二次根式化簡求值四法

盧寧

方法1：利用二次根式的非負性進行化簡求值.

例1 若y = [x2-4] + [4-x2] + 3，求[yx]的值.

解析：[a]具有雙重非負性，即[a] ≥ 0，a ≥ 0．

∵x2 - 4 ≥ 0，4 - x2 ≥ 0，∴4 - x2 = 0，∴x = ±2，

∴y = 3，∴[yx] = 9或[19]．

方法2：利用乘法公式及運算法則進行化簡求值.

例2 計算（2 - [3]）2022 × （2 + [3]）2023.

解析：化簡二次根式，不僅可以利用平方差公式和完全平方公式，還可以利用已經(jīng)學(xué)過的所有的乘法法則和運算律.

原式 = [（2 + [3]）（2 - [3]）]2022 × （2 + [3]） = （4 - 3）2022 × （2 + [3]） = 2 + [3]．

例3? ?化簡[7+43]．

解析： 將4[3]轉(zhuǎn)化為2[4×3=24×3]后，正好可以和7 = 4 + 3湊成一個完全平方式. 而當(dāng)被開方數(shù)恰好是一個完全平方式時，就可以利用被開方數(shù)的非負性，直接開方，并用絕對值的形式表示. 若為正數(shù)，則等于它的本身；若為負數(shù)，則等于它的相反數(shù).

∵4[3] = 2[22×3] = 2[4×3] = 2[4] × [3]， 7 = 4 + 3 = （[4]）2 + （[3]）2，

∴[7+43] = [（4）2+24×3+（3）2] = [（4+3）2] = 2 + [3]．

方法3：利用三角形三邊關(guān)系進行化簡求值.

例4? ?已知a，b，c分別為△ABC的三條邊，化簡[（a-b+c）2-（a-b-c）2]．

解析：三角形三邊關(guān)系有“兩邊之和大于第三邊”“兩邊之差小于第三邊”. 我們可以利用三角形的三邊關(guān)系確定代數(shù)式的正負性. 若為正數(shù)，則等于它本身；若為負數(shù)，則等于它的相反數(shù). 同時，本題還利用了二次根式的被開方數(shù)的非負性，被開方數(shù)開出來時要等于它的絕對值.

∵a，b，c分別為△ABC的三條邊，∴a + c - b > 0，a - b - c < 0，

∴原式 = [[（a+c）-b]2-[a-（b+c）]2=（a+c）-b-a-（b+c）]

= a + c - b - b - c + a = 2a - 2b.

方法4：利用分母有理化進行化簡.

例5 化簡 [122-3]．

解析：分母有理化時應(yīng)用平方差公式即可，也就是分子和分母同時乘一個與分母構(gòu)成平方差公式的另一部分，使得分母由無理數(shù)變成有理數(shù).

[122-3] = [22+3（22-3）（22+3）] = -2[2-3]．

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時間：8分鐘

請同學(xué)們試一試，用學(xué)過的方法技巧完成下面習(xí)題：（答案見本頁）

1. 若xy是實數(shù)，且[y=x-4+4-x+3]，則[12xy]的值為 .

2. 化簡：（4 + [3]）（12 - 3[3]）.

3. 實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如右圖所示，化簡

[（b-a）2+a-c-（b-c）2-b]．

4. 計算： [12+1+13+2+14+3+] … + [1100+99] .