截面圓形的直徑為d且d=2/3R。選擇三角單元晶格模擬得到的能帶圖如圖3 所示，在其他參數(shù)不變的情況下，僅改變晶格參數(shù)的大小，此時三角晶格中圓形的大小和位置會發(fā)生改變。對不同參數(shù)取值下的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3所示，當(dāng)a0/R=3.125 時，帶隙歸一化頻率在0.48～0.51之間；當(dāng)a0/R=3 時，帶隙完全消失；當(dāng)a0/R=2.8 時，帶隙歸一化頻率在0.44～0.48 之間。3 種情況下的計算結(jié)果均和文獻(xiàn)[14]中的仿真結(jié)果一致，并且仿真所用時間比采用常見三角晶格進(jìn)行仿真時間更短、效率更高。

圖3 二維蜂窩狀光子晶體的TM 模式的能帶圖

圖4 TM 模式下改變晶格參數(shù)的Gap map 變化

2.2 算例2：二維新結(jié)構(gòu)蜂窩狀光子晶體仿真

下面，研究當(dāng)改變2.1 節(jié)中晶格結(jié)構(gòu)時光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。在每個六角蜂窩晶格的中心加入材質(zhì)為Si（介電常數(shù)為17.64），半徑r 同樣為d/2 的介電圓柱，周圍背景為空氣介電常數(shù)εa=1，周圍的圓柱介電常數(shù)仍為εb=11.7，每個晶格中中心圓柱的介電常數(shù)為εc=17.64，其余參數(shù)不變，對這種新結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真。新結(jié)構(gòu)蜂窩狀光子晶體示意圖如圖5 所示。

圖5 新結(jié)構(gòu)蜂窩狀光子晶體示意圖

取晶格參數(shù)a0/R=3 時為例，由2.1 節(jié)可知圖1 所示的蜂窩狀光子晶體在此晶格參數(shù)條件下并無任何帶隙產(chǎn)生，而新結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)如圖6 所示，此時會產(chǎn)生1 條新的帶隙，與2.1 節(jié)中結(jié)構(gòu)相比新結(jié)構(gòu)光子晶體產(chǎn)生的帶隙位置向低頻方向移動。此時產(chǎn)生的帶隙歸一化頻率范圍為[0.264 954 9，0.279 614 2]，寬度為0.014 659 2。

圖6 新結(jié)構(gòu)蜂窩狀光子晶體得到的能帶圖

為探究新結(jié)構(gòu)的帶隙隨參數(shù)的變化情況，類似2.1節(jié)中保持其他參數(shù)不變僅改變晶格參數(shù)a0/R，a0/R 的取值從2.7～7.7，得到新結(jié)構(gòu)TM 模式下蜂窩狀光子晶體的帶隙變化圖，如圖7 所示。由圖7 可知，當(dāng)晶格參數(shù)a0/R=5.6 時可產(chǎn)生最寬帶隙，此時有3 條帶隙，寬度分別為0.037 548，0.002 096 和0.134 911。

圖7 改變晶格參數(shù)a0/R 得到的Gap map

為進(jìn)一步探究蜂窩狀光子晶體帶隙的產(chǎn)生和變化情況，改變蜂窩晶格中心處介質(zhì)圓柱的截面半徑r，得到帶隙變化如圖8 所示，當(dāng)r 取0.75d 時可獲得最寬的帶隙，此時有4 條帶隙存在。

圖8 改變中心圓柱截面半徑r 得到的Gap map

2.3 算例3：二維蜂窩狀復(fù)合膠體光子晶體仿真

當(dāng)前的光子晶體能帶研究主要是針對人為可控的物理參數(shù)的對比研究，但是對于不同尺寸粒子混合形成的膠體光子晶體的光子帶隙則少有研究。膠體光子晶體是一類利用交替納米顆粒通過自組裝而成的周期有序結(jié)構(gòu)的材料，可以保留2 種材料的光學(xué)特性，具有制備簡單、易于實現(xiàn)功能化和成本低廉等優(yōu)勢，可應(yīng)用于傳感器、防偽圖案和顯示器件等領(lǐng)域。這種光子晶體由于其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征及光學(xué)特性的廣泛應(yīng)用，近年來已成為光子晶體領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

采用這種新型材料，由大粒徑聚苯乙烯（PS）和小粒徑二氧化硅（SiO2）組成二維復(fù)合膠體光子晶體，其結(jié)構(gòu)如圖9 所示，背景介質(zhì)為空氣εa=1；在此種結(jié)構(gòu)中大的微球（PS）介電常數(shù)為2.53，半徑為d/2；小的微球（SiO2）介電常數(shù)為2.13，其半徑為r=d/4。本文基于有限元法，利用COMSOL 軟件的波動光學(xué)模塊建立光子晶體模型，并使用Floquet 周期性邊界條件，探究不同參數(shù)下膠體光子晶體的帶隙寬度。

利用COMSOL 軟件對圖9 所示的膠體光子晶體的光子帶隙進(jìn)行了仿真模擬，結(jié)果如圖10 所示，此時在[0.847 558 0，0.840 933 8]的歸一化頻率的區(qū)間產(chǎn)生一條寬度為0.006 624 2 的帶隙。

圖9 由PS 和SiO2 組成的二維復(fù)合膠體光子晶體結(jié)構(gòu)

圖10 二維復(fù)合膠體光子晶體仿真結(jié)果圖

采用二維復(fù)合膠體光子晶體可以產(chǎn)生如上所述的帶隙，而如果僅使用一種材料PS，此時能帶結(jié)構(gòu)無任何帶隙產(chǎn)生，如圖11 所示。由此可見，引入二維復(fù)合膠體材料能有效地增大蜂窩狀光子晶體的帶隙寬度，同時還可以保留2 種材料的光學(xué)特性。

圖11 僅由PS 材料構(gòu)成的光子晶體能帶圖

取上面討論的最佳參數(shù)：晶格常數(shù)選取a0/R=5.6，中心圓柱界面半徑r 取0.75d 時，可獲得寬帶隙，此時應(yīng)用新材料的蜂窩狀光子晶體的能帶圖如圖12 所示，此時會產(chǎn)生3 條帶隙。第一條帶隙的歸一化頻率范圍為[0.467 225，0.487 643]，帶寬為0.020 717；第二條帶隙的歸一化頻率范圍為[0.827 783，0.831 438]，帶寬為0.003 655；第三條帶隙的歸一化頻率范圍為[0.929 49，0.953 844]，帶寬為0.024 347。由圖10 和圖12 比較可知，選取合適的晶格參數(shù)a0/R 和圓形半徑r來獲得寬帶隙的方法是有效的。

圖12 最優(yōu)參數(shù)下二維復(fù)合膠體光子晶體仿真結(jié)果圖

3 結(jié)論

本文采用了有限元方法,研究了二維蜂窩狀光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬和寬帶隙的結(jié)構(gòu)設(shè)計問題。對有限元方法和COMSOL 軟件的結(jié)合運(yùn)用，使得光子晶體能帶結(jié)構(gòu)的求解變得簡單高效。數(shù)值模擬方法是新材料運(yùn)用、新結(jié)構(gòu)設(shè)計的一種非常高效、便捷的方法，通過優(yōu)化蜂窩狀光子晶體的晶格參數(shù)及應(yīng)用新材料，基于數(shù)值模擬方法探究了二維蜂窩狀光子晶體的參數(shù)與帶隙的關(guān)系，通過選取最佳參數(shù)構(gòu)造了寬帶隙的新型二維蜂窩狀光子晶體結(jié)構(gòu)。本文的研究為二維蜂窩狀光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)求解提供了一種有效求解途徑，有望為光子晶體設(shè)備的制備提供指導(dǎo)和數(shù)值算法支撐。