例談一元一次方程應(yīng)用題中的幾種等量關(guān)系

陳一凡

找準(zhǔn)等量關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵 環(huán)節(jié)，那么一元一次方程應(yīng)用題中有哪些常 見的等量關(guān)系呢？對(duì)此，筆者歸納了應(yīng)用題 中三類常見的等量關(guān)系，并結(jié)合例題加以分 析，希望能夠幫助同學(xué)們掌握解答應(yīng)用題的 關(guān)鍵點(diǎn).

一、配套問題中的等量關(guān)系

解答配套問題最基本的等量關(guān)系就是加 工（或生產(chǎn)）的各種零配件的總數(shù)量比等于一 套組合件中各種零配件的數(shù)量比.若一件產(chǎn)品 需要 A、B 兩種配件配成，A、B 兩種配件的數(shù) 量比是 m：n，那么配件全部配套時(shí)，則有 A 種 配件總數(shù)量 ×n = B 種配件總數(shù)量 × m.解答物 品配套問題的關(guān)鍵是從物件的比例角度建立 等量關(guān)系，根據(jù)比例設(shè)未知數(shù)，列出方程求解.

例1 某服裝廠要生產(chǎn)一批學(xué)生校服，已 知每3m的布料可做上衣2件或褲子3條，因 褲子舊得快，要求一件上衣和兩條褲子配一 套，現(xiàn)計(jì)劃用1218m的布料加工成學(xué)生校服， 應(yīng)如何安排布料加工上衣和褲子才能剛好配 套？能加工多少套校服？

分析：本題是一道關(guān)于一元一次方程的 配套問題.由已知條件可以得出如下信息： ①每1m的布料可以做 2 3 件上衣和1條褲子； ②完工后，褲子和上衣的數(shù)量比是2：1，即褲 子的數(shù)量是上衣數(shù)量的 2 倍時(shí)剛好配套； ③生產(chǎn)上衣和褲子總共用了 1218m 布料，從 中可以得出的相等關(guān)系是：褲子的數(shù)量=上衣 的數(shù)量 × 2.

解：

答：用522m布料加工上衣，用696m布料 加工褲子才能剛好配套，能加工348套校服.

評(píng)注：列一元一次方程解答產(chǎn)品配套問 題時(shí)，要弄清配套產(chǎn)品中哪種數(shù)量多，哪種數(shù) 量少，以及它們是幾比幾的配套比例關(guān)系. 只有這樣才能正確找出題設(shè)中的等量關(guān)系 解題.

二、工程問題中的等量關(guān)系

工程問題是研究工作總量、工作效率和 工作時(shí)間三者之間關(guān)系的數(shù)學(xué)問題.工程問 題中我們一般把工作總量看成單位“1”，即完 成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和＝總工作量＝1， 用單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之一表 示工作效率.工程問題中的主要等量關(guān)系有： ①工作總量=工作效率 × 工作時(shí)間；②工作效 率= 工作總量 工作時(shí)間 ；③工作時(shí)間= 工作總量 工作效率 .明確 了這些關(guān)系后，就能順利列出相應(yīng)的方程進(jìn) 行解題.

例2 某市準(zhǔn)備對(duì)某道路進(jìn)行改造，若甲 工程隊(duì)單獨(dú)做此工程需要 9 個(gè)月完成，乙工 程隊(duì)單獨(dú)做此工程時(shí)需要12個(gè)月完成.現(xiàn)甲、 乙兩工程隊(duì)先合作 3 個(gè)月，然后甲工程隊(duì)到 期撤離，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成剩余工程，則乙工 程隊(duì)單獨(dú)完成剩余工程需要幾個(gè)月？

分析：本題是一道關(guān)于一元一次方程的 工程問題.由題意可以得到如下等量關(guān)系： ①乙剩余的工作量=乙的工作效率 × 乙單獨(dú) 完成剩余工程的時(shí)間；②甲、乙兩隊(duì)合作的工 作量=甲、乙兩隊(duì)的工作效率之和 × 工作時(shí) 間；③乙剩余的工作量+甲、乙兩隊(duì)合作的工 作量=總工作量“1”.

解

答：

評(píng)注：在工程問題中，還要注意有些問題 中工作量給出了明確的數(shù)量，這時(shí)不能看作 整體1，此時(shí)工作效率也即工作速度.

三、球賽積分問題中的等量關(guān)系

球賽積分問題中的相等關(guān)系主要包括： ①比賽總場(chǎng)數(shù)=勝場(chǎng)數(shù)+平場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)數(shù)；②比 賽總得分=勝場(chǎng)總得分+平場(chǎng)總得分+負(fù)場(chǎng)總 得分.③一個(gè)隊(duì)的總積分=勝 1 場(chǎng)得分×勝場(chǎng) 數(shù)+負(fù)1場(chǎng)得分×負(fù)場(chǎng)數(shù).當(dāng)題目中的信息量較 大時(shí)，可以從總積分與勝、負(fù)場(chǎng)積分的橫向關(guān) 系去比較分析，也可以從不同球隊(duì)的勝負(fù)場(chǎng) 次、積分等的縱向關(guān)系去尋找信息，獲取等量 關(guān)系來解題.

例3 某校初二年級(jí)舉行班級(jí)籃球聯(lián)賽， 每班均需要賽10場(chǎng)，比賽規(guī)定勝一場(chǎng)得3分， 平一場(chǎng)得 1 分，負(fù)一場(chǎng)得 0 分.在這次班級(jí)籃 球聯(lián)賽中，初二（3）班平的場(chǎng)數(shù)是負(fù)的場(chǎng)數(shù)的 2倍，共得16分，試問該班勝了多少場(chǎng)比賽？

分析：本題是一道關(guān)于一元一次方程的 球賽積分問題.根據(jù)題意可以得出如下等量 關(guān)系：①勝場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)數(shù)+平場(chǎng)數(shù)=10；②平場(chǎng) 數(shù)=2 × 負(fù)場(chǎng)數(shù)；③勝場(chǎng)積分+平場(chǎng)積分+負(fù)場(chǎng) 積分=16.若設(shè)負(fù)場(chǎng)數(shù)為x，則平場(chǎng)數(shù)為2x，勝場(chǎng) 數(shù)為（10-x-2x），再結(jié)合積分關(guān)系，即可列出 方程解題.

解：

答：該班勝了4場(chǎng)比賽.

評(píng)注：在解答球賽積分類問題時(shí)，同學(xué)們 要注意“比賽總場(chǎng)數(shù)”“比賽總積分”這兩個(gè)關(guān) 鍵量.一般比賽場(chǎng)次與勝場(chǎng)、負(fù)場(chǎng)的數(shù)量關(guān)系明 顯，而積分與勝場(chǎng)、負(fù)場(chǎng)的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽.

總之，一元一次方程應(yīng)用題中的等量關(guān) 系是多種多樣的，我們?cè)诮忸}時(shí)要認(rèn)真審題， 仔細(xì)分析，找出問題中的等量關(guān)系，靈活運(yùn)用 解題策略.這樣在解題時(shí)才能做到心中有數(shù)， 游刃有余.