怎樣求圖形中陰影部分的面積

趙志川

求陰影部分的面積是平面幾何中的一個重難點(diǎn)問題.這類問題中涉及的圖形一般不是規(guī)則圖形或特殊圖形，無法用現(xiàn)成的面積公式進(jìn)行求解.因此，我們在求陰影部分面積時往往要利用轉(zhuǎn)化思想，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形再求解.轉(zhuǎn)化的方法有多種，應(yīng)結(jié)合陰影圖形的特征確定具體的方法，下面舉例予以說明.

一、利用割補(bǔ)法求陰影部分的面積

割補(bǔ)法是指在求平面幾何圖形陰影部分的面積時，把不規(guī)則圖形進(jìn)行合理的分割和填補(bǔ)，使之轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則的幾何圖形，再利用所學(xué)的規(guī)則圖形的面積公式求解.

例1

f分析

解：

評注：通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可以將不 規(guī)則的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面 積的差，然后利用正方形的性質(zhì)，扇形面積公 式求解即可.當(dāng)直接計算面積存在難度時，巧 用割補(bǔ)法可以聚“零”為“整”，化難為易.

二、利用旋轉(zhuǎn)法求陰影部分的面積

旋轉(zhuǎn)法是指在求陰影部分的面積時，通過旋轉(zhuǎn)變換改變圖形的位置，而不改變圖形的面積大小，從而將不規(guī)則陰影圖形組合為規(guī)則圖形，再借助有關(guān)的面積公式求解.

例2如圖2，矩形 MNPQ 的對角線 MP、 NQ 相交于點(diǎn) O，過 O 的直線RS 分別交 MQ、 NP 于 R、S，且 MN =6，MQ =7，則圖中陰影部 分的面積為? .

分析：本題中的陰影部分由三個陰影部分組成，由于圖中 R、S 兩點(diǎn)的位置并不明確，因而△MOR、△NOS 的面積也不明確，這樣就無法直接求出每一個陰影部分的面積.仔細(xì)觀察該幾何圖形，不難看出，整個圖案是一個中心對稱圖形，這樣通過旋轉(zhuǎn)變換，把△MOR 旋轉(zhuǎn)到△POS 這個位置，即可使問題迎刃而解.

解：把△MOR 繞 O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180° ， 使得點(diǎn) M 與 P 點(diǎn)重合，點(diǎn) R 與點(diǎn) S 重合，

這樣三個陰影部分就組成了 Rt△NPQ，

S陰影部分= S△NPQ = ×6×7=21.

評注：當(dāng)陰影圖形由幾個部分組合而成，且整個圖形為中心對稱圖形時，若按照常規(guī)思維無法直接求出每一個陰影部分的面積，同學(xué)們要注意把某個陰影部分繞中心點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，以使分散、零碎的圖形組合為規(guī)則圖形來求解.

三、利用等積代換法求陰影部分的面積

等積代換法即在不改變圖形面積的基礎(chǔ)上，利用面積相等的圖形進(jìn)行等量代換，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為與它面積相等的特殊圖形的面積，從而使問題順利獲解.

例3如圖3所示，已知四邊形 ABCD 為菱形，它的對角線長分別為5和8，點(diǎn) E 是對角線 AC 上的任一點(diǎn)（點(diǎn) E 不與點(diǎn) A、C 重合），且 EF ∥ AB 交 AD 于點(diǎn) F，EG ∥ BC 交 AB 于 G，AE 與 FG 相交于點(diǎn) H，則陰影部分的面積是? .

分析：該陰影部分的面積為不規(guī)則圖形的面積，由題意易知四邊形 AFEG 為平行四邊形，這樣可知△AHF 與△EHG 的面積相等，于是陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為△ADC 的面積，而△ADC 的面積等于四邊形 ABCD 的一半，問題由此得解.

解：∵四邊形 ABCD為菱形，且它的兩條對角線長分別為5和8，

∴ SABCD = ×5×8=20.

∵ EF ∥ AG ∥ DC，EG ∥ AF ∥ BC，

∴四邊形 AFEG 為平行四邊形，

∴ S△AHF = S△EHG ，

∴ S陰影部分= S△ADC = S△ABCD = ×20=10.

評注：等積代換法主要是利用圖形之間面積相等的關(guān)系來解題.面積相等的圖形主要包括：等底等高的三角形或平行四邊形面積相等；兩個全等的圖形面積相等；兩個全等的圖形除去重合部分，剩余部分面積相等.解題時可從這三個角度尋找面積相等的圖形.