巧構(gòu)輔助圓，妙解最值問題

齊偉

很多幾何問題看似與圓沒有任何關(guān)系， 但是借助已知條件恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建輔助圓，常常 可以實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，讓解題思路豁然開朗. 利用輔助圓解答最值問題的關(guān)鍵是根據(jù)題 設(shè)、結(jié)論和圖形，巧妙地構(gòu)造圓，然后再利用 圓的有關(guān)性質(zhì)、結(jié)論求解最值問題.

一、由動點(diǎn)定角構(gòu)造輔助圓求線段最值

最值問題一般體現(xiàn)在動態(tài)圖形中，至少 存在一個動點(diǎn)，對于動點(diǎn)問題中的定直角條 件，即動點(diǎn)運(yùn)動過程中，始終有一個角為直 角，我們可以考慮以直角三角形的斜邊為直 徑構(gòu)造圓，則直角頂點(diǎn)在圓上，構(gòu)造出圓后則 可借助圓的性質(zhì)求最值.把不容易確定的線 段的最小值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問 題來考慮.

例1

解：

點(diǎn)撥：當(dāng)題中給出直角時(shí)不能單單只想 到勾股定理，也要聯(lián)想到圓.根據(jù)題干條件畫 出輔助圓，借助圓的性質(zhì)：圓心與切線上各點(diǎn) 之間的連線中，圓心與切點(diǎn)之間的線段最短 即可解題.

二、由動點(diǎn)定弦構(gòu)造輔助圓求角度最值

根據(jù)圓周角定理可知：同弧或等弧所對 的圓周角大于該弧所對的圓外角，小于該弧 所對的圓內(nèi)角.求動點(diǎn)對定線段所張的角的 最大值時(shí)，可以添加輔助圓，使定線段為弦， 所張的角為唯一（此時(shí)輔助圓與動點(diǎn)所在的 直線或圓相切）的一個圓周角，由同弧所對的 圓周角大于圓外角知，動點(diǎn)運(yùn)動至切點(diǎn)處時(shí) 所張角最大.

例2

解：

點(diǎn)撥：本題考查了垂徑定理、圓周角定理 等知識.構(gòu)造輔助圓，把所張角轉(zhuǎn)化為圓心角 或圓周角，利用圓心角或圓周角確定出動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，化動為靜，對滿足條件的動點(diǎn)準(zhǔn) 確定位，再解答.

三、由定角定弦構(gòu)造輔助圓求面積最值

當(dāng)題目中出現(xiàn)了固定度數(shù)的角對著固 定長度的線段時(shí)，一般隱含著一個固定大 小的圓，我們以定線段為輔助圓的一條弦， 定角為弦所對的一個圓周角，借助輔助圓 來分析.求面積最值問題首先要從面積公式 入手，將面積問題轉(zhuǎn)化為求三角形高（底） 的問題，再從三角形的高（底）與所隱含的 動圓之間的關(guān)系，去發(fā)現(xiàn)高（底）取最值時(shí)的 狀態(tài).

例3

解：

點(diǎn)撥：此題根據(jù)定角和定弦的對應(yīng)關(guān)系， 通過添加輔助圓確定最值.決定三角形面積 大小的量是高和底的長，題目中已知底長是 定值，所以要讓 △BCD 面積最大，只需讓高 EF 最長.利用圓中的垂徑定理以及直徑是圓 中最長線段即可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

總之，利用輔助圓的幾何特性可以求解 最值問題.解題時(shí)要關(guān)注其中的幾何關(guān)系，充 分利用條件提取或構(gòu)造輔助圓，再結(jié)合圓的 性質(zhì)確定最值情形.同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中，要 關(guān)注構(gòu)建輔助圓的性質(zhì)定理，深入理解圓中 的幾何模型.