解分式方程中的常見(jiàn)錯(cuò)誤剖析

陳佩

求解分式方程，通常要經(jīng)歷去分母、去括 號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、檢驗(yàn)增根等重要的運(yùn) 算過(guò)程.但在實(shí)際求解時(shí)，同學(xué)們由于對(duì)解題 思路考慮不周，或?qū)Σ襟E把握不到位，常常會(huì) 出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤.為幫助同學(xué)們走出 解題誤區(qū)，現(xiàn)將解分式方程中的幾種常見(jiàn)錯(cuò) 誤分類舉例加以說(shuō)明.

一、解方程時(shí)忘記驗(yàn)根導(dǎo)致出錯(cuò)

解分式方程的基本思想是將分式方程轉(zhuǎn) 化為整式方程.由于轉(zhuǎn)化過(guò)程中去分母使未 知數(shù)的取值范圍發(fā)生了變化，有可能產(chǎn)生增 根.因此“檢驗(yàn)”是解分式方程的一個(gè)不可缺 少的步驟.由于整式方程的解法中沒(méi)有驗(yàn)根 這一步，同學(xué)們也常常因?yàn)橥涷?yàn)根而出錯(cuò).

例1

錯(cuò)解：

錯(cuò)因剖析：本題最后沒(méi)有進(jìn)行驗(yàn)根，將增 根 x = 1 誤認(rèn)為是原方程的根，從而導(dǎo)致解題 錯(cuò)誤.因此，為避免錯(cuò)誤，解分式方程最后必 須進(jìn)行驗(yàn)根.

正解：

檢驗(yàn)：

說(shuō)明：如果去分母后所得的解恰好使得最簡(jiǎn)公分母的值為零，則這個(gè)解即為原方程 的增根，應(yīng)該將其舍去.

二、方程兩邊同時(shí)除以可能為零的整式導(dǎo)致出錯(cuò)

在解分式方程時(shí)，必須將其化為整式方程，這樣就要在分式方程的兩邊同乘（或除）以恰當(dāng)?shù)臄?shù)或整式.方程兩邊同時(shí)除以一個(gè)不等于0的數(shù)或整式，所得方程與原方程同解.而當(dāng)兩個(gè)分子相等的分式相等時(shí)，方程兩邊同除以含未知數(shù)的整式時(shí)，如果代數(shù)式的值為0，就會(huì)出現(xiàn)增根或丟根的情況.

例2

錯(cuò)解：

錯(cuò)因剖析：上述解法錯(cuò)在兩邊同除以（3x +1），而忽略了（3x +1）是否為零的情況，造成了失 誤，注意解方程不能同除以含未知數(shù)的整式.

正解：

說(shuō)明：將分式方程化為整式方程的過(guò)程 中，不能遺漏“分子為0”這種情況.一定要按： ①分子為零；②分子不為零，分母相等來(lái)分別 求解，才能避免失根.

三、去分母時(shí)忘記加括號(hào)導(dǎo)致出錯(cuò)

分?jǐn)?shù)線除了表示除號(hào)（或比號(hào)）外，當(dāng)分 子為多項(xiàng)式時(shí)，還起著括號(hào)的作用.因此，當(dāng) 分式方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母化為整式方 程時(shí)，如果方程中的某一項(xiàng)的分子是多項(xiàng)式， 就必須用括號(hào)將整個(gè)分子括起來(lái)，再按去括 號(hào)法則求解.

例3

錯(cuò)解：

錯(cuò)因剖析：

正解：

說(shuō)明：分?jǐn)?shù)線具有括號(hào)的作用.當(dāng)減數(shù)的 分子是一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)，在去分母時(shí)，要把減數(shù) 的分子作為一個(gè)整體加上括號(hào).

四、去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng)導(dǎo)致 出錯(cuò)

將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，方程兩 邊要同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母.需要注意的是，方 程的每一項(xiàng)都要乘以最簡(jiǎn)公分母，而不能只 將含分母的項(xiàng)中乘以最簡(jiǎn)公分母，而忽略了 不含分母的項(xiàng).

例4

錯(cuò)解：

檢驗(yàn)：

錯(cuò)因剖析：這里求出方程的根之后，又經(jīng) 過(guò)檢驗(yàn)，似乎沒(méi)有問(wèn)題．但只要將 x = 3 2 代入 原方程，就知道 x = 3 2 不是原方程的根.問(wèn)題 就在于去分母的過(guò)程中，把方程兩邊都乘以 最簡(jiǎn)公分母 2（x＋3），卻沒(méi)有將 2（x＋3） 與1相 乘，因而所得的方程與原方程不同解了．

正解：

說(shuō)明：解分式方程的每一步都是恒等變 形，方程兩邊的值要保持相等.在方程兩邊同 時(shí)乘以各分母的最小公倍數(shù)時(shí)要做到按照順 序，不重不漏，尤其要注意常數(shù)項(xiàng)不能漏掉.

五、對(duì)分式方程無(wú)解的情況考慮不全導(dǎo) 致出錯(cuò)

分式方程無(wú)解是指不論未知數(shù)取何值， 都不能使方程兩邊的值相等.它包含兩種情 形：（1）原方程化去分母后的整式方程無(wú)解；（2） 原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè) 解卻使原方程的分母為0，即為分式方程的增 根，從而原方程無(wú)解.很多同學(xué)在解題時(shí)只考 慮到了上述一種情形，從而出錯(cuò).

例5

錯(cuò)解：

錯(cuò)因剖析：

正解：

說(shuō)明：從以上正解我們可以得出，在分式 方程無(wú)解的條件下，求待定參數(shù)的一般步驟 可歸納為：（1）方程兩邊同時(shí)乘以分式方程的 最簡(jiǎn)公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程； （2）分類討論：①當(dāng)轉(zhuǎn)化后的整式方程無(wú)解 時(shí)，求待定參數(shù)的值；②當(dāng)轉(zhuǎn)化后的整式方程 有解，且全是原分式方程的增根時(shí)，求待定參 數(shù)的值.最后綜合所得的正確結(jié)論．